Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Інтерполяційна формула за допомогою ExcelОзначення 6. Якщо функція f (x) задана у точках x0, x1,…, xn, то таблицю
називають таблицею її поділених різниць. Задача 1. Знайти для функції f, заданої таблицею
її поділені різниці f (x2; x3; x4), f (x1; x2; x3; x4), f (x0; x1; x2; x3; x4; x5). Розв’язання. Побудуємо таблицю поділених різниць, звідки й отримаємо шукані значення. Спочатку дістанемо таблицю різниць вузлів інтерполяції xj – xi, на які треба ділити поділені різниці. Надамо чарункам електронної таблиці таких значень:
Як і раніше, символ ↓ означає копіювання попередніх чарунок. Тут у рядку вузла інтерполяції xi завжди віднімається саме xi, а число у заголовку стовпця дорівнює j – i. В результаті отримаємо таку трикутну таблицю:
Використовуючи цю таблицю, побудуємо тепер трикутну електронну таблицю поділених різниць. Надамо чарункам таких значень:
У стовпці B тут значення функції f, задані умовою задачі. Правила копіювання Excel дозволяють отримати у відповідних чарунках саме ті формули, які повинні там бути згідно з попереднім означенням. В результаті отримаємо таблицю:
Тут число у заголовку стовпця дорівнює порядку поділеної різниці. У кожному рядку у формулах поділених різниць вузли інтерполяції починаються з того, що знаходиться у заголовку рядка. Так f (x2; x3; x4) є різницею порядку 2 і її формула починається з x2; отже, ця різниця знаходиться у чарунці D12 і дорівнює – 0,30077. Аналогічно f (x1; x2; x3; x4) = – 0,14034 і знаходиться у чарунці Е11; f (x0; x1; x2; x3; x4) = 0,021447 у чарунці F10. Зазначимо, що скажімо поділеної різниці f (x1; x2; x4; x5) нема у цій таблиці: у цій формулі вузли інтерполяції не ідуть підряд, пропущений вузол x3. Щоби отримати таку різницю треба будувати іншу таблицю. Задача 2. Побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона з поділеними різницями для функції f, заданої попередньою таблицею, і знайти наближене значення функції в точці х = 0,58. Розв’язання. Спочатку покажемо дещо інший метод побудови таблиці поділених різниць. Цей спосіб виявиться доречним для таблиць великих за розміром: він дозволяє уникнути введення рядка формул, як в попередньому випадку. Отже, перш за все занесемо дані вузли інтерполяції у рядок в діапазоні E1:I1, а далі скопіюємо його, починаючи з чарунок D2, C3, B4, A5. В результаті отримаємо таблицю:
Далі отриманий таким чином стовпець вузлів інтерполяції Е1:Е5 скопіюємо, починаючи з чарунок А7:Е7 так, що дістанемо таблицю:
Нарешті ці дві таблиці вузлів інтерполяції використаємо для побудови таблиці поділених різниць. Надамо чарункам таких значень:
Правила копіювання Excel дозволяють отримати у відповідних чарунках саме ті формули, які повинні там бути: заголовок рядка вказує на вузол, який віднімається у знаменнику, а число у заголовку стовпця дорівнює різниці між номерами вузлів, що віднімаються. Так, наприклад, у чарунці D15 у знаменнику дістанемо х3 – х1. Отже, в результаті дістанемо ту саму таблицю поділених різниць, що і в попередній задачі:
На цей раз потрібно по – перше виписати інтерполяційну формулу Ньютона: f (x) ≈ f (x0) + f (x0; x1)(х – х0) + … + f (x0; x1;…; xn)(х – x0)(х – x1) … (х – хn-1). Оскільки за результатами розрахунків f (x0) = 0,434966, f (x0; x1) = 0,926146, f (x0; x1; x2) = – 0,2472, f (x0; x1; x2; x3) = – 0,14442, f (x0; x1; x2; x3; x4) = 0,021447, то f (x) ≈ 0,434966 + 0,926146(х – 0,45) – 0,2472(х – 0,45)(х – 0,32) – 0,14442(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79) + 0,021447(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79)(х – 0,51). По – друге, треба знайти наближене значення функції в точці х = 0,58. Ці розрахунки можна виконати за допомогою наступної електронної таблиці:
Тут у рядку 19 підраховуються значення у дужках (х – хi) (i = 0,1,2,3,4); у рядку 20 множники на відповідні поділені різниці у формулі Ньютона; у чарунці В21 шукане наближене значення f (0,58). В результаті отримаємо:
Отже, f (0,58) ≈ 0,548024. Задача 3. Додати до таблиці задачі 1 ще один вузол х5 = 0,49 із значенням функції y5 = f (0, 49) = 0,470626 і побудувати інтерполяційний многочлен Ньютона з поділеними різницями для функції f, заданої такою таблицею. Розв’язання. Після додавання нового вузла маємо таку таблицю:
Побудуємо таблицю поділених різниць, звідки отримаємо значення, за якими випишемо інтерполяційний многочлен Ньютона, як у задачі 2. Зазначимо головне: на відміну від інтерполяційного многочлена у формі Лагранжа тут нема потреби будувати все спочатку, можна дописати відповідні рядки та стовпці до уже отриманих таблиць, а потім дописати останній доданок до уже отриманого у задачі 2 інтерполяційного многочлена. Отже, спочатку додамо останні рядок і стовпець до таблиці різниць вузлів інтерполяції xj – xi і продовжимо копіювання на нову діагональ такої трикутної таблиці:
В результаті отримаємо:
Тут також виявились додані рядок, стовпець і діагональ до таблиці задачі 1. Так само
додамо рядок і стовпець і продовжимо копіювання на нову діагональ для електронної трикутної таблиці поділених різниць. Відповідні значення чарунок наведені вище. В результаті отримаємо:
У порівнянні з таблицею поділених різниць задачі 1 тут додатково підрахована поділена різниця порядку 5 f (x0; x1; x2; x3; x4; х5) = 0,007165. Отже, інтерполяційна формула Ньютона набуває вигляду: f (x) ≈ 0,434966 + 0,926146(х – 0,45) – 0,2472(х – 0,45)(х – 0,32) – 0,14442(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79) + 0,021447(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79)(х – 0,51) + 0,007165(х – 0,45)(х – 0,32)(х – 0,79)(х – 0,51)(х – 0,64). Задачу розв’язано. Тепер дізнаємось, що значення функції f (x) у вузлах інтерполяції задачі 1 не були випадковими – насправді це значення функції sin x у відповідних точках. Функція sin x диференційовна довільне число раз; отже, для оцінки її похибки можна застосувати теорему 1: похибка інтерполяції Rn(f, x) = f (x) – Ln(x) = Задача 4. Оцінити похибку, з якою значення f (0,58) = sin 0,58 отримане у задачі 2. Скільки вузлів інтерполяції xi треба застосувати, для того, щоби отримати це значення з точністю п’ятизначних математичних таблиць Брадіса. Розв’язання. Тут f (x) = sin x, х = 0,58, n = 4, вузли інтерполяції xi (i = 0,1,2,3,4) задані таблицею задачі 1. Значення ω5(х) = (х – x0)(х – x1) … (х – х4) підрахуємо так само, як в задачі 2, у такій електронній таблиці:
Тут у рядку 2 значення вузлів інтерполяції xi і х = 0,58, у рядку 3 підраховуються (х – хi) (i = 0,1,2,3,4), у рядку 4 їх добутки ωn(х); зокрема ω5(х) отримаємо у чарунку E3. Маємо:
Отже, ω5(х) ≈ – 3∙10-5. Таблиця для підрахунку 1/n! наступна
В результаті дістанемо
Далі тут │ f (n+1)(x)│=│sin(5)(x)│=│cos x│≤ 1. Отже, абсолютна похибка наближення для sin 0,58 тут │R4(f, x)│=│ f (x) – L4(x)│= │ Чи можна зменшити кількість вузлів, якщо нам потрібні лише 5 вірних значущих цифр? Підрахуємо абсолютну похибку наближення │R3(f, x)│=│ f (x) – L3(x)│ ≤ Зауважимо, що обчислювальна похибка, як і завжди, пропорційна кількості операцій, яка тут пропорційна n2, де n – кількість вузлів інтерполяції. (Це легко випливає з вигляду інтерполяційного многочлена як у формі Лагранжа, так і у формі Ньютона). Проте це n, як у наведених вище прикладах, так і звичайно завжди не буває таким великим, щоби суттєво вплинути на результат, тобто за величиною зрівнятись з похибкою метода, оцінюваною у теоремах 1 і 2. Отже, на відміну від ітераційних методів при інтерполюванні похибкою обчислень звичайно нехтують.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 310; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.149.234.141 (0.004 с.) |
ωn+1(х), де ξ = ξ (x), min{x0; x1;…; xn} ≤ ξ ≤ max{x0; x1;…; xn}, ωn+1(х) = (x – x0)(x – x1)…(x – xn).
ω5(х)│= 
│ω5(х)│≤ 
│ω5(х)│≈ 0,008333∙3∙10-5 ≈ 2,4843∙10-7. Таким чином наближення sin 0,58 ≈ 0,548024 має всі 6 вірних значущих цифр.
│ω4(х)│≈ 0,041667 ∙ 0,0005 ≈ 2,1∙10-5. Отже, при такій абсолютній похибці наближення для sin 0,58 буде мати лише 4 значущі цифри. Для отримання 5 значущих цифр треба застосувати всі 5 вузлів інтерполяції з таблиці задачі 1.
