Методи Рунге – Кутта з вищими порядками похибки

Чи існують методи Рунге – Кутта з порядком похибки s = 3, якщо q = 2? Спочатку більш докладно розглянемо підрахунки § 5. При q = 2

у_k+1 = y_k + p₁w₁(h) + p₂w₂(h) = y_k + p₁h f (x_k, y_k) + p₂h f (, ), де = x_k + α₂h, = y_k + β₂₁h f (x_k, y_k), φ_k(h) = у_k+1 – у(х_k+1) = y_k + p₁h f (x_k, y_k) + p₂h f (, ) – у(х_k + h),

звідки φ_k(0) = 0. Похідні функції φ_k(h):

φ_k´(h) = p₁ f (x_k, y_k) + p₂ f (, ) + p₂h ( + ) – у´(х_k + h) = p₁ f (x_k, y_k) + p₂ f (, ) + p₂h ( α₂ + β₂₁ f (x_k, y_k)).

φ_k´´(h) = 2p₂ ( α₂ + β₂₁ f (x_k, y_k)) + p₂h ( α₂ + β₂₁ f (x_k, y_k)) – у´´(х_k + h) = 2p₂ ( α₂ + β₂₁ f (x_k, y_k)) + p₂h ∙ ((α₂)² + 2α₂β₂₁ (, ) f (x_k, y_k) + (β₂₁)² (, )(f (x_k, y_k))²) – у´´(х_k + h),

φ_k´´´(h) = 3p₂((α₂)² + 2α₂β₂₁ (, ) f (x_k, y_k) + (β₂₁)² (, )(f (x_k, y_k))²) – у´´´(х_k + h) + О(h). Оскільки у´´´ = f ´´ = ()´ = + 2 f + f ² + f ´ = + 2 f + f ² + у´´, то

φ_k´´´(0) = (3p₂(α₂)² – 1) + (6p₂α₂β₂₁ – 2) (x_k, y_k) + (3p₂(β₂₁)² – 1) (x_k, y_k) + (x_k, y_k) у´´(х). Тоді у разі рівняння у´ = у згідно з попередньою формулою маємо φ_k´´´(0) = у незалежно від значень параметрів p₁, p₂, α₂, β₂₁. Звідси випливає, що не існує формул Рунге – Кутта з q = 2 і s = 3.

Як і в інших розділах, наприкінці наведемо без доведення результати для більш складних випадків. Спочатку нехай q = 3. Тоді існує вже 8 параметрів: p₁, p₂, p₃, α₂, α₃, β₂₁, β₃₁, β₃₂. Метод Рунге – Кутта з q = 3 має третій порядок точності (тобто φ_k(0) = φ_k´(0) = φ_k´´(0) = φ_k´´´(0) = 0) тоді і тільки тоді, коли

α₂ = β₂₁, α₃ = β₃₁ + β₃₂, α₃(α₃ – α₂) – β₃₂α₂(2 – 3 α₂) = 0,

p₃β₃₂α₂ = , p₂α₂ + p₃α₃ = , p₁ + p₂ + p₃ = 1.

 

Ця система шести рівнянь з вісьма невідомими має безліч розв’язків. Найбільш поширена така сукупність розрахункових формул:

w₁(h) = h f (x_k, y_k), w₂(h) = h f (x_k + , y_k + ),

w₃(h) = h f (x_k + h, y_k – w₁(h) + 2w₂(h)), у_k+1 = y_k + p₁w₁(h) + p₂w₂(h) + p₃w₃(h).

Якщо права частина функції f (x, y) не залежить від у, тобто ≡ 0, то ця розрахункова формула перетворюється у формулу Сімпсона:

у_k+1 = y_k + (f (x_k) + 4 ∙ f (x_k + ) + f (x_k + h)).

Розрахункових формул для порядку точності s = 4 з q = 3 не існує. Для порядку точності s = 5 не існує розрахункових формул з q = 4 і q = 5. При q = 4 існує двопараметрична множина розрахункових формул, відповідна порядку точності s = 4. Для прикладу наведемо одно однопараметричне сімейство таких формул:

w₁(h) = h f (x_k, y_k), w₂(h) = h f (x_k + , y_k + ),

w₃(h) = h f (x_k + , y_k + ( – )w₁(h) + w₂(h)),

w₄(h) = h f (x_k + h, y_k + (1 – t)w₂(h) + tw₃(h)),

у_k+1 = y_k + (w₁(h) + (4 – 2t)w₂(h) + 2tw₃(h) + w₄(h)).

Найбільш застосовуваною є сукупність формул цього сімейства, яка відповідає t = 1:

w₁(h) = h f (x_k, y_k), w₂(h) = h f (x_k + , y_k + ),

w₃(h) = h f (x_k + , y_k + w₂(h)), w₄(h) = h f (x_k + h, y_k + w₃(h)),

у_k+1 = y_k + (w₁(h) + 2w₂(h) + 2w₃(h) + w₄(h)).

Треба зазначити, що формулювання “найбільш застосовувана” відповідає історичній тенденції у використанні чисельних методів. Якщо деякий метод виявився прийнятним, то користувачі звикають до нього і неохочі до його заміни на дещо більш ефективний. Крім того, не існує єдиного критерію переваги алгоритму. Наприклад, може виявитися, що метод з меншою похибкою є більш чутливим до обчислювальної похибки. Як правило тому, для заміни “найбільш застосовуваного” методу на інший потрібна суттєва перевага його над попередником.

 

Питання, тести

1. Якщо функція f (x, y) і її часткова похідна (x, y) неперервні у точці (х₀; у₀), то для звичайного диференціального рівняння першого порядку у´ = f (x, y)

 

А	завжди існують інтегральні криві, які проходять через точку (х0; у0)
Б	інтегральні криві, які проходять через точку (х0; у0) існують при додаткових умовах
В	існує єдина інтегральна крива, яка проходять через точку (х0; у0)
Г	існування інтегральної кривої залежить від даної функції f (x, y)
Д	існування інтегральної кривої залежить від даної точки (х0; у0)

 

 

2. Розв’язати задачу Коші чисельно означає для заданої послідовності х₀, х₁, …, х_n значень незалежної змінної х знайти числову послідовність у₀, у₁, …, у_n так, щоб

 

 

А	всі числа уi з заданою точністю наближали наперед задані значення в точках хi
Б	похибка наближеного значення уk в заданій точці хk не перевищувала даного ε
В	всі уi з даною точністю наближали значення у(хi) інтегральної кривої з у(х0) = у0
Г	уn з даною похибкою наближав у(хn), якщо крок інтегрування є достатньо малим

 

3. Чисельний розв’язок задачі Коші у´(х) = 2, y(0) = 1 має на відрізку [0; 1] найкращі (тобто найменші) похибки наближеного значення для заданих точок х_i, якщо

А	застосувати метод Ейлера
Б	застосувати удосконалений метод Ейлера
В	обидва ці методи дають однаковий результат
Г	це залежить від заданої точки хk
Д	це залежить від кроку інтегрування

 

 

4. Для чисельного розв’язку задачі Коші у´(х) = – 2, y(0) = 1 на відрізку [0; 2] похибка наближеного значення для заданої точки х_i = 1 дорівнює

 

А	1 при застосуванні методу Ейлера
Б	1 при застосуванні удосконаленого методу Ейлера
В	обидва ці методи дають однаковий результат
Г	це значення залежить від кроку інтегрування
Д	всі методи Рунге – Кутта дають однаковий результат

 

 

5. Чисельний розв’язок задачі Коші у´(х) = 2х – 1, y(0) = 1 на відрізку [0; 1] серед двох методів: Ейлера та удосконаленого методу Ейлера має найкращі (тобто найменші) похибки наближеного значення для заданих точок х_i, якщо

 

А	застосувати метод Ейлера
Б	застосувати удосконалений метод Ейлера
В	обидва ці методи дають однаковий результат
Г	це залежить від заданої точки хk
Д	це залежить від кроку інтегрування

 

