Граничні похибки. Похибки функції.

Граничною (абсолютною чи відносною) похибкою називають найменшу можливу похибку наближення, яку можна отримати, виходячи з усіх відомих даних.

Так, якщо відомо точне значення деякої величини , то абсолютною граничною похибкою його наближення х* є Δ(х*) =│ – х*│. Проте, точне значення наближення звичайно не є відомим.

Нехай – диференційовна функція, х₁, х₂, …, х_n – наближення аргументів функції, = Δ(х_i) – граничні абсолютні похибки наближень.

Розглянемо задачу: визначити граничну абсолютну Δ(u) і граничну відносну δ(u) похибки наближення функції , якщо граничні абсолютні похибки наближень х_i аргументів цієї функції є відомими.

Звичайно – дуже малі величини, будемо тут вважати їх достатньо малими для того, щоб у формулі Тейлора

f (х₁ + Δх₁, х₂ + Δх₂,…, х_n + Δх_n) = f (х₁, х₂, …, х_n) + d f (х₁, х₂, …, х_n) + r,

(де d f (х₁, х₂, …, х_n) = ), залишковий член r – вищого порядку малості відносно Δх_i – уже не впливав на вірні значущі цифри наближення f (х₁, х₂, …,х_n).

(Більш докладно: r – це сума доданків вигляду ∙ Δх_iΔх_j і якщо Δх_i ~ 10^-12, то Δх_iΔх_j ~ 10^-24). Нехай = х₁ + α₁Δх₁, = х₂ + α₂Δх₂, …, = х_n + α_nΔх_n, де ôα_iô£ 1 – це точні значення аргументів функції. Тоді

ô f (, , …, ) – f (х₁, х₂, …, х_n)ô ≈

Оскільки остання нерівність стає рівністю при умові , α_i = 1 при кожному i = 1, 2, …, n, яка для деяких наближень х₁, х₂, …, х_n фактично і здійснюється, то оцінку

ô f (, , …, ) – f (х₁, х₂, …, х_n)ô (1)

різниці між точним і наближеним значеннями функції у даній задачі не можна покращити. Отже, гранична абсолютна похибка Δ(u) дорівнює

Δ(u) = .

Розділивши обидві частини нерівності (1) на ôuô = ô ô будемо мати

Отже, відносною похибкою функції при даних задачі є

 

(2)

Простими висновками з (1) і (2) є наступні твердження.

1. Гранична абсолютна похибка суми або різниці наближень дорівнює сумі їх граничних абсолютних похибок: Δ(a* b*) = Δ(a*) + Δ(b*) (при f (x₁, x₂) = x₁ ± x₂).

2. Гранична відносна похибка добутку або частки наближень приблизно дорівнює сумі їх граничних відносних похибок: δ(a* ∙ b*) = δ(a*/b*) ≈ δ(a*) + δ(b*) (при f (x₁, x₂) = x₁ ∙ x₂ або f (x₁, x₂) = x₁ / x₂).

Звичайно, ці твердження можна отримати і безпосередньо. Наприклад, якщо

а = а*(1 δ(а*)), b = b* (1 δ(b*)), то (1 δ(а*)) ∙ (1 (δ(b*) – δ²(b*) + δ³(b*) – …) ≈ (1 δ(а*))∙(1 (δ(b*)) ≈ (1 (δ(а*) + δ(b*)).

 

Похибки розв'язку.

Похибка розв'язку задачі складається з 1) похибки математичної моделі, 2) неусувної похибки, 3) похибки методу і 4) обчислювальної похибки.

Похибка математичної моделі пов'язана з тим, що звичайно модель описує явище наближено, з припущеннями і спрощеннями.

Неусувна похибка зумовлена похибками у вхідних даних задачі.

Похибка методу пов'язана з необхідністю для обчислення на комп’ютері наближено замінити неперервну модель дискретною або з неминучим обривом нескінченного процесу після скінченої кількості ітерацій. Похибку, яку дістають від заміни неперервної моделі дискретною, називають похибкою дискретизації (або похибкою апроксимації). Похибку, спричинену обривом ітераційного процесу, називають похибкою збіжності. Наприклад, якщо ми отримуємо числове значення sin x, обчислюючи його за допомогою ряду Тейлора , то ми вимушені будемо обірвати процес обчислень на якомусь кроці k. Оскільки в даному випадку знаки ряду чергуються, то, як відомо, модуль наступного члена ряду є абсолютною похибкою такого наближення, тобто похибкою збіжності.

Обчислювальні похибки – це похибки округлення чисел. Навіть якщо нема всіх інших вищезгаданих похибок, ця нехай вкрай мала погрішність є неминучою при обчисленнях. Річ в тім, що на комп’ютері операції виконують лише з певною кількістю значущих цифр, заданою його технічними характеристиками. У результаті виконання мільйонів операцій, кожна з яких вносить дуже маленьку похибку округлення, сумарна похибка принципово може значно перевищити результат обчислень. Проте величина таких похибок випадкова, вони мають різні знаки і компенсують одна одну. Як випливає з центральної граничної теореми теорії ймовірностей при N операціях математичне сподівання сумарної похибки приблизно дорівнює , де ε – середня обчислювальна похибка одної операції. Якщо немає систематичних причин, то нагромадження похибок округлення незначне.

Систематичною причиною обчислювальних похибок є віднімання близьких за величиною чисел. Наприклад, розглянемо квадратне рівняння х² – 140х + 1 = 0. Його корені х_1,2 = 70 . Будемо вважати, що всі числа мають 4 значущі цифри у десятковій системі числення, менші розряди відкидаються. Після округлення отримуємо , менший корінь х₂ = 70 – 69,99 = 0,0 1. Тут залишилась одна значуща цифра. Це ж саме х₂ можна знайти, “позбувшись ірраціональності у чисельнику”:

х₂ = 0,00 7142 85….

Тепер результат має 4 значущі цифри, точність значно вище. Річ в тім, що в перший раз було віднімання близьких за величиною чисел: при цьому зникають вірні значущі цифри.

Втрата точності може статися і при додаванні до великих чисел відносно малих. Для спрощення у наступному прикладі будемо вважати, що всі числа мають 2 значущі цифри у десятковій системі числення, менші розряди відкидаються. Нехай а₁ = 0,75, а₂ = 0,024, а₃ = 0,0072. Тоді а₂ + а₃ = 0,0312 ≈ 0,031, а₁ + (а₂ + а₃) ≈ 0,78. З іншого боку а₁ + а₃ = 0,7572 ≈ 0,75, (а₁ + а₃) + а₂ ≈ 0,75 + 0,024 = 0,774 ≈ 0,77. У другому випадку вірні цифри числа а₃ були втрачені через те, що воно додавалося до надто великого для нього а₁. Отже, взагалі для зменшення похибки додавати числа варто в порядку їх зростання.

Зауважимо, що в даному прикладі наближення а₁ + (а₂ + а₃) не дорівнює наближенню (а₁ + а₃) + а₂ : у машинній арифметиці закони алгебри не завжди виконуються точно.

Не можна ділити на числа близькі до нуля, бо навіть якщо абсолютна похибка Δа числа а дуже мала після ділення на близьке до нуля число b отримаємо велику абсолютну похибку Δа/ b числа а/ b. Дуже важливо при програмуванні обчислювальних алгоритмів уникати систематичних причин нагромадження похибок округлення: як бачимо на прикладах, ніщо тоді не гарантує малості сумарної обчислювальної похибки.

 

Стійкість і коректність.

Означення 3. Задачу називають стійкою за вхідними даними з деякого класу, якщо її розв‘язок неперервно залежить від вхідних даних. Якщо ця умова не виконується, то задача вважається нестійкою за вхідними даними.

Наприклад, задача інтегрування є стійкою на множині неперервних функцій на відрізку [a;b]. Дійсно, якщо (x), g(x) – неперервні функції на [a;b] і , то , тобто , якщо ε → 0. Навпаки задача диференціювання є нестійкою на множині диференційовних функцій на інтервалі (0;π). Дійсно, якщо (x) ≡ 0, g(x) = ε ∙ sin(x/ ε), то на (0;π). Однак похідна ( (x) – g(x))′ = – cos(x/ ε) = 1 при х = πε для будь – якого ε.

Поняття стійкості характеризує чутливість задачі до неточностей у вхідних даних і безпосередньо пов’язано з методами обчислень. Якщо задача стійка, то достатньо малі похибки вхідних даних спричиняють й малі похибки розв‘язку задачі. Якщо ні, то як завгодно незначні похибки вхідних даних можуть призвести до як завгодно великих похибок розв’язку, тобто розв’язок може бути зовсім спотворений. Розглянемо це більш докладно на прикладі методу чисельного диференціювання.

Нехай ′ (x₀) наближено визначається з виразу ′ (x₀) ≈ , гранична абсолютна похибка виразу (x₀+h) – (x₀) дорівнює Е (завжди Е > 0, оскільки існує обчислювальна похибка). Наближене значення ′ (x₀) дорівнює = . Оскільки для наближення до ′ (x₀) необхідно спрямувати h → 0, звідки → ∞, то й виявляється, що як завгодно незначна обчислювальна похибка Е може призвести до як завгодно великих похибок розв’язку.

Може статися і так, що для розв‘язування стійкої за вхідними даними задачі використовується нестійкий метод обчислень. Наприклад, нехай треба знайти інтеграл

,

Інтегруючи за частинами, маємо

Звідси дістанемо

, ,..., .

Використавши рекурентне співвідношення, обчислимо перші дев‘ять інтегралів

, , , , , ,

, , .

Значення інтеграла помилкове, оскільки підінтегральна функція в усіх точках відрізка невід‘ємна. Помилка зумовлена похибкою округлення значення до шести значущих цифр. Ця похибка наближено дорівнює . Але при обчисленні вона множиться на – 2, на (– 2) ∙ (– 3) і т.д. Похибка в дорівнює . Вона спотворила істинне значення , яке з трьома значущими цифрами дорівнює 0,0916.

Цей приклад свідчить, що поняття стійкості та означення 3 доречно використовувати не тільки для задачі, але й для методу її розв‘язування.

Введемо нарешті поняття коректності задачі.

Означення 4. Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних з деякого класу існує єдиний і стійкий за вхідними даними її розв‘язок. Наведена вище задача обчислення інтегралів є коректно поставленою на множині неперервних функцій, а диференціювання – некоректно поставленою задачею на множині диференційовних функцій.

Як показано у прикладах, для розв‘язання некоректно поставлених задач безпосередньо застосовувати чисельні методи не варто, оскільки похибки округлень при розрахунках можуть катастрофічно зрости і призвести до результату, далекого від шуканого розв‘язку. Для розв‘язання некоректно поставлених задач використовують так звану регуляризацію: замінюють дану задачу коректно поставленою. Наприклад, для знаходження похідної функції (x) (g(x) = ′ (x)) замість того, щоби безпосередньо диференціювати, можна розв‘язувати еквівалентне інтегральне рівняння з невідомою функцією g(x). Така задача вже коректна завдяки стійкості задачі інтегрування, отже вона є регуляризацією задачі диференціювання.

