Чисельне інтегрування. Квадратурні формули



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Чисельне інтегрування. Квадратурні формули



Якщо функція f(х) неперервна на відрізку [a; b] і відома її первісна F, то справедлива формула Ньютона – Лейбниця . Проте цією формулою неможливо скористатися, якщо первісну F не можна виразити у відомих (традиційно в елементарних) функціях, або якщо функцію f задано таблично або графічно. У цих випадках необхідно будувати методи для наближеного обчислення визначених інтегралів. Найчастіше застосовують квадратурні формули.

Означення 1.Квадратурні формули – це формули вигляду . Суму в правій частині формули називають квадратурною сумою, числа хk і Аk називають відповідно вузлами і коефіцієнтами квадратурної формули. Різницю Rn( f) між визначеним інтегралом і квадратурною сумою Rn( f) = називають залишковим членом або похибкою квадратурної формули.

Крім похибки методу, тобто залишкового члена Rn( f), треба враховувати й інші похибки

розв’язку, згадані в розділі 1. Це, по – перше, так звана неусувна похибка, яка зумовлена наближеними значеннями fk). Якщо абсолютні похибки значень fk) дорівнюють Δ, то абсолютна похибка квадратурної суми дорівнюватиме R1 = Δ ∙ . Треба враховувати також похибку обчислення R2, що виникає за рахунок округлення проміжних результатів. Отже, повна похибка чисельного інтегрування R дорівнює R = Rn( f) + R1 + R2.

Найпростіші квадратурні формули можна отримати з наочних міркувань. Так, якщо f(х) ≈ const, то на відрізку [a; b] можна покласти I = ≈ (b – a) f(μ), де μ – довільна точка на відрізку. Якщо у якості μ взяти середню точку відрізку, то отримаємо формулу прямокутників:

I = (b – a) f ( ).

Нехай функція f(х) близька до лінійної. Тоді природно замінити інтеграл площею трапеції з висотою b – a та основами f(a) і f(b).

 
 


f (a)

 

 

f (b)

 

a b

Рисунок 1.

 

Отримаємо формулу трапецій:

I = (b – a) .

З наочних міркувань ясно, що й формула прямокутників теж дає непоганий результат в цьому випадку: (b – a) f ( ) – це площа довільної трапеції з висотою b – a і середньою лінією f ( ). Більш складні квадратурні формули, як і формули чисельного диференціювання отримають за допомогою апарату інтерполювання. На цьому ж шляху можна отримати й оцінки похибки квадратурної формули.

 

Квадратурні формули Ньютона – Котеса

Нехай обчислюється інтеграл і задані деякі d0, d1, …, dn Î [– 1; 1]. Побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа Ln(х) степеня n, що співпадає з функцією f(x) в точках хj = + dj (j = 0, 1, …, n). Шукаємо . Звідси Rn( f) = = . Різницю f(х) – Ln(х) можна оцінити, скориставшись оцінкою похибки інтерполяційного многочлена Лагранжа Ln(х) (теорема 1 розділу 2): Rn( f, x) = ωn+1(х), де ξ = ξ(x) є [a; b], ωn+1(х) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn). Звідси ôRn( f)ô ≤ ) . Замінимо змінну в останньому інтегралі: х = + t, тоді (оскільки хj = + dj (j = 0, 1, …, n) ) отримуємо = D(d0, d1, …, dn) ( )n+2 , де

D (d0, d1, …, dn) = . (6)

Отже,

ôRn( f)ô ≤ ) D(d0, d1, …, dn) ( )n+2 . (7)

Нехай всі dj різні. Тоді згідно з означенням 3 розділу

Ln(х) = f(xi) .

Після тої ж заміни х = + t отримуємо

= ( ) , Di = . (8)

Отже, побудована тим самим квадратурна формула має вигляд

. (9)

Означення 2.1)Квадратурну формулу (9), коефіцієнти якої Di обчислюють за формулою (8) називають інтерполяційною. 2) Якщо вузли формули (9) рівновіддалені, то інтерполяційна квадратурна формула називається формулою Ньютона – Котеса, а її коефіцієнти Di називаються коефіцієнтами Котеса.

Наведемо декілька елементарних квадратурних формул – прикладів цієї конструкції.

1. Формула прямокутників. Нехай n = 0, d0 = 0. Тоді згідно з (6) D(d0) = = 1, згідно з (8) D0 = = 2. Отже, згідно з (9) маємо квадратурну формулу ∙ 2 ∙ f 0) = (b – a)∙ f ( ) – саме ту, що і треба. Оцінка залишкового члена цієї квадратурної формули згідно з (7) ôR( f)ô ≤ ) ( )2.

2. Формула трапецій. Нехай n = 1, d0 = – 1, d1 = 1. Тоді згідно з (6) D(d0, d1) = = = . Згідно з (8) D0 = = = 1, D1 = = 1. Отже, згідно з (9) справді маємо квадратурну формулу трапецій: ∙ (f 0) + f 1) ) = (b – a) (оскільки х0 = , х1 = + ). Її оцінка згідно з (7) ôR( f)ô ≤ ) = ) .

Аналогічно можна отримати й оцінку ôR( f)ô ≥ ) .

3. Формула Сімпсона. Нехай n = 3, d0 = – 1, d1 = 0, d2 = 1, d3 = 0. Тоді згідно з (6)

D (d0, d1, d2, d3) = = = .

Згідно з теоремою 2.2 розділу L3(x) – L2(x) = f (x0; x1; x2; x3)(х – x0)(х – x1)(х – x2) = f (a; b; ; )(х – a)(х – b)(х – ). Але функція (х – a)(х – b)(х – ) непарна відносно – середини відрізка [a; b] і отже = 0; тому = . Многочлен L2(x) = f (x0; x1; x2)(х – x0)(х – x1) = f (a; b; )(х – a)(х – b) є многочленом другого степеня, відповідним d0 = – 1, d1 = 0, d2 = 1. Тоді згідно з (8) D0 = = = , D1 = = = , D2 = = = . Отже, згідно з (9) отримана квадратурна формула (f (a) + 4 f ( ) + f (b)), яку і називають квадратурною формулою Сімпсона. Згідно з (7) ôR( f )ô ≤ ) ( )5 = ) .

Аналогічно можна отримати й оцінку ôR( f)ô ≥ ) .



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.50.201 (0.007 с.)