6. Метод Ейлера – це ітераційний метод, рекурентна формула якого має вигляд:

 

А	xk+1 = xk + h, уk + 1 = уk + h f (хk; уk)
Б	xk+1 = xk + h, уk+1 = уk + f (хk; уk)h
В	xk+1 = хk + h, уk+1 = уk + f (хk; уk)h
Г	xk+1 = хk + h, уk + 1 = уk + h f (хk; уk)

 

7. Рекурентна формула удосконаленого методу Ейлера має вигляд:

 

А	xk+ ½ = хk + h, уk + 1 = уk + h f (хk+ ½; уk)
Б	xk+ ½ = хk + h, уk + 1 = уk + h f (хk+ ½; уk)
В	уk + ½ = уk + f (хk; уk), уk+1 = уk + h f (хk + ; уk + ½)
Г	уk + ½ = уk + f (хk; уk), уk+1 = уk + ½ + h f (хk; уk + ½)

 

8. Чисельні розв’язки задачі Коші у´(х) = 2у + sin(3x – y), y(0) = 1 з кроком інтегрування h у чарунці H1 методомЕйлера визначається такою таблицею:

 

А:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= $H$1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2))
	= A2+$H$1	= B2+C2	↓
	↓	↓	↓

Б:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= H1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2))
	= A2+H1	= B2+C2	↓
	↓	↓	↓

В:

	A	B	C
	y	x	Dy
			= $H$1*(2*А2+0,5*SIN(3*В2-А2))
	= А2+C2	= В2+$H$1	↓
	↓	↓	↓

Г:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= H1*(2*B2+0,5*SIN(3*В2-А2))
	= A2+H1	= B2+C2	↓
	↓	↓	↓

 

9. Чисельні розв’язки задачі Коші у´(х) = 2у + sin(3x – y), y(0) = 1 з кроком інтегрування h у чарунці H1 удосконаленим методомЕйлера визначається такою таблицею:

А:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= $H$1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2))
	= A2 + $H$1	= B2 + С2	↓
	↓	↓	↓
	D	E	F
	x1	y1	Dy1
	= A2 + 0,5*$H$1	= B2 + 0,5*F2	= $H$1*(2*E2+0,5*SIN(3*D2-E2))
	↓	↓	↓
	↓	↓	↓

 

Б:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= H1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2))
	= A2 + H1	= B2 + C2	↓
	↓	↓	↓

В:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= $H$1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2))
	= A2 + $H$1	= B2 + С2	↓
	↓	↓	↓

 

Г:

	A	B	C
	x	y	Dy
			= $H$1*(2*B2+0,5*SIN(3*A2-B2))
	= A2 + $H$1	= B2 + F2	↓
	↓	↓	↓
	D	E	F
	x1	y1	Dy1
	= A2 + 0,5*$H$1	= B2 + 0,5*C2	= $H$1*(2*E2+0,5*SIN(3*D2-E2))
	↓	↓	↓
	↓	↓	↓

 

10. Методами Рунге – Кутта називають ітераційні методи, які визначаються рекурентними формулами у_k+1 = y_k + , де

 

А	w1(h) = h f (xk, yk)
Б	w2(h) = h f (хk + α2h, yk + β21w1(h))
В	w3(h) = h f (хk + α3h, yk + β31w1(h))
Г	wq(h) = h f (xk + αqh, yk + βq1w1(h) + βq2w2(h) + … + βqq-1wq-1(h))

 

11. Якщо s є порядком точності методу Рунге – Кутта, то похибка цього методу на кроці дорівнює

А	Б	В	Г
s + 1	s	s – 1	s – 2

 

12. Збіжність методу тим швидше, чим порядок його точності

 

А	Б	В	Г
більше	менше	це залежить від диф. рівняння	це залежить від початкової умови

 

13. Чи до кожної задачі Коші у´ = f (x, y); у(х₀) = у₀, для якої виконуються умови теореми існування та єдності розв’язку можна застосувати формули Рунге – Кутта?

