Завдання на проведення лабораторної роботи

1) Скласти таблицю значень функції, наведеної в таблиці 2.3, розбивши заданий інтервал на 5 відрізків з

2) Скласти горизонтальну таблицю кінцевих різностей.

3) За першою і другою інтерполяційними формулами Ньютона, використовуючи горизонтальну таблицю різностей, визначити значення функції в точках:

4) Побудувати емпіричну формулу для заданої функції.

5) Скласти таблицю значень функції, розбивши заданий інтервал на 10 відрізків. З отриманої таблиці взяти значення і скласти нову таблицю значень функції.

6) Побудувати інтерполяційну формулу Лагранжа.

7) Визначити значення функції за інтерполяційною формулою Лагранжа в точках п. 3).

8) Обчислити похибку розрахунків.

9) Навести блок-схеми алгоритмів методів, які було використано в роботі.

 

Таблиця 2.3 – Варіанти завдань

№	Функція	Заданий інтервал
		0;1
		0;10
		0;0,5
		0;05
		1;11
		1;2
	tg()	0;2
		0;1
		0,1;1,1
		0;2
		0;1
		1;2
		0;0,5
		0;1
		0;
		0;5
		0;0,5
		0;1
	arcsin	0;0,5
		0;0,5
		0;5
		0;0,2
		1;2
		0.4;1.4
		0;1
		0.1;1.1
		1;2
		0;1

 

Зміст звіту

У звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

- короткі теоретичні відомості;

- рішення завдань лабораторної роботи;

- аналіз результатів і висновки по лабораторній роботі.

2.4 Контрольні питання

1. Мета і постановка задачі інтерполяції функції.

2. В чому полягає і як розв’язується задача інтерполяції?

3. Як побудувати інтерполяційний многочлен за 1-ою і 2-ю формулами Ньютона?

4. Як побудувати інтерполяційний поліном за формулою Лагранжа?

5. Які особливості інтерполяційної формули Лагранжа?

6. Як розраховуються коефіцієнти полінома Лагранжа у випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції?

7. Як обчислити похибку інтерполяції деякої функції поліномом Лагранжа?

Література

1. Демидович Б.П, Марон И.А. Основы вычислительной математики. 3-е изд., испр. – М.: Наука, 1966. – 664 стр.

2. Краскевич В.Е., Зеленский К.Х., Гречко В.И. Численные методы инженерных исследований. – Киев: Высшая шк., 1986. – 263 стр.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование – М.: Высш. шк., 1990. – 544 стр.

 

 

Лабораторна робота №3

 

Тема: Чисельне інтегрування.

Мета: Отримати практичні навики розв’язку задач чисельного інтегрування.

Ідея: Навчитися складати квадратурні формули чисельного інтегрування. За допомогою різних формул обчислити інтеграл заданої функції та похибку. Порівняти між собою використані формули.

 

Загальні відомості

Постановка задачі

 

Дана неперервна функція . Розрахувати із заданою похибкою значення певного інтеграла від цієї функції на відрізку .

Якщо відома первісна заданої функції , то інтеграл від функції можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбниця

(3.1)

В багатьох практичних випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів чи є занадто складною; крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблицею. В цих випадках застосовують методи наближеного обчислення інтегралів.

 

Методи розв’язку задачі

Звичайним прийомом чисельного обчислення інтеграла є заміна функції на відрізку , що розглядається, будь-яким інтерполяційним многочленом або апроксимуючою функцією простого виду. Функція має бути такою, щоби інтеграл обчислювався безпосередньо.

Замінюючи підінтегральну функцію будь-яким многочленом, отримуємо квадратурні формули типу

(3.2)

де – обрані вузли інтерполяції;

– коефіцієнти, що залежать від вибору вузлів, але не від виду функцій;

;

– залишковий член, який характеризує похибку квадратурної формули.

Кажуть, що, відкидаючи , ми допускаємо похибку усічення. Похибку будемо обчислювати за формулою

, (3.3)

де – значення інтегралу, обчисленого за допомогою формули наближеного інтегрування, – точне значення інтегралу. Точним значенням інтегралу від заданої функції будемо вважати значення отримане за формулою Ньютона-Лейбниця, або якщо не існує первісної функції , обчислене за допомогою одного з стандартних математичних пакетів (Maple, Mathlab).

Розіб’ємо відрізок на рівних частин. Отримуємо систему рівнозначних вузлів , . Значення функцій в цих точках дорівнюють .

Квадратурні формули для рівнозначних вузлів називають формулами Ньютона-Котеса.

 

Формули наближеного інтегрування

 

Формула прямокутників

 

Геометричною інтерпретацією інтегралу від заданої функції є площа криволінійної трапеції, що обмежена прямими , , віссю абсцис та графіком функції. За наближене значення цієї площі можна взяти площу прямокутника зі сторонами:

, – формула лівих прямокутників;

, – формула правих прямокутників;

, – формула середніх прямокутників.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація формули лівих прямокутників

 

Щоб збільшити точність обчислення інтегралу, відрізок розбивають на рівних відрізків, а площу криволінійної трапеції обчислюють як суму площин відповідних прямокутників. Для системи вузлів загальний вид формул прямокутників і їх геометрична інтерпретація наведені нижче.

 

Формула лівих прямокутників (рис.3.1):

(3.4)

 

Формула правих прямокутників (рис.3.2):

(3.5)

 

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація формули правих прямокутників

 

 

Формула середніх прямокутників (рис. 4.3)

(3.6)

Рисунок 3.3 – Геометрична інтерпретація формули середніх прямокутників

 

Приклад 3.1. Розрахувати інтеграл за формулою лівих прямокутників, .

Рішення.

 

0,0000 0,3927 0,7854 1,1781 1,5708	1,0000 0,6634 0,3960 0,1757 0,0000

Похибка:

 

Формула трапецій

Площа, що обчислюється, може бути представлена також у вигляді суми площин трапецій

; ;...;

(3.7)

 

Рисунок 3.4 – Геометрична інтерпретація формули трапецій

Приклад 3.2. Розрахувати інтеграл за формулою трапецій, .

Рішення.

0,0000 0,3927 0,7854 1,1781 1,5708	1,0000 0,6634 0,3960 0,1757 0,0000

Залишковий член: