Постановка задачі інтерполяції

 

Задача інтерполяції полягає в наступному: на відрізку задані точки, що називаються вузлами інтерполяції, і значення деякої функції в цих точках

(2.2)

Потрібно побудувати функцію ( функція інтерполяції), що приймає у вузлах інтерполяції ті ж значення, що і

Ця задача стає однозначною, якщо замість довільної функції шукати поліном ступеня не вище , тобто такий, що

(2.3)

Геометрично ця задача зводиться до побудови кривої, що збігалася б із заданими значеннями функції у вузлах інтерполяції (рис.2.1).

Формули інтерполяції звичайно використовуються для значень в проміжних точках розглянутого інтервалу, тобто для . Якщо чи , то розглядається задача екстраполяції функції.

При оцінюванні похибки результату повинні враховуватися як похибка методу інтерполяції (залишковий член), так і похибка округлення при обчисленнях.

Інтерполяційні формули Ньютона

 

Інтерполяційні формули Ньютона, як правило, застосовуються для побудови інтерполяційного многочлена у випадку рівновіддалених вузлів, використовуючи горизонтальні таблиці різностей (таблиця 1).

Перша інтерполяційна формула Ньютона призначена для інтерполяції й екстраполяції на початку таблиці, тобто в точках, близьких до , де мало по абсолютній величині

(2.4)

де – кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи з точки ;

кінцеві різниці (узяті з таблиці 1, підкреслені лінією).

При одержуємо лінійну інтерполяцію

При маємо квадратичну інтерполяцію

.

Залишковий член визначається за формулою:

де – точне значення функції.

На практиці часто зустрічається потреба для функції, що задана у формі таблиці, підібрати аналітичну формулу, що представляє з деякою точністю задані табличні значення функції. Така формула називається емпіричною. Для побудови емпіричної формули варто враховувати загальні властивості функції. Якщо в таблиці різностей -і різниці функції постійні, то за емпіричну формулу приймають відповідну першу інтерполяційну формулу Ньютона.

Приклад 2.1. Прийняв шаг , побудувати на відрізку інтерполяційний поліном Ньютона для функції .

Рішення.

Побудуємо таблицю кінцевих різностей:

 

3,50 3,55 3,60 3,65	33,115 34,813 36,598 38,475	1,698 1,785 1,877	0,087 0,092	0,005

 

Прийняв , , маємо:

(*),

де .

Підставимо q у рівняння (*), отримаємо:

– емпірична формула для заданої функції.

 

Друга інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполяції та екстраполяції наприкінці таблиці, тобто в точках близьких до :

, (2.5)

де кількість кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи з точки ;

кінцеві різниці (узяті з таблиці 1).

Залишковий член визначається за формулою

(2.6)

де – точне значення функції.

 

Формула Лагранжа

Розглянуті 1-а і 2-а інтерполяційні формули Ньютона придатні лише у випадку рівновіддалених вузлів інтерполяції. Для довільно заданих вузлів інтерполяції використовують інтерполяційну формулу Лагранжа.

Побудуємо спочатку поліном , що приймає у точці значення , а у решті точок значення

.

Аналогічно побудуємо поліном , що приймає у точці значення , а у решті точок – значення :

. (2.7)

І, нарешті, побудуємо поліном, що приймає в точках задані значення . Він буде дорівнювати сумі:

. (2.8)

Отримана формула (2.8) називається інтерполяційною формулою Лагранжа. Вона призначена для безпосередньої побудови інтерполяційного многочленна. Коефіцієнти в цій формулі називаються коефіцієнтами Лагранжа.

Для обчислення коефіцієнтів Лагранжа може бути використана наведена нижче схема Ейткена.

У таблиці розташовують таким чином:

………………………………………………………………

Позначимо добуток елементів першого рядка через , другого через і т.д. (), а добуток елементів головної діагоналі (елементи підкреслені) через . Звідки витікає, що

(2.9)

Отже,

Похибка розрахунку має наступний вид:

, (2.10)

де – значення інтерполяційного полінома Лагранжа у точці , – значення функції у точці .

Для покращення наближення інтерполяційного полінома до функції додаються нові вузли. При цьому у формулах Ньютона до полінома додаються тільки нові доданки. У формулі Лагранжа в аналогічному випадку всі доданки доводиться перераховувати заново, оскільки кожний член цієї формули залежить від всіх вузлів інтерполяції.

Всі інтерполяційні формули виходять з інтерполяційної формули Лагранжа при відповідному виборі вузлів.

Приклад 2.2. Для функції побудувати інтерполяційний поліном Лагранжа, вибравши вузли

, , .

Рішення.

Обчислюємо відповідні значення функції:

, , .

Застосовуючи формулу (2.8), отримаємо:

або