Комбінований метод дотичних і хорд

Характерна риса методів дотичних і хорд полягає в тому, що послідовності їхніх наближень монотонні. Причому, якщо для даного рівняння послідовність наближень методу хорд монотонно спадаюча, то послідовність наближень методу дотичних – монотонно зростаюча, і навпаки. Одночасне застосування цих методів дає можливість наближатися до кореня рівняння з двох сторін, одержуючи наближення з нестачею й надлишком.

 

Рисунок 4.4 – Геометрична інтерпретація комбінованого методу

 

Розглянемо рівняння , корінь якого . Приймемо, наприклад, , , , (рис. 4.4).

У даному випадку за початкове наближення в методі хорд вибирають значення , а в методі дотичних – точку . На відрізку застосовують метод дотичних і хорд (спочатку дотичних, а потім хорд). У результаті одержують нові наближення , , і початковий відрізок ізольованого кореня звужується. Для знаходження нових наближень застосовують метод дотичних і хорд уже на відрізку . У результаті одержують наближення і відповідно, причому . Такий процес продовжують доти, поки довжина відрізка стане менше чи дорівнюватиме величині , де – наперед задана точність кореня.

За значення кореня , який шукається, беруть напівсуму наближень і , тобто , а модуль їх напівсуми дає граничну абсолютну похибку наближеного кореня, тобто

.

Зауважимо, що на кожному кроці комбінованого методу за нерухомий кінець у формулі методу хорд потрібно брати наближення, обчислене на цьому ж кроці за формулою дотичних.

Формули комбінованого методу дотичних і хорд наведені нижче:

, , (4.8)

, (4.9)

За початкове наближення у формулі (4.8) методу дотичних беруть той з кінців відрізка , в якому значення функції і її другої похідної мають однакові знаки, тоді протилежний кінець відрізка беруть за початкове наближення у формулі (4.9) методу хорд.

Завдяки своєрідній комбінації методів дотичних і хорд комбінований метод має більш високу швидкість збіжності, ніж методи хорд і дотичних окремо узяті.

 

Завдання на проведення лабораторної роботи

Варіанти завдань представлені в таблиці 4.1.

1) Відокремити корені заданого рівняння одним з методів: графічним, аналітичним чи методом послідовного перебору.

2) Уточнити один з відділених коренів рівняння двома, зазначеними в табл. 4.1, методами з точністю і .

3) Порівняти використані методи між собою за кількістю ітерацій, необхідних для знаходження кореня з заданою точністю.

4) Навести блок-схеми алгоритмів методів, які було використано в роботі.

 

Пояснення до виконання роботи. Виконуючи П.1 завдання, відрізок ізоляції кореня бажано звузити до довжини, що не перевищує одиниці.

При уточненні ізольованого кореня методом ітерації наведене в табл. 4.1 рівняння необхідно привести до виду , де функція на відрізку ізоляції кореня повинна задовольняти умові .

Перед тим як використовувати методи хорд, дотичних і комбінований, необхідно перевірити достатні умови збіжності відповідного методу.

 

Таблиця 4.1 – Варіанти завдань

 

№	Рівняння	Метод
		дихотомії, хорд
		ітерації, комбінований
		хорд, дотичних
		дихотомії, хорд
		хорд, Ньютона
		дихотомії, комбінований
		хорд, дихотомії
		ітерації, хорд
		дихотомії, комбінований
		ітерації, комбінований
		хорд, дотичних
		хорд, Ньютона
		ітерації, комбінований
		хорд, дотичних
		дихотомії, хорд
		ітерації, комбінований
		дихотомії, хорд
		Ньютона, комбінований
		ітерації, комбінований
		хорд, дотичних
		ітерації, хорд
		дихотомії, комбінований
		Ньютона, комбінований
		хорд, дотичних
		дихотомії, хорд
		ітерації, комбінований
		хорд, дотичних
		дихотомії, комбінований
		ітерації, комбінований
		Ньютона, комбінований

 

Зміст звіту

У звіті про лабораторну роботу необхідно навести:

– Короткі теоретичні відомості;

– Розв’язок завдань лабораторної роботи;

– Аналіз результатів і висновки за лабораторною роботою.

 

4.4 Контрольні питання

 

– Достатні умови збіжності методу ітерації.

– Умови існування й одиничності кореня.

– Як вибрати початкове наближення при обчисленні кореня комбінованим методом.

 

Література

 

1. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. – М.: Высш. шк., 1990. – 544 с. – C. 349 – 363.

2. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. – М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. – 432 с. – C. 190 - 195.

3. Численные методы. Н.Н. Калиткин. Главная редакция физико-математической литературы "Наука", М., 1978. – C. 138 – 146.

 

Лабораторна робота №5

Тема: Розв’язок звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Мета роботи: засвоєння на практиці чисельних методів розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Ідея: навчитися практично застосовувати методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, знати області їх застосування, переваги та недоліки кожного з методів.

Теоретичні відомості

Постановка задачі

В залежності від кількості незалежних змінних диференціальні рівняння поділяються на дві групи:

а) звичайні диференціальні рівняння, що містять одну незалежну змінну;

б) рівняння з частинними похідними, які містять декілька незалежних змінних.

Звичайні диференціальні рівняння містять, окрім незалежної змінної, одну або декілька похідних від функції, що шукається, . Їх можна записати в виді:

, (5.1)

де – незалежна змінна.

Найвищий порядок похідної, що входить в рівняння, називається порядком диференціального рівняння. Наприклад, загальний вид диференціальних рівнянь першого і другого порядків:

,

. (5.2)

В ряді випадків із загального запису диференціального рівняння вдається виразити старшу похідну в певному виді. Наприклад,

,

.

