Метод Ейлера-Коші з ітераціями

Метод Ейлера-Коші з ітераціями належить до неявних однокрокових методів і полягає в обчисленні на кожному кроці початкового значення:

. (5.7)

Запишемо за допомогою ітераційної формули:

, (5.8)

де , , розв’язок уточнюється. Ітерації проводять доти, поки не буде виконана умова:

,

де – задана точність.

Зазвичай кількість ітерацій не має перевищувати 3-4, в противному випадку необхідно зменшити крок , наприклад , і повторити обчислення з початку. Похибка методу пропорційна .

Приклад 5.2 Знайти методом Ейлера-Коші значення для диференціального рівняння з прикладу 5.1.

Рішення.

Обчислимо за формулою (5.7) значення :

.

За формулою (5.8) знайдемо:

Знайдемо : ,

.

Отже, за значення можна прийняти 1.0513.

□

Модифікований метод Ейлера

Модифікований метод Ейлера є одно кроковим методом другого порядку, який реалізуються формулами:

,

. (5.9)

Метод дає похибку, пропорційну і має меншу кількість обчислень, оскільки замість декількох ітерацій, виконується обчислення лише одного значення .

Метод Рунге-Кута

Метод Рунге-Кута – однокроковий метод розв’язку звичайних диференціальних рівнянь, на якому побудовані різницеві схемі різного порядку точності.

Двочленна формула має вид:

, (5.10)

де

,

,

,

.

Для

,

,

, (5.11)

.

Чотиричленна формула Рунге-Кута

,

,

, (5.12)

,

.

Явні методи Адамса

Метод Адамса належить до числа -крокових методів. Розглянемо явний двокроковий метод Адамса, що полягає в обчисленні на кожному кроці за формулою:

. (5.13)

Значення в точці при цьому необхідно обчислити будь-яким однокроковим методом того ж самого, або більш високого порядку точності.

Формула явного трикрокового методу Адамса:

(5.14)

Для явного чотири крокового методу Адамса формула має вид:

. (5.15)

Приклад 5.3 Знайти трикроковим методом Адамса для задачі Коші на відрізку з . Початкові значення обчислити методом Ейлера-Коші.

Рішення.

За формулою знайдемо , :

За формулою (5.14) отримаємо:

.

□

Завдання на проведення лабораторної роботи

1) Використовуючи методи Адамса (два-, три-, чотирикрокові), розв’язати звичайне диференціальне рівняння першого порядку на відрізку , крок . Початкові значення шуканої функції визначити методом Рунге-Кута 4-го порядку.

2) Розв’язати звичайне диференціальне рівняння першого порядку на відрізку , крок , методами Ейлера (Ейлера-Коші, модифікованим, з ітераціями) і Рунге-Кута 2-го порядку.

3) Всі обчислення проводити з чотирма десятковими знаками після коми.

4) Навести блок-схеми алгоритмів методів, які було використано в роботі.

Зміст звіту

В звіті з лабораторної роботи необхідно навести:

– загальні відомості щодо чисельних методів розв’язку звичайних диференціальних рівнянь, які використано в роботі;

– розв’язок рівнянь вказаними методами;

– порівняння і аналіз отриманих результатів.

5.4 Контрольні питання

1. В чому полягає відмінність однокрокових методів від багатокрокових, явних від неявних?

2. За яких значень коефіцієнтів формули Рунге-Кута можна отримати метод Ейлера та його модифікації?

3. Чим визначається похибка методів?

4. В який спосіб пов’язані похідні функції та її розділені різниці?

5. При розв’язку яких задач використовуються чисельні методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь?

 

Таблиця 5.1 – Варіанти ЗДР для розв’язку числовими методами

№ з/п	Рівняння, відрізок, початкова умова

 

Література

1. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: "Наука", 1970. – 288 с.

2. Арушанян О.Б., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. – М.: Изд-во МГУ, 1990. – 336 с.

3. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

4. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение. – М.: Мир, 1998. – 575 с.