А	Б	В	Г
так	ні	це залежить від порядок точності методу	це залежить від кількості параметрів

 

14. Який порядок точності методу, що визначається рекурентними формулами

x_k+1 = x_k + h, у_k+1 = у_k + h f (х_k; у_k)?

 

А	Б	В	Г

 

15. Який порядок точності методу Рунге – Кутта чисельного розв’язання задачі Коші на відрізку [1; 2] з кроком інтегрування у чарунці H1, якщо він визначається такими формулами:

А:

	A	B	C
	x	y	w1
			= $H$1*(2*A2+3*SIN(B2^2))
	= A2 + $H$1	= B2 + F2	↓
	↓	↓	↓
	D	E	F
	x1	y1	w2
	= A2 + 0,5*$H$1	= B2 + 0,5*C2	=$H$1*(2*D2+3*SIN(E2^2))
	↓	↓	↓
	↓	↓	↓

 

А	Б	В	Г

 

Б:

	A	B	C
	x	y	w1
			= $H$1*(2*A2+3*SIN(B2^2))
	= A2 + $H$1	= B2 + F2	↓
	↓	↓	↓
	D	E	F
	x1	y1	w2
	= A2 + 0,7*$H$1	= B2 + 0,3*C2	=$H$1*(2*D2+3*SIN(E2^2))
	↓	↓	↓
	↓	↓	↓

 

А	Б	В	Г

 

 

1. Отримані оцінки наступного методу є апостеріорними

 

А	методу Ейлера
Б	удосконаленого методу Ейлера
В	методів Рунге – Кутта
Г	методу подвійного перерахунку
Д	методу кратного перерахунку

 

 

1. Метод подвійного перерахунку ґрунтується на таких формулах:

 

А	рекурентних формулах методу Ейлера
Б	рекурентних формулах удосконаленого методу Ейлера
В	правилі Рунге
Г	аналогу формули екстраполяції за Річардсоном
Д	формулах методів Рунге – Кутта

 

 

1. Формула правила Рунге – це

 

А	у(хk) ≈ +
Б	ε ≈
В	xk+ ½ = хk + h, уk + 1 = уk + h f (хk+ ½; уk)
Г	уk+1 = yk + ,

 

 

19. Формули методу кратного перерахунку – це

 

А	у(хk) ≈ + ; ε ≈
Б	xk+ ½ = хk + h, уk + 1 = уk + h f (хk+ ½; уk)
В	ε ≈ ; у(хk) ≈ +
Г	уk + ½ = уk + f (хk; уk), уk+1 = уk + ½ + h f (хk; уk + ½)

 

 

20. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення чисельного розв’язку задачі Коші методом Рунге – Кутта другого порядку точності для заданої точки х_i = 1 з кроками h = 0,2 0,1 0,05 0,025 у чарунках В2, В3 В4 і В5 відповідно. Така таблиця здійснює подвійний перерахунок цих даних:

А:

	A	B	C	D
	h	y(1)	ε	y(1) уточн.
	0,2	5,93258	= (B3 – B2)/3	= C2 + B2
	0,1	6,09164	↓	↓
	0,05	6,14066	↓	↓
	0,025	6,15418	↓	↓

 

Б:

	A	B	C	D
	h	y(1)	ε	y(1) уточн.
	0,2	5,93258
	0,1	6,09164	= (B3 – B2)/3	= C3 + B3
	0,05	6,14066	↓	↓
	0,025	6,15418	↓	↓

В:

	A	B	C	D
	h	y(1)	ε	y(1) уточн.
	0,2	5,93258	= (B3 – B2)/2	= C2 + B2
	0,1	6,09164	↓	↓
	0,05	6,14066	↓	↓
	0,025	6,15418	↓	↓

Г:

	A	B	C	D
	h	y(1)	ε	y(1) уточн.
	0,2	5,93258
	0,1	6,09164	= (B3 – B2)/2	= C3 + B3
	0,05	6,14066	↓	↓
	0,025	6,15418	↓	↓

 

