Формула Сімпсона (формула парабол)

Інтеграл являє собою суму площин під параболами, кожна з яких проводиться через три сусідні точки, тобто параболи займають два сусідніх відрізки, наприклад і . Це обумовлює необхідність парної кількості відрізків:

;

. (3.8)

 

Рисунок 3.5 – Геометрична інтерпретація формули парабол

 

Зауваження. Формула прямокутників є точною для багаточлена нульового ступеня, формула трапецій дає точне значення інтеграла, коли підінтегральна функція лінійна, формула Сімпсона є точною для многочленів до третього ступеня включно.

Приклад 3.3. Розрахувати інтеграл за формулою Сімпсона, .

Рішення.

 

0,0000 0,3927 0,7854 1,1781 1,5708	1,0000 0,6634 0,3960 0,1757 0,0000

Залишковий член:

 

Формула Гауса

Для отримання підвищеної точності при чисельному інтегруванні використовують формулу Гауса.

(3.9)

У (3.9) не фіксуються не лише вузли інтерполяції , але і квадратурні коефіцієнти .

При цьому невідомих величин , визначаються за умови, що формула є точною у випадку будь-якого многочлена ступеня .

Значення і () наводяться у наступній таблиці:

Таблиця 3.1 – Значення і ()

 

Для обчислення інтеграла загального вигляду слід провести заміну змінної

, (). (3.10)

Тоді формула Гауса матиме вигляд

(3.11)

При цьому забезпечується точність для багаточлена ступеня до .

 

Приклад 3.4. Обчислити інтеграл , використовуючи квадратурну формулу Гауса з чотирма ординатами.

Рішення.

Тут , . Знаходимо інтеграл, що шукали, у вигляді

;

;

;

;

;

Квадратурні коефіцієнти попарно рівні:

Тоді остаточно отримуємо

Зауваження. Для функцій, що мають достатню кількість похідних, формула Гауса забезпечує найбільшу точність, а формула Сімпсона точніша за формулу трапецій.

 

Завдання на проведення лабораторної роботи

 

1) Вивчити формули для наближеного обчислення інтегралів і формули похибок.

2) Обчислити інтеграл з за формулами прямокутників, трапецій, Сімпсона, та з для Гауса. Функції наведено у табл. 2.3 лабораторної роботи 2.

3) Навести блок-схеми алгоритмів методів, які було використано в роботі.

 

Зміст звіту

У звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

– формули наближеного інтегрування;

– обчислення інтеграла за формулами і результат розрахунку;

– точне значення заданого інтегралу і похибки чисельного інтегрування;

– аналіз результатів і висновки з роботи.

 

3.4 Контрольні питання

 

1. В чому полягає задача чисельного інтегрування? Як вона втілюється в різноманітних формулах чисельного інтегрування?

2. В яких випадках використовується чисельне інтегрування?

3. Як оцінити похибку наближеного обчислення інтегралів?

4. Вкажіть області застосування формул трапецій, Сімпсона, Гауса.

 

Література

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664с.

2. Копченова Н.В., Марон И.В. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 512с.

3. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высш. шк., 1990, – 544с.

Лабораторна робота №4

Тема: Обчислювальні методи розв’язку алгебраїчних і трансцендентних рівнянь.

Мета роботи: навчитися розв’язувати рівняння з однією змінною, використовуючи обчислювальні методи.

Ідея: навчитися відокремлювати корені, уточнювати їх за допомогою різних методів, усвідомити принцип методу ітерацій.

 

Теоретичні відомості

Постановка задачі

Задане рівняння з однією змінною

, (4.1)

де функція визначена і неперервна на деякому проміжку .

Розв’язати рівняння означає знайти множину його коренів, тобто таких значень , за яких рівняння (4.1) перетвориться в тотожність. Корінь рівняння (4.1) є нулем функції . Якщо функція – алгебраїчний многочлен, то рівняння (4.1) є алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показові або логарифмічні функції, тоді рівняння (4.1) називають трансцендентним.

Знайти точне значення кореня заданого рівняння можна тільки для найпростіших функцій : алгебраїчних многочленів не вище четвертого ступеня, деяких многочленів ступеня і деяких трансцендентних функцій.

Задача знаходження коренів рівняння (4.1) вважається вирішеною, якщо корені обчислені з наперед заданою точністю.

Нехай – точний корінь, а – його приблизне значення. Говорять, що корінь обчислений з наперед заданою точністю e, якщо .

Пошук наближених коренів рівняння (4.1) складається з двох етапів:

1) відділення коренів, тобто знаходження достатньо малих відрізків, на кожнім з яких знаходиться один і тільки один корінь заданого рівняння;

2) обчислення коренів з наперед заданою точністю.

Перший етап називають ще задачею визначення відрізків ізоляції коренів, а другий – уточненням наближених коренів.