Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Чисельне інтегрування. Квадратурні формулиСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [a; b] і відома її первісна F, то справедлива формула Ньютона – Лейбниця . Проте цією формулою неможливо скористатися, якщо первісну F не можна виразити у відомих (традиційно в елементарних) функціях, або якщо функцію f задано таблично або графічно. У цих випадках необхідно будувати методи для наближеного обчислення визначених інтегралів. Найчастіше застосовують квадратурні формули. Означення 1. Квадратурні формули – це формули вигляду ≈ . Суму в правій частині формули називають квадратурною сумою, числа хk і Аk називають відповідно вузлами і коефіцієнтами квадратурної формули. Різницю Rn(f) між визначеним інтегралом і квадратурною сумою Rn(f) = – називають залишковим членом або похибкою квадратурної формули. Крім похибки методу, тобто залишкового члена Rn(f), треба враховувати й інші похибки розв’язку, згадані в розділі 1. Це, по – перше, так звана неусувна похибка, яка зумовлена наближеними значеннями f (хk). Якщо абсолютні похибки значень f (хk) дорівнюють Δ, то абсолютна похибка квадратурної суми дорівнюватиме R1 = Δ ∙ . Треба враховувати також похибку обчислення R2, що виникає за рахунок округлення проміжних результатів. Отже, повна похибка чисельного інтегрування R дорівнює R = Rn(f) + R1 + R2. Найпростіші квадратурні формули можна отримати з наочних міркувань. Так, якщо f (х) ≈ const, то на відрізку [a; b] можна покласти I = ≈ (b – a) f (μ), де μ – довільна точка на відрізку. Якщо у якості μ взяти середню точку відрізку, то отримаємо формулу прямокутників: I = (b – a) f (). Нехай функція f (х) близька до лінійної. Тоді природно замінити інтеграл площею трапеції з висотою b – a та основами f (a) і f (b). f (a)
f (b)
a b Рисунок 1.
Отримаємо формулу трапецій: I = (b – a) . З наочних міркувань ясно, що й формула прямокутників теж дає непоганий результат в цьому випадку: (b – a) f () – це площа довільної трапеції з висотою b – a і середньою лінією f (). Більш складні квадратурні формули, як і формули чисельного диференціювання отримають за допомогою апарату інтерполювання. На цьому ж шляху можна отримати й оцінки похибки квадратурної формули.
Квадратурні формули Ньютона – Котеса Нехай обчислюється інтеграл і задані деякі d0, d1, …, dn Î [– 1; 1]. Побудуємо інтерполяційний многочлен Лагранжа Ln(х) степеня n, що співпадає з функцією f (x) в точках хj = + dj (j = 0, 1, …, n). Шукаємо ≈ . Звідси Rn(f) = – = . Різницю f (х) – Ln(х) можна оцінити, скориставшись оцінкою похибки інтерполяційного многочлена Лагранжа Ln(х) (теорема 1 розділу 2): Rn(f, x) = ωn+1(х), де ξ = ξ (x) є [a; b], ωn+1(х) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn). Звідси ôRn(f)ô ≤ ) . Замінимо змінну в останньому інтегралі: х = + t, тоді (оскільки хj = + dj (j = 0, 1, …, n)) отримуємо = D(d0, d1, …, dn) ()n+2, де D (d0, d1, …, dn) = . (6) Отже, ôRn(f)ô ≤ ) D(d0, d1, …, dn) ()n+2. (7) Нехай всі dj різні. Тоді згідно з означенням 3 розділу Ln(х) = f (xi). Після тої ж заміни х = + t отримуємо = () , Di = . (8) Отже, побудована тим самим квадратурна формула має вигляд ≈ . (9) Означення 2. 1)Квадратурну формулу (9), коефіцієнти якої Di обчислюють за формулою (8) називають інтерполяційною. 2) Якщо вузли формули (9) рівновіддалені, то інтерполяційна квадратурна формула називається формулою Ньютона – Котеса, а її коефіцієнти Di називаються коефіцієнтами Котеса. Наведемо декілька елементарних квадратурних формул – прикладів цієї конструкції. 1. Формула прямокутників. Нехай n = 0, d0 = 0. Тоді згідно з (6) D(d0) = = 1, згідно з (8) D0 = = 2. Отже, згідно з (9) маємо квадратурну формулу ≈ ∙ 2 ∙ f (х0) = (b – a)∙ f () – саме ту, що і треба. Оцінка залишкового члена цієї квадратурної формули згідно з (7) ôR(f)ô ≤ ) ()2. 2. Формула трапецій. Нехай n = 1, d0 = – 1, d1 = 1. Тоді згідно з (6) D(d0, d1) = = = . Згідно з (8) D0 = = = 1, D1 = = 1. Отже, згідно з (9) справді маємо квадратурну формулу трапецій: ≈ ∙ (f (х0) + f (х1)) = (b – a) (оскільки х0 = – , х1 = + ). Її оцінка згідно з (7) ôR(f)ô ≤ ) = ) . Аналогічно можна отримати й оцінку ôR(f)ô ≥ ) . 3. Формула Сімпсона. Нехай n = 3, d0 = – 1, d1 = 0, d2 = 1, d3 = 0. Тоді згідно з (6) D (d0, d1, d2, d3) = = = . Згідно з теоремою 2.2 розділу L3(x) – L2(x) = f (x0; x1; x2; x3)(х – x0)(х – x1)(х – x2) = f (a; b; ; )(х – a)(х – b)(х – ). Але функція (х – a)(х – b)(х – ) непарна відносно – середини відрізка [a; b] і отже = 0; тому = . Многочлен L2(x) = f (x0; x1; x2)(х – x0)(х – x1) = f (a; b; )(х – a)(х – b) є многочленом другого степеня, відповідним d0 = – 1, d1 = 0, d2 = 1. Тоді згідно з (8) D0 = = = , D1 = = = , D2 = = = . Отже, згідно з (9) отримана квадратурна формула ≈ (f (a) + 4 f () + f (b)), яку і називають квадратурною формулою Сімпсона. Згідно з (7) ôR(f)ô ≤ ) ()5 = ) . Аналогічно можна отримати й оцінку ôR(f)ô ≥ ) .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 499; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.119.118.180 (0.006 с.) |