Інтерполяційна формула за допомогою Excel



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Інтерполяційна формула за допомогою Excel



Означення 6.Якщо функція f(x) задана у точках x0, x1,… , xn , то таблицю

 

f(x0) f(x0; x1) f(x0; x1; x2) f(x0; x1; x2; x3) f(x0; x1;… ; xn)
f(x1) f(x1; x2) f(x1; x2; x3) f(x1; x2; x3; x4)  
f(x2) f(x2; x3) f(x2; x3; x4) f(x2; x3; x4; x5)    
     
f(xn-2) f(xn-2; xn-1) f(xn-2; xn-1; xn)      
f(xn-1) f(xn-1; xn)        
f(xn)          

 

називають таблицею її поділених різниць.

Задача 1.Знайти для функції f, заданої таблицею

i
xi 0,45 0,32 0,79 0,51 0,64
yi 0,434966 0,314567 0,710353 0,488177 0,597195

 

її поділені різниці f(x2; x3; x4), f(x1; x2; x3; x4), f(x0; x1; x2; x3; x4; x5).

Розв’язання. Побудуємо таблицю поділених різниць, звідки й отримаємо шукані значення. Спочатку дістанемо таблицю різниць вузлів інтерполяції xj – xi , на які треба ділити поділені різниці. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:

  A B C D E F
  xi
х0 0,45 = В3 – В2 = В4 – В2 = В5 – В2 = В6 – В2
х1 0,32  
х2 0,79    
х3 0,51      
х4 0,64        

Як і раніше, символ ↓ означає копіювання попередніх чарунок. Тут у рядку вузла інтерполяції xi завжди віднімається саме xi , а число у заголовку стовпця дорівнює j – i. В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:

 

  A B C D E F
  xi
х0 0,45 -0,13 0,34 0,06 0,19
х1 0,32 0,47 0,19 0,32  
х2 0,79 -0,28 -0,15    
х3 0,51 0,13      
х4 0,64        

 

Використовуючи цю таблицю, побудуємо тепер трикутну електронну таблицю поділених різниць. Надамо чарункам таких значень:

 

  A B C D E F
 
х0 0,434966 =(B11 – B10)/C2
х1 0,314567  
х2 0,710353    
х3 0,488177      
х4 0,597195        

 

У стовпці B тут значення функції f, задані умовою задачі. Правила копіювання Excel дозволяють отримати у відповідних чарунках саме ті формули, які повинні там бути згідно з попереднім означенням. В результаті отримаємо таблицю:

 

  A B C D E F
 
х0 0,434966 0,926146 -0,2472 -0,14442 0,021447
х1 0,314567 0,842099 -0,25586 -0,14034  
х2 0,710353 0,793486 -0,30077    
х3 0,488177 0,838601      
х4 0,597195        

 

Тут число у заголовку стовпця дорівнює порядку поділеної різниці. У кожному рядку у формулах поділених різниць вузли інтерполяції починаються з того, що знаходиться у заголовку рядка. Так f(x2; x3; x4) є різницею порядку 2 і її формула починається з x2; отже, ця різниця знаходиться у чарунці D12 і дорівнює – 0,30077. Аналогічно f(x1; x2; x3; x4) = – 0,14034 і знаходиться у чарунці Е11; f(x0; x1; x2; x3; x4) = 0,021447 у чарунці F10. Зазначимо, що скажімо поділеної різниці f(x1; x2; x4; x5) нема у цій таблиці: у цій формулі вузли інтерполяції не ідуть підряд, пропущений вузол x3. Щоби отримати таку різницю треба будувати іншу таблицю.

Задача 2.Побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона з поділеними різницями для функції f, заданої попередньою таблицею, і знайти наближене значення функції в точці х = 0,58.

Розв’язання. Спочатку покажемо дещо інший метод побудови таблиці поділених різниць. Цей спосіб виявиться доречним для таблиць великих за розміром: він дозволяє уникнути введення рядка формул, як в попередньому випадку. Отже, перш за все занесемо дані вузли інтерполяції у рядок в діапазоні E1:I1, а далі скопіюємо його, починаючи з чарунок D2, C3, B4, A5. В результаті отримаємо таблицю:

 

  A B C D E F G H I
        0,45 0,32 0,79 0,51 0,64
      0,45 0,32 0,79 0,51 0,64  
    0,45 0,32 0,79 0,51 0,64    
  0,45 0,32 0,79 0,51 0,64      
0,45 0,32 0,79 0,51 0,64        

 

Далі отриманий таким чином стовпець вузлів інтерполяції Е1:Е5 скопіюємо, починаючи з чарунок А7:Е7 так, що дістанемо таблицю:

 