Така форма запису називається рівнянням, розв’язаним відносно старшої похідної.

Розв’язком диференціального рівняння називається будь-яка функція , яка, після підстановки її в рівняння, перетворює його на тотожність (вірну рівність).

Загальний розв’язок звичайного диференціального рівняння -го порядку містить довільних сталих , тобто загальний розв’язок має вид:

.

Частинний розв’язок диференціального рівняння можна отримати із загального, якщо довільним сталим надати певні значення.

Для рівняння першого порядку загальний розв’язок залежить від однієї довільної сталої:

.

Якщо стала приймає певне значення , отримаємо частинний розв’язок:

.

Виходячи з геометричної інтерпретації загального розв’язку диференціального рівняння першого порядку і із теореми Коші маємо, що для виділення деякого частинного розв’язку рівняння першого порядку достатньо задати координати довільної точки на заданій інтегральній кривій.

Для диференціального рівняння другого порядку необхідно задати дві додаткові умови, завдяки яким можна визначити дві довільні сталі.

В залежності від способу завдання додаткових умов для отримання частинного розв’язку диференціального рівняння, існує два різних типи задач:

- задача Коші;

- крайова задача.

Додаткові умови в задачі Коші задають в одній точці і називають початковими умовами, а точка, в якій їх задають – початковой точкой.

Додаткові умови для крайової задачі задають в більш ніж одній точці, зазвичай в двох точках та , які є границями області розв’язку диференціального рівняння, і називають граничними (крайовими) умовами.

Методи розв’язку

Методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь можна розбити на такі групи: графічні, аналітичні, наближені, числові.

Графічні методи використовують геометричні побудови. Наприклад, метод ізоклін для розв’язку диференціального рівняння першого порядку виду (5.2), заснований на геометричному визначенні інтегральних кривих по заздалегідь побудованому полю напрямів, визначеному за ізоклінами.

Аналітичні методи викладають в курсі диференціальних рівнянь. Вони дають можливість для ряду рівнянь першого порядку (з подільними змінними, лінійних, однорідних та ін.), а також для деяких типів рівнянь вищих порядків (лінійних зі сталими коефіцієнтами) отримати розв’язок в виді формул шляхом аналітичних перетворень.

Наближені методи використовують різні спрощення самих рівнянь шляхом обґрунтованого відкидання деяких компонентів, що в них містяться, а також спеціальним вибором класів деяких функцій. Наприклад, в деяких інженерних задачах вдається представити розв’язок в виді суми двох складників, перший з яких визначає основний розв’язок, а другий – є малим доданком (збурення), квадратом якого можна знехтувати. На цьому засновані різні методи лінеаризації.

Чисельні методи розв’язку диференціальних рівнянь на теперішній час є основним інструментом при дослідженні науково-технічних задач, що описуються диференціальними рівняннями. Найбільш розповсюдженим і універсальним методом розв’язку диференціальних рівнянь є метод кінцевих різниць. Він полягає у наступному. Область безперервної зміни аргументу заміняється дискретною множиною точок, які називають вузлами. Ці вузли складають різницеву сітку. Шукана функція безперервного аргументу наближено замінюється функцією дискретного аргументу на заданій сітці. Ця функція називається сітковою. Вихідне диференціальне рівняння замінюється різницевим рівнянням відносно сіткової функції. При цьому для похідних, які входять до рівняння, використовують відповідні кінцево-різницеві співвідношення. Наприклад, для обчислення похідної в точці :

,

,

, (5.3)

.

Отже, розв’язок диференціального рівняння зводиться до пошуку значень сіткової функції в вузлах сітки.

Розглянемо застосування методу кінцевих різниць для розв’язку задачі Коші: знайти функцію, що задовольняє рівнянню:

(5.4)

та при приймає задане значення :

.

Розв’язок необхідно отримати для значень .

Згідно методу, здійснимо перехід від диференціальної задачі (5.4) відносно функції до різницевої задачі відносно сіткової функції , , попередньо ввівши послідовність точок , кроки () та виконавши заміну похідних в диференціальному рівнянні відношенням кінцевих різниць (8.3). Отримане в результаті цього різницеве рівняння в загальному виді має вид:

, , (5.5)

Конкретний вираз правої частини рівняння (5.5) залежить від способу апроксимації похідної. Для кожного чисельного методу можна отримати свій вид рівняння (8.5).

На основі аналізу виду різницевого рівняння (5.5) можна провести деяку класифікацію чисельних методів розв’язку задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.

Якщо в правій частині (5.5) відсутнє , тобто значення явно обчислюється по попередніх значеннях , то різницева схема називається явною. При цьому отримуємо -кроковий метод: – однокроковий, – двокроковий і т.д.

Якщо в праву частину рівняння (5.5) входить шукане значення , то різницева схема називається неявною, і обчислення виконується за допомогою операційних методів.

 

Метод Ейлера-Коші

Метод Ейлера-Коші – найпростіший однокроковий метод першого порядку для числового інтегрування диференціальних рівнянь. Він реалізується такою рекурентною формулою:

(5.6)

де – крок прирощення змінної , .

Похибка методу пропорційна .

Приклад 5.1 Розв’язати задачу Коші на відрізку методом Ейлера-Коші з .

Рішення.

Обчислення за формулою (5.6) наведемо в табліці:

		1,0000	0,5000	0,0500
	1,1	1,0500	0,5250	0,0525
	1,2	1,1025	0,5525	0,0553
	1,3	1,1578	0,5828	0,0583
	1,4	1,2160	0,6161	0,0616
	1,5	1,2776

□