Питання, тести

1. Методи обчислень – це алгоритми знаходження таких розв’язків математичних задач:

А	Б	В	Г
точних	наближених	чисельних	скінчених

 

2. Оцінюючи якість (ефективність) методу, враховують такі його чинники:

А	універсальність
Б	поширеність
В	швидкість збіжності
Г	простоту програмної реалізації
Д	зручний інтерфейс
Е	економічність
Ж	стійкість результатів обчислень

 

3. Абсолютною похибкою наближення а* до точного значення а називають таку величину Δ(а*), для якої

А	Б	В	Г

 

4. Відносною похибкою (погрішністю) наближення а* до точного значення а називають таку величину δ(а*), що

А	Б	В	Г

 

5. Запис результату обчислень а = 1,123 4 ∙ 10^-3 означає, що

А	Б	В
а = 1,123 + 4 ∙ 10^-3 або а = 1,123 – 4 ∙ 10^-3	а ³ 1,123 + 4 ∙ 10^-3 або а £ 1,123 – 4 ∙ 10^-3	1,123 – 0,004 £ а £ 1,123 + 0,004

 

6. Запис результату обчислень а = 1,123(1 0,4%) означає, що

А	Б	В
а = 1,123(1 0,004)	а = 1,123(1 + 0,004) або а = 1,123(1 – 0,004)	(1 – 0,004) ∙ 1,123 а (1 + 0,004) ∙ 1,123

 

7. У числа 0,00735000 значущих цифр всього

А:	Б:	В:	Г:

 

8. Якщо Δ(а*) = 0,0000003, то у числа 0,02076000 вірних значущих цифр всього

А:	Б:	В:	Г:

 

9. Якщо а = 1 ± 0,05, b = 0 ± 0,02, u = a²b, то

А	Б	В	Г
u = 1 ± 0,05	u = 0 ± 0,02	u = 1 ± 0,07	u = 0 ± 0,07

 

10. Якщо а = 3 ± 0,01, b = 2 ± 0,02, u = a – b, то

А	Б	В	Г
u = 2 ± 0,02	u = 1 ± 0,01	u = 1 ± 0,03	u = 0 ± 0,09

 

11. Якщо а = 4 ± 0,06, b = 2 ± 0,02, u = a/b, то

А	Б	В	Г
u = 2 ± 0,02	u = 2 ± 0,03	u = 2 ± 0,04	u = 2 ± 0,08

 

12. При обчисленнях з дійсними числами на комп’ютері неминучою є похибка

А	Б	В	Г	Д	Е
моделі	методу	неусувна	округлення	дискретизації	збіжності

 

13. Нехай а₁ = 3,4; а₂ = 0,54; а₃ = 0,037; а₄ = 0,026. Похибка обчислень буде найменшою при такому порядку дій (всі числа мають дві вірні значущі цифри):

А	Б	В	Г	Д
а1 + а2 + а3 + а4	а2 + а3 + а4 + а1	а4 + а3 + а2 + а1	а1 + а4 + а3 + а2	відповідь не залежить від порядку дій

 

14. Нехай а₁ = 4,726; а₂ = 4,725; а₃ = 2,132. Похибка обчислень буде найменшою при такому порядку дій (всі числа мають чотири вірні значущі цифри):

А	Б	В	Г
а1 – а2 + а3	а3 + а1 – а2	– а2 + а3 + а1	відповідь не залежить від порядку дій

 

15. Ця задача є стійкою

А:	обчислення значення sin x на множині дійсних чисел x
Б:	обчислення значення tg x на множині дійсних чисел x
В:	інтегрування неперервних функцій на відрізку [a;b]
Г:	обчислення похідної на множині диференційовних функцій на інтервалі (a;b)

 

16. Малі похибки вхідних даних спричиняють малі похибки розв‘язку такої задачі

А:	обчислення похідної на множині диференційовних функцій на інтервалі (a;b)
Б:	інтегрування неперервних функцій на відрізку [a;b]
В:	обчислення значення ln x на множині дійсних чисел x
Г:	обчислення значення e^x на множині дійсних чисел x

 

17. Якщо задача є стійкою, то й метод її розв’язання є стійким

А	Б
так.	ні.

 

18. Ця задача є коректно поставленою

А:	знаходження коренів квадратного рівняння
Б:	знаходження розв’язків системи лінійних рівнянь
В:	інтегрування неперервних функцій на відрізку [a;b]
Г:	обчислення похідної на множині диференційовних функцій на інтервалі (a;b)