Розділ 2. Інтерполяція функцій

Задача інтерполювання

Означення 1. Задачею інтерполяції (або інтерполювання) є побудова такої функції, яка для даних значень аргументу приймає задані значення. Нехай для значень аргументу х₁, х₂, …, х_n, які називають вузлами інтерполяції, відомі значення деякої функції f (x): f (x₀) = у₀, f (x₁) = у₁, …, f (x_n) = у_n. Треба знайти інтерполюючу функцію Р(х), так, щоби у вузлах інтерполяції вона приймала ті ж самі значення, що й f (x), тобто Р(x₀) = у₀, Р(x₁) = у₁, …, Р(x_n) = у_n.

Геометрично інтерполювання означає, що треба знайти криву Р(х), яка проходить через задані точки (х₁;у₁), (х₂;у₂), (х₃;у₃), … на графіку функції f (x).

 

 

у P(x)

у₄ f (x)

у₃

у₅ = у₆

у₂

 

 

у₁

х

О х₁ х₂ х₃ х₄ х₅ х₆

 

Рисунок 1

 

Означення 2. Наближену рівність f (x) ≈ Р_n(х) називають інтерполяційною формулою. Різницю R_n(f,x) = f (x) – Р_n(х) називають залишковим членом інтерполяційної формули або похибкою інтерполювання.

Серед методів інтерполювання найбільш розповсюдженим є лінійна інтерполяція, коли наближення шукають у вигляді Р_n(х; а ₀, а ₁, …, а _n) = , де φ_i(х) – деякі фіксовані функції, коефіцієнти а _i шукають з умови збіжності значень наближаємої і інтерполюючої функцій у вузлах інтерполяції: f (x_j) = (j = 0,1,…,n). Найчастіше Р_n – многочлен, φ_i(х) = хⁱ (i = 0,1,…,n), Р_n = , а відповідна система лінійних рівнянь має вигляд:

а ₀ + а ₁х₀ + а ₂ +… + а _n = y₀

а ₀ + а ₁х₁ + а ₂ +… + а _n = y₁

...................... (1)

а ₀ + а ₁х_n + а ₂ +… + а _n = y_n .

Визначник цієї системи лінійних рівнянь

є визначником Вандермонда і оскільки всі вузли інтерполяції х₁, х₂, …, х_n різні, то він не дорівнює нулю. Тому система лінійних рівнянь (1) завжди має єдиний розв’язок. Отже, єдиний розв’язок завжди має задача інтерполювання многочленом (1).

Многочлен Р_n(х), який задовольняє умови Р_n(х_i) = y_i = f (x_i) (i = 0,1,…,n) називають інтерполяційним многочленом.

 

Інтерполяційна формула Лагранжа

Хоч інтерполяційний многочлен, що задовольняє умови (1) і єдиний, проте можливі різні форми його запису.

Означення 3. Многочлен

L_n(x) = f (x_i)

називається інтерполяційним многочленом Лагранжа для функції f (x). Наближену рівність f (x) ≈ L_n(х) називають інтерполяційною формулою Лагранжа.

Очевидно, що L_n(х_i) = f (x_i) (i = 0,1,…,n), тобто що інтерполяційний многочлен Лагранжа задовольняє умови (1). Розглянемо два окремих випадки цієї інтерполяційної формули.

1. Нехай n = 1, тобто значення функції f задано в двох вузлах х₀ і х₁, f (х₀) = у₀, f (х₁) = у₁. Тоді інтерполяційна формула має вигляд

f (x) ≈ .

Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Геометрично це дуга кривої у = f (x) на відрізку [x₀;x₁] замінюється відрізком прямої, що лежить між точками (x₀;у₀) і (х₁;у₁).

2. Нехай n = 2. Функцію f задано в трьох вузлах x_і і f (x_і) = у_i (i = 0,1,2). У цьому разі інтерполяційна формула набирає вигляду

f (x) ≈ .

Цю формулу називають формулою квадратичного інтерполювання. Геометрично це дуга кривої у = f (x) на відрізку [x₀;x₁] замінюється дугою параболи, що проходить через точки (х_i; у_i) (i = 0,1,2).

Приклад. Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжатретього степеня для функції f, заданої таблицею

i
xi
yi

 

і знайти наближене значення функції в точці х = 2.

За умовою задачі L₃(х) =

, f (2) = L₃(2) ≈ 5,67.

Інтерполяційний многочлен Лагранжа можна записати компактніше. Для цього введемо многочлен n + 1 – го степеня виду ω_n+1(х) = (x – x₀)(x – x₁)…(x – x_n). Продиференціювавши цей добуток, дістанемо ω´_n+1(х) = . Поклавши х = х_i (і = 0, 1, …, n), матимемо ω´_n+1(х_i) = (x_i – x₀)(x_i – x₁)…(x_i – x_i-1)(x_i – x_i+1)…(x – x_n). Підставивши ці вирази для ω_n+1(х) і ω´_n+1(х_i) у інтерполяційний многочлен Лагранжа, знайдемо L_n(x) = ω_n+1(х) .

Теорема 1. (Оцінка похибки інтерполювання). Якщо вузли інтерполювання x_i (і = 0, 1, …, n) різні і належать відрізку [a; b], функція f (x) n + 1 раз неперервно диференційовна на [a; b], то похибка інтерполювання R_n(f,x) = ω_n+1(х), де ξ = ξ (x) є [a; b].

Доведення. Нехай z є [a; b], z ≠ х_i (і = 0,1,…,n); покладемо φ(х) = f (x) – L_n(x) – Kω_n+1(х), де число K обране так, щоби φ(z) = 0 (тобто K = ). Оскільки φ(z) = 0 = f (z) – L_n(z) – Kω_n+1(z), то R_n(f,z) = f (z) – L_n(z) = Kω_n+1(z).

При такому K функція φ(х) має n + 2 коренів: у точках х_i (і = 0,1,…,n) та z. За теоремою Ролля між двома різними коренями φ(х) похідна φ´(х) має принаймні один корінь. Отже, φ´(х) має принаймні n + 1 різних коренів на [a; b]. Застосувавши теорему Ролля до функції φ´(х), дістанемо, що її похідна φ´´(х) має принаймні n різних коренів на [a; b]. Продовжуючи ці міркування далі, нарешті дістанемо, що φ⁽ⁿ⁺¹⁾(х) має принаймні один корінь у деякій точці ξ = ξ (z) є [a; b]. Оскільки L_n(x) – це многочлен степеня n, ω_n+1(х) – многочлен степеня n + 1, то L_n⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 0, ω_n+1⁽ⁿ⁺¹⁾(х) = (n+1)!. Звідси φ⁽ⁿ⁺¹⁾(х) = f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) – K(n+1)!, а тому φ⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = 0 = f ⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) – K(n+1)!, звідки K = . Отже, R_n(f,z) = Kω_n+1(z) = ω_n+1(z), що і треба було довести.