  A B C D E
0,45 0,45 0,45 0,45 0,45
0,32 0,32 0,32 0,32 0,32
0,79 0,79 0,79 0,79 0,79
0,51 0,51 0,51 0,51 0,51
0,64 0,64 0,64 0,64 0,64

 

Нарешті ці дві таблиці вузлів інтерполяції використаємо для побудови таблиці поділених різниць. Надамо чарункам таких значень:

 

  A B C D E F
 
х0 0,434966 =(B15 – B14)/(F1 – A7)
х1 0,314567  
х2 0,710353    
х3 0,488177      
х4 0,597195        

 

Правила копіювання Excel дозволяють отримати у відповідних чарунках саме ті формули, які повинні там бути: заголовок рядка вказує на вузол, який віднімається у знаменнику, а число у заголовку стовпця дорівнює різниці між номерами вузлів, що віднімаються. Так, наприклад, у чарунці D15 у знаменнику дістанемо х3 – х1 . Отже, в результаті дістанемо ту саму таблицю поділених різниць, що і в попередній задачі:

 

  A B C D E F
 
х0 0,434966 0,926146 -0,2472 -0,14442 0,021447
х1 0,314567 0,842099 -0,25586 -0,14034  
х2 0,710353 0,793486 -0,30077    
х3 0,488177 0,838601      
х4 0,597195        

 

На цей раз потрібно по – перше виписати інтерполяційну формулу Ньютона:

f(x) ≈ f(x0) + f(x0; x1)(х – х0) + … + f(x0; x1;… ; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1) .

Оскільки за результатами розрахунків f(x0) = 0,434966, f(x0; x1) = 0,926146, f(x0; x1; x2) = – 0,2472, f(x0; x1; x2; x3) = – 0,14442, f(x0; x1; x2; x3; x4) = 0,021447, то f(x) ≈ 0,434966 + 0,926146(х – 0,45) – 0,2472(х – 0,45)(х – 0,32) – 0,14442(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79) + 0,021447(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79)(х – 0,51).

По – друге, треба знайти наближене значення функції в точці х = 0,58. Ці розрахунки можна виконати за допомогою наступної електронної таблиці:

 

  A B C D E
=$А$21 – A5
= A20*A19
0,58 =СУММПРОИЗВ(A20:E20;A14:E14)      

Тут у рядку 19 підраховуються значення у дужках (х – хi) (i = 0,1,2,3,4); у рядку 20 множники на відповідні поділені різниці у формулі Ньютона; у чарунці В21 шукане наближене значення f(0,58). В результаті отримаємо:

 

  A B C D E
0,13 0,26 -0,21 0,07 -0,06
0,13 0,0338 -0,0071 -0,0005
0,58 0,548024      

 

Отже, f(0,58) ≈ 0,548024.

Задача 3. Додати до таблиці задачі 1 ще один вузол х5 = 0,49 із значенням функції y5 = f(0, 49) = 0,470626 і побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона з поділеними різницями для функції f, заданої такою таблицею.

Розв’язання.Після додавання нового вузла маємо таку таблицю:

 

i
xi 0,45 0,32 0,79 0,51 0,64 0,49
yi 0,434966 0,314567 0,710353 0,488177 0,597195 0,470626

 

Побудуємо таблицю поділених різниць, звідки отримаємо значення, за якими випишемо інтерполяційний многочлен Ньютона, як у задачі 2. Зазначимо головне: на відміну від інтерполяційного многочлена у формі Лагранжа тут нема потреби будувати все спочатку, можна дописати відповідні рядки та стовпці до уже отриманих таблиць, а потім дописати останній доданок до уже отриманого у задачі 2 інтерполяційного многочлена. Отже, спочатку додамо останні рядок і стовпець до таблиці різниць вузлів інтерполяції xj – xi і продовжимо копіювання на нову діагональ такої трикутної таблиці:

 

  A B C D E F G
  xi
х0 0,45 =В3 – В2 =В4 – В2 =В5 – В2 =В6 – В2 =В7 – В2
х1 0,32  
х2 0,79    
х3 0,51      
х4 0,64        
х5 0,49          

 

В результаті отримаємо:

 

  A B C D E F G
  xi  
х0 0,45 -0,13 0,34 0,06 0,19 0,04
х1 0,32 0,47 0,19 0,32 0,17  
х2 0,79 -0,28 -0,15 -0,3    
х3 0,51 0,13 -0,02      
х4 0,64 -0,15        
x5 0,49          

 

Тут також виявились додані рядок, стовпець і діагональ до таблиці задачі 1. Так само

 

  A B C D E F G
 
х0 0,434966 =(B11 – B10)/C2
х1 0,314567  
х2 0,710353    
х3 0,488177      
х4 0,597195        
х5 0,470626          

 

додамо рядок і стовпець і продовжимо копіювання на нову діагональ для електронної трикутної таблиці поділених різниць. Відповідні значення чарунок наведені вище. В результаті отримаємо:

 

  A B C D E F G
 
х0 0,434966 0,926146 -0,2472 -0,14442 0,021447 0,007165
х1 0,314567 0,842099 -0,25586 -0,14034 0,021734  
х2 0,710353 0,793486 -0,30077 -0,13665    
х3 0,488177 0,838601 -0,25978      
х4 0,597195 0,843797        
х5 0,470626          

 

У порівнянні з таблицею поділених різниць задачі 1 тут додатково підрахована поділена різниця порядку 5 f(x0; x1; x2; x3; x4; х5) = 0,007165. Отже, інтерполяційна формула Ньютона набуває вигляду: f(x) ≈ 0,434966 + 0,926146(х – 0,45) – 0,2472(х – 0,45)(х – 0,32) – 0,14442(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79) + 0,021447(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79)(х – 0,51) + 0,007165(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79)(х – 0,51)(х – 0,64). Задачу розв’язано.

Тепер дізнаємось, що значення функції f(x) у вузлах інтерполяції задачі 1 не були випадковими – насправді це значення функції sin x у відповідних точках. Функція sin x диференційовна довільне число раз; отже, для оцінки її похибки можна застосувати теорему 1: похибка інтерполяції Rn(f, x) = f(x) – Ln(x) = ωn+1(х), де ξ = ξ(x), min{x0; x1;… ; xn} ≤ ξ ≤ max{x0; x1;… ; xn}, ωn+1(х) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn).

Задача 4. Оцінити похибку, з якою значення f(0,58) = sin 0,58 отримане у задачі 2. Скільки вузлів інтерполяції xi треба застосувати, для того, щоби отримати це значення з точністю п’ятизначних математичних таблиць Брадіса.

Розв’язання.Тут f(x) = sin x, х = 0,58, n = 4, вузли інтерполяції xi (i = 0,1,2,3,4) задані таблицею задачі 1. Значення ω5(х) = (х – x0)(х – x1) … (х – х4) підрахуємо так само, як в задачі 2, у такій електронній таблиці:

 

  A B C D E F
х0 х1 х2 х3 х4 x
0,45 0,32 0,79 0,51 0,64 0,58
= A2 – $F$2  
= A3 =A4*B3  

 

Тут у рядку 2 значення вузлів інтерполяції xi і х = 0,58, у рядку 3 підраховуються (х – хi) (i = 0,1,2,3,4), у рядку 4 їх добутки ωn(х); зокрема ω5(х) отримаємо у чарунку E3. Маємо:

 

  A B C D E F
x0 x1 x2 x3 x4 x
0,45 0,32 0,79 0,51 0,64 0,58
-0,13 -0,26 0,21 -0,07 0,06  
-0,13 0,0338 0,007098 -0,0005 -3E-05  

 

Отже, ω5(х) ≈ – 3∙10-5. Таблиця для підрахунку 1/n! наступна

 

  A B C D E
= А7*В6
= 1/А7

В результаті дістанемо

 

  A B C D E
0,5 0,166667 0,041667 0,008333

 

Далі тут │f (n+1)(x)│=│sin(5)(x)│=│cos x│≤ 1. Отже, абсолютна похибка наближення для sin 0,58 тут │R4(f, x)│=│ f(x) – L4(x)│= │ ω5(х)│= │ω5(х)│≤ │ω5(х)│≈ 0,008333∙3∙10-5 ≈ 2,4843∙10-7. Таким чином наближення sin 0,58 ≈ 0,548024 має всі 6 вірних значущих цифр.

Чи можна зменшити кількість вузлів, якщо нам потрібні лише 5 вірних значущих цифр? Підрахуємо абсолютну похибку наближення │R3(f, x)│=│ f(x) – L3(x)│ ≤ │ω4(х)│≈ 0,041667 ∙ 0,0005 ≈ 2,1∙10-5. Отже, при такій абсолютній похибці наближення для sin 0,58 буде мати лише 4 значущі цифри. Для отримання 5 значущих цифр треба застосувати всі 5 вузлів інтерполяції з таблиці задачі 1.

Зауважимо, що обчислювальна похибка, як і завжди, пропорційна кількості операцій, яка тут пропорційна n2, де n – кількість вузлів інтерполяції. (Це легко випливає з вигляду інтерполяційного многочлена як у формі Лагранжа, так і у формі Ньютона). Проте це n, як у наведених вище прикладах, так і звичайно завжди не буває таким великим, щоби суттєво вплинути на результат, тобто за величиною зрівнятись з похибкою метода, оцінюваною у теоремах 1 і 2. Отже, на відміну від ітераційних методів при інтерполюванні похибкою обчислень звичайно нехтують.

 



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 35.173.234.169 (0.02 с.)