20. У стовпці В наступної таблиці знаходяться наближені значення чисельного розв’язку задачі Коші методом Рунге – Кутта третього порядку точності для заданої точки х_i = 1 з кроками h = 0,2 0,1 0,05 0,025 у чарунках В2, В3 В4 і В5 відповідно. Така таблиця здійснює кратний перерахунок цих даних:

А:

	A	B	C	D	E
	№ перер
	h	y(1)	ε	y(1)	ε
	0,2	4,108655
	0,1	3,971733	= (B4 – B3)/3	= C4 + B4
	0,05	4,056332	↓	↓	= (D5 – D4)/7	= D5 + E5
	0,025	4,051298	↓	↓	↓	↓

Б:

	A	B	C	D	E
	№ перер
	h	y(1)	ε	y(1)	ε
	0,2	4,108655	= (B3 – B4)/7	= C3 + B3
	0,1	3,971733	↓	↓	= (D4 – D5)/15	= D4 + E4
	0,05	4,056332	↓	↓	↓	↓
	0,025	4,051298	↓	↓	↓	↓

В:

	A	B	C	D	E
	№ перер
	h	y(1)	ε	y(1)	ε
	0,2	4,108655
	0,1	3,971733	= (B4 – B3)/7	= C4 + B4
	0,05	4,056332	↓	↓	= (D5 – D4)/15	= D5 + E5
	0,025	4,051298	↓	↓	↓	↓

Г:

	A	B	C	D	E
	№ перер
	h	y(1)	ε	y(1)	ε
	0,2	4,108655	= (B3 – B4)/3	= C3 + B3
	0,1	3,971733	↓	↓	= (D4 – D5)/4	= D4 + E4
	0,05	4,056332	↓	↓	↓	↓
	0,025	4,051298	↓	↓	↓	↓

 

 

Завдання

1. Знайти чисельні розв’язки задачі Коші у´(х) = 2у + sin(3x – y), y(0) = 1 на відрізку [0; 1] з кроками інтегрування h = 0,2 0,1 0,05 0,025 методомЕйлера.

2. Знайти чисельні розв’язки задачі Коші у´(х) = 2у + sin(3x – y), y(0) = 1 на відрізку [0; 1] з кроками інтегрування h = 0,2 0,1 0,05 0,025 удосконаленим методомЕйлера.

3. Знайти чисельні розв’язки задачі Коші на відрізку [1; 2] з кроками інтегрування h = 0,1 0,05 методом Рунге – Кутта другого порядку точності по формулам , де , і оцінити похибку отриманого розв’язку методом подвійного перерахунку.

4. Знайти чисельний розв’язок задачі Коші на відрізку [0; 1] методом Рунге – Кутта другого порядку точності за формулою , де з точністю 10^-4, оціненою методом кратного перерахунку.

 

Іменний покажчик

Адамс 5

Банах 104, 156

Бессель 47, 48

Гаусс 5, 49, 135-138, 140, 142, 143, 145, 148, 149, 153 - 156, 164-168, 170-172, 183, 185, 186, 192

Гейзенберг 65

Ейлер 5, 234-239, 241-245, 250, 252, 253, 262-264,267,271

Ейткін 28-31, 34, 37, 53, 54, 58

Ерміт 5;

Жордан 192-195, 197, 198, 211, 212, 215, 217, 218, 221, 230, 233

Зейдель 160-163

Котес 67-69, 71-73, 76, 79, 87, 88, 90

Кутт 242-247, 249, 253, 259, 260, 262, 265-269, 271

Лагранж 17-20, 25, 28, 50-52, 67, 75, 98, 104, 121, 248

Левер’є 5

Лейбниц 62, 65

Ліпшиць 104-108, 115, 129

Лобачевський 5

Ловелл 5;

Ньютон 5, 6, 19, 21, 23-25, 27, 28, 35-37, 39-41, 43, 45, 46, 48, 51-53, 56-58, 60, 65, 67-69, 71-73, 87, 88, 111-116, 118, 120-125, 131, 132, 134, 171

Річардсон 4, 72, 74, 75, 78, 81, 88, 89, 246, 248, 249; 267

Рунге 4, 72, 74, 77, 78, 81, 88, 89, 242-249, 252, 253, 255, 256, 259, 260, 262, 265, 266, 268, 269, 271

Сімпсон 68-71, 79, 80, 87, 88, 90, 93, 94, 260

Стірлінг 47

Тейлор 8, 9, 19, 50, 111, 116, 243

Чебишов 34

 

Предметний покажчик

*Методи обчислень – це алгоритми знаходження чисельних (доведених до числових відповідей) розв’язків типових математичних задач. А саме рівнянь (диференціальних в тому числі), систем рівнянь і нерівностей, задач аналізу (диференціювання, інтегрування, наближення функцій), задач оптимізації тощо(сторінка 3, 5, 156)

*Нехай а – точне значення деякої величини, а^* - відоме наближення до нього. Абсолютною похибкою (погрішністю) наближення а^* називають таку величину Δ(а^*), для якої . Відносною похибкою (погрішністю) називають таку величину δ(а^*), що . (сторінка 7)

* Задача називається коректно поставленою, якщо для будь-яких вхідних даних з деякого класу існує єдиний і стійкий за вхідними даними її розв‘язок. Наведена вище задача обчислення інтегралів є коректно поставленою на множині неперервних функцій, а диференціювання – некоректно поставленою задачею на множині диференційовних функцій. (сторінка 12)

* Задачею інтерполяції (або інтерполювання) є побудова такої функції, яка для даних значень аргументу приймає задані значення. (сторінка 9)

* Наближену рівність f (x) ≈ Р_n(х) називають інтерполяційною формулою. Різницю R_n(f,x) = f (x) – Р_n(х) називають залишковим членом інтерполяційної формули або похибкою інтерполювання(сторінка 9.10.12.14.16.17.21.22.23.25.27.29.32.35.36.37)

* Квадратурні формули – це формули вигляду ≈ . Суму в правій частині формули називають квадратурною сумою, числа х_k і А_k називають відповідно вузлами і коефіцієнтами квадратурної формули. Різницю R_n(f) між визначеним інтегралом і квадратурною сумою R_n(f) = – називають залишковим членом або похибкою квадратурної формули. (сторінка 41-47.55.56)

* З алишковий член R(f) квадратурної формули Ньютона – Котеса має порядок k (де k – натуральне число) відносно кроку інтегрування h, якщо існують такі сталі С, с > 0, що ch^k ≤ ôR(f)ô ≤ Сh^k для всіх достатньо малих h.(.22.32.39.40.43-47.55.56)

* Розв‘язати рівняння означає знайти множину всіх його коренів (тобто таких значень х є [a;b], при яких воно стає числовою тотожністю) або ж довести, що їх не існує. Розв‘язок (корінь) рівняння називають ще нулем функції . (61.64.71.89)

* Нехай R – метричний простір, ρ – відстань (метрика) на цьому просторі, А – оператор, визначений на R. Оператор А називають оператором стиску, якщо існує таке додатне число q < 1, що ρ(Ах, Ах′) < q ∙ ρ(х, х′) для будь – яких х, х′ є R. Точку х є R називають нерухомою точкою оператора А, якщо Ах = х. (68,81,82)

* Оптимальним розв’язком задачі (f, V, Ω) називається таке х₀ є Ω, що f (x₀) ≤ f (x) (або f (x₀) ≥ f (x)) для всіх х є Ω. Оптимізаційну задачу називають нерозв’язною, якщо вона не має оптимальних розв’язків. Розв’язати оптимізаційну задачу означає або знайти всі її оптимальні розв’язки, або ж довести її нерозв’язність. (116,120,121,125,127,128129,131134,142,143,145,146-150,152,153,157)

*Оптимізаційна задача (f, V, Ω), у якій цільова функція f є лінійною на V, а Ω є множиною розв’язків деякої системи лінійних рівнянь і нерівностей називають задачею лінійного програмування. Систему лінійних рівнянь і нерівностей, яка визначає Ω, називають системою обмежень задачі лінійного програмування(116,119,120-125,127,128,131,132,134,135-139,146,148,152,153,154,155,157,158)

* Крайньою точкою опуклої множини V називається така точка х є V, що будь – яка опукла комбінація х = λ∙y + μ∙z, де у,z є V, λ, μ ≥ 0, λ + μ = 1 можлива лише за умови, що у = z = х.

Матриця А системи (1) вимірності m × n

 

називається матрицею умов, стовпці А₁, А₂, …, А_n цієї матриці – векторами умов,

а вектор В називається вектором обмежень задачі (1). (121,124,125,)

*Задача лінійного програмування має канонічну форму, якщо всі її змінні невід’ємні, а всі інші умови системи обмежень – рівняння (тобто у (1) m₁ = m, n₁ = n). (123)

* Опорним розв’язком задачі лінійного програмування у канонічній формі називають такий допустимий розв’язок її системи обмежень, у якому всі вільні змінні дорівнюють нулю.

2) Опорний розв’язок називають невиродженим, якщо всі його основні змінні додатні, в противному разі опорний розв’язок називають виродженим.

Традиційним є таке еквівалентне. Опорним розв’язком задачі (2) називається її допустимий розв’язок, якщо вектори умов з номерами його додатних координат утворюють лінійно незалежну систему векторів. (116,119,120-125,127,128,131,132,134,135-139,146,148,152,153,154,155,157,158)

 

*Базисом опорного розв’язку називають такий базис векторів умов, який містить всі вектори умов, що відповідають додатним координатам цього розв’язку.(127)

* Отриманутаблицю називають симплекс – таблицею, приведеною до базису , , …, опорного розв’язку α, а числа δ_j – оцінками цього базису або оцінками її основних (базових) змінних , , …, . (148-150.155)

* Задача Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку

у´ = f (x, y); у(х₀) = у₀ (1)

полягає в тому, щоб знайти розв’язок у(х) цього рівняння, який задовольняє початкову умову у(х₀) = у₀. (159,160,161,165,167,168)

*1) Розв’язати задачу (1) чисельно означає для заданої послідовності х₀, х₁, …, х_n значень незалежної змінної х і числа у₀ знайти числову послідовність у₀, у₁, …, у_n так, щоб у_k з заданою точністю наближав у(х_k) для всіх k, де у(х) – єдиний розв’язок задачі Коші з початковою умовою у(х₀) = у₀.

2) Різницю у_k – у(х_k) називають похибкою наближеного значення у_k в точці х_k.

3) Якщо всі точки х₀, х₁, …, х_n рівновіддалені: х_k = х₀ + kh, то величину h називають кроком інтегрування диференціального рівняння. (159,160,161,165,167,168)

 

* Величину φ_k(h) = у_k+1 – у(х_k+1) = y_k + – у(х_k + h) називають похибкою методу Рунге – Кутта на кроці. (170,173,176,177,178,181)

 

 

Література

 

1. Лященко М.Я., Головань М.С., Чисельні методи – К: Либідь,1996 р.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Т.М., Численные методы – М: Наука,1987 г.

3. Волков Е.А., Численные методы – М: Наука, 1978 г.

4. Жалдак М.І., Рамський Ю.С., Чисельні методи математики – К: Радянська школа,1984 р.

5. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П., Вычислительная математика – М.: Просвещение, 1990 г.

6. Назаренко О.М. Основи економетрики – К: Центр навчальної літератури, 2004 р.

7. Бабенко К.И., Основы численного анализа – М: Наука, 1986 г.

8. Бахвалов Н.С. Численные методы – М; Наука, 1973г. т. 1.

9. Борозин Ч.С., Жидков Н.П., Методы вычислений – М: Наука, 1956г. т.1, 1962г. т.2.

10. Демидович Б.П., Марон И.А., Основы вычислительной математики – М: Физматгиз, 1958г.

11. Ляшко И.И., Макаров В.Л., Скоробогатько А.А., Методы вычислений К: Вища школа, 1977 г.

 

З м і с т

 

Передмова ……………………………………………………………………………….. 3