Похибки посередніх вимірювань

Р. Є. БУБЛЕЙ, Є. М. БУБЛЕЙ

 

Фізичний

ПРАКТИКУМ

ДЛЯ ПІДГОТОВЧИХ ВІДДІЛЕНЬ

 

 

Допущено Міністерством вищої і середньої спеціальної освіти УРСР як навчальний по­сібник для слухачів підготовчих відділень вузів

 

ВИДАВНИЧЕ ОБ’ЄДНАННЯ «ВИЩА ШКОЛА>> ГОЛОВНЕ ВИДАВНИЦТВО КИЇВ — 1974

Б90

 

 

УДК 53 (076.5)-

 

Физический практикум. Для подготовительных отделений. Б у б л е й Р. E., Б у б л е й E. Н. Издательское объединение «Вища школа», 1974, 112 с. (на украинском языке).

Цель пособия — на небольшом количестве ла­бораторных работ (20) закрепить основные идеи и законы физики, которые изучались в школе. Практикум написан с учетом новых программ. Все величины даны в Международной системе единиц (СИ). Работы описаны достаточно подробно, поэтому их можно выполнять как после повторения всего курса, так и после изучения отдельных тем. Боль­шое внимание уделено изложению основ теории ошибок, иллюстрации ее применений.

Пособие предназначено для слушателей под­готовительных отделений вузов. Его можно также использовать для проведения лабораторных работ в средних школах и техникумах.

Табл. 18. Ил. 56. Библиогр. 4.

 

Редакція літератури з математики і фізики Зав. редакцією А. С. Макуха

 

Видавниче об’єднання «Вища школа», 1974.

Передмова

 

Викладання фізики на підготовчих від­діленнях вузів має своїм завданням не тільки повторення загальнообов’язкової програми середньої школи, а й створення фундаменту для осмисленого і глибокого засвоєння слухачами загальноосвітніх і спеціальних дисциплін вузу. При стислих строках повторення курсу фізики доцільно приділити більше уваги теорії і лекційним демонстраціям, а практикум провести в кін­ці курсу на невеликій кількості добре про­думаних лабораторних робіт, що містять відомості з різних розділів. Така форма проведення практикуму, як показує досвід, дає змогу слухачам виконати лабораторні роботи на високому рівні, ще раз і більш ефективно повторити й засвоїти теоретич­ний курс.

Важливим елементом практикуму є ви­ховання вдумливого ставлення до виконан­ня і результатів експерименту. Тому авто­ри вважали за доцільне ввести в посібник основи теорії похибок. Положення теорії проілюстровано прикладами.

Проведенню лабораторних робіт повин­но передувати вступне заняття, на якому слухачів ознайомлюють з правилами пове­дінки в лабораторії, технікою вимірювань, обробкою результатів і обчисленням похи­бок. Кожна лабораторна робота розрахо­вана на дві години. Щоб забезпечити само­контроль підготовленості до виконання ро­боти, до кожного завдання розроблено кон­трольні запитання.

Для кращої підготовки до виконання ла­бораторних робіт у кінці кожної з них на­ведено два варіанти потрібної літератури.

Посібник підготовлено як підсумовую­чий практикум для виконання після ви­вчення всього теоретичного курсу. Досить докладний опис робіт дає можливість вико­ристати його на підготовчих відділеннях вузів, у середніх школах і технікумах для проведення лабораторних робіт "протягом навчального року.

Автори висловлюють подяку В. Г. Чепуренку, 3. П. Двоскіну і А. І. Бублей за перегляд рукопису і конкретні поради.

Зауваження щодо поліпшення якості посібника надсилати на адресу: 252054, Київ, 54, Гоголівська, 7, Головне видавниц­тво видавничого об’єднання «Вища школа», редакція літератури з математики і фізики.

Автори

Розділ І

ВИМІРЮВАННЯ І ОБРОБКА ЇХ РЕЗУЛЬТАТІВ

Фізика стала наукою з того часу, коли її основним ме­тодом пізнання став експеримент. При його виконанні про­водяться вимірювання, тобто визначення, