Метод подвійного перерахунку.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Метод подвійного перерахунку.



Нехай залишковий член деякої узагальненої квадратурної формули Ньютона – Котеса має порядок р відносно кроку інтегрування h: R( f ) = О(hр). Поділимо відрізок [a; b] на n рівних відрізків і на 2n рівних відрізків, нехай In та I2n – відповідні наближені значення інтеграла за цією квадратурною формулою, а Rn( f ) і R2n( f ) – відповідні залишкові члени. Метод подвійного перерахунку ґрунтується на двох формулах.

1. R2n ( f ) ≈ (правило Рунге) (14)

2. ≈ In,2n = I2n + (формула екстраполяції за Річардсоном). (15)

Назва екстраполяція пов’язана з тим, що коли In ≠ I2n, то уточнене значення In,2n ніколи не лежить між In та I2n. Справді, якщо I2n > In, то з (15) випливає, що In,2n > I2n = max{ In, I2n }. Якщо ж I2n < In, то In,2n < I2n = min{ In, I2n }. Формул (14) і (15) достатньо для практичної реалізації методу подвійного перерахунку (див. наступний параграф). Тут далі наведені обґрунтування цих формул і водночас їх точне формулювання. Функцію f(х) будемо вважати диференційовною стільки разів, скільки це виявиться необхідним.

Спочатку зазначимо, що оскільки 1) завжди залишковий член квадратурної формули Ньютона – Котеса на відрізку [a; b] R( f ) = , де Rm( f, х) = f(х) – Lm(x) – це залишковий член відповідної інтерполяційної формули, а 2) згідно з теоремою 1 розділу Rm( f, х) = ωm+1(х), де ξ = ξ(x) є [a; b], то і R( f ) = , де ξ Î [a; b]. Справді, оскільки ≤ R( f ) ≤ , а функція f(m+1)(x) неперервна, то для деякого ξ Î [a; b] R( f ) = f(m+1)( ξ) ,

R( f ) = f(m+1)(ξ) = f(m+1)(ξ) hm+2, (16)

де h = b – a – довжина відрізку, а – стала. Тут = , х = + t , хj = + dj (j = 0, 1, … , m). Очевидно, порядок R( f ) згідно (16) дорівнює m + 2. Формулу (16) використаємо для обґрунтування (14) і (15), до чого й переходимо безпосередньо.

Нехай задана деяка узагальнена квадратурна формула Ньютона – Котеса порядку р відносно кроку інтегрування h: R( f ) = О(hр). Поділимо відрізок [a; b] на n рівних відрізків завдовжки h = (b – a)/n точками a = х0 < х1 < … < хk < … < хn = b і на 2n рівних відрізків завдовжки h/2 = (b – a)/2n точками a = y0 < y1 < … < yk < … < y2n = b так, щоби хk = y2k (k = 0, 1, …, n). За означенням узагальненої квадратурної формули до кожного з відрізків [хk; хk+1] застосуємо дану неузагальнену формулу Ньютона – Котеса і отримаємо відповідні наближені значення Ink інтеграла та залишкові члени Rnk( f ). Згідно з висновком § 5Rnk( f ) = О(hр+1), згідно з (16) Rnk( f ) = f(m+1)(ξnk) hm+2, де ξnk Î [хk; хk+1], звідки p = m + 1. За побудовою на кожному відрізку [хk; хk+1] розташовані два відрізка: [у2k; у2k+1] та [у2k+1; у2k+2] (бо хk = у2k, хk+1 = у2k+2). Аналогічно дістанемо на кожному з цих відрізків наближені значення I2n2k інтеграла та I2n2k+1 інтеграла і відповідні залишкові члени R2n2k( f ) та R2n2k+1( f ): R2n2k( f ) = О( )p+1 , R2n2k+1( f ) = О( )p+1 , R2n2k( f ) = f(m+1)(ξ2n2k) ( )p+1, R2n2k+1( f ) = f(m+1)(ξ2n2k+1) ( )p+1, оскільки р + 1 = m + 2 (ξ2n2k Î [у2k; у2k+1], ξ2n2k+1 Î [у2k+1; у2k+2]) . Отже, інтеграл Ik = = Ink + Rnk( f ) = Ink + Мnk hр+1, де Мnk = f(m+1)(ξnk). Але = = = I , а за означенням узагальненої квадратурної формули = In, = Rn( f ) = hр+1. Тому I = = + = In + Rn( f ) = In + hр+1. З іншого боку, Ik = = + = (I2n2k + R2n2k( f )) + (I2n2k+1 + R2n2k+1( f )) = (I2n2k + I2n2k+1) + (R2n2k( f ) + R2n2k+1( f )) = (I2n2k + I2n2k+1) + (М2n2k + М2n2k+1) ∙ ( )p+1, де М2n2k = f(m+1)(ξ2n2k), М2n2k+1 = f(m+1)(ξ2n2k+1). Але за означенням узагальненої квадратурної формули = I2n, = R2n( f ) = ( )p+1. Тому з іншого боку I = = + = I2n + R2n( f ) = I2n + ( )p+1. Отже,

I = In + Rn( f ) = In + hр+1 . (17)

I = I2n + R2n( f ) = I2n + ( )p+1 . (18)

Спочатку при кожному k знехтуємо відмінністю між Мnk, М2n2k і М2n2k+1 – значеннями функції f(m+1)(х) на відрізку [хk; хk+1] довжини h ® 0 і покладемо Мnk ≈ М2n2k ≈ М2n2k+1 ≈ Мk, М = , С = M h. В такому разі отримуємо

I = In + Rn( f ) = In + M hр+1 = In + Сhр ,

I = I2n + R2n( f ) = I2n + 2M ( )p+1 = I2n + С( )p . (19)

Відомими в (19) є In , I2n , h і р, невідомими I та С. Отже, це система двох лінійних рівнянь з двома невідомими. Звідси I2n + С( )p – (In + Сhр) = 0 ; I2n – In = Сhр – С( )p = С( )p(2р – 1) = R2n( f )(2р – 1) , звідки знаходимо R2n( f ) = (правило Рунге). Тому I = I2n + R2n( f ) = I2n + (формула екстраполяції за Річардсоном). Це точні

формули, єдине неточне припущення у доведенні – рівність Мnk ≈ М2n2k ≈ М2n2k+1 ≈ Мk . Отже, покладемо Мk = Мnk, Δ2n2k = М2n2k – Мk = f(m+1)(ξ2n2k) – f(m+1)(ξnk) = f(m+2)2n2k) ∙ (ξ2n2kξnk), де за теоремою Лагранжа η2n2k Î [ξ2n2k; ξnk] Í [хk; хk+1], звідки ôΔ2n2kô ≤ ∙h. Аналогічно Δ2n2k+1 = М2n2k+1 – Мk = f(m+1)(ξ2n2k+1) – f(m+1)(ξnk), звідки за

теоремою Лагранжа ôΔ2n2kô ≤ ∙ h. Таким чином = 2 + = 2М + Δ, де Δ = , ôΔô ≤ 2n ∙h = 2 (b – a). Отже, точний варіант (19), що випливає з (17), (18) це

I = In + Rn( f ) = In + M hр+1 = In + Сhр ,

I = I2n + R2n( f ) = I2n + (2M + Δ) ( )p+1 = I2n + С( )p + B( )p+1 (B = Δ ). (20)

Як і раніше, звідси I2n + С( )p + B( )p+1 – (In + Сhр) = 0 ; I2n – In = Сhр – С( )p – B( )p+1 = С( )p(2р – 1) – B( )p+1 = R2n( f )(2р – 1) – (2р – 2)B( )p+1, звідки знаходимо = R2n( f ) – B( )p+1. Отже, значення відрізняється від R2n( f ) на величину B( )p+1 порядку р + 1 відносно h, тобто на одиницю більшу порядку R2n( f ). Тому і величина In,2n = I2n + з формули екстраполяції за Річардсоном (15) насправді відрізняється від точного значення інтеграла І = на ту ж величину B( )p+1 порядку р + 1, яку природно позначити Rn,2n( f ). Отже, точні варіанти (14) і (15) це

1. R2n ( f ) = + О(hp+1), 2. = In,2n + Rn,2n( f ) = I2n + + О(hp+1).

Поділимо відрізок [a; b] на n, на 2n і на 4n рівних відрізків, дістанемо In,2n і аналогічно I2n,4n : = In,2n + Rn,2n( f ) = I2n,4n + R2n,4n ( f ), де Rn,2n( f ) = О(hp+1), R2n,4n ( f ) = О( )p+1 . Так само, як і вище, можна довести, що величина = R2n,4n ( f ) + О(hp+2), тобто відрізняється від R2n,4n ( f ) на величину порядку на одиницю більшу за порядок R2n,4n ( f ). Звідси = I2n,4n + + О(hp+2), тобто отримуємо вже наближення порядку р + 2. Процес можна продовжити і далі, отримуючи наближення порядку р + 3, р + 4, … . Доведення такого методу кратного перерахунку по суті повторює наведене вище, хоча потребує ще більшої кількості позначень. Реалізацію цього метода за допомогою Excel розглянемо у наступному параграфі.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.192.21.182 (0.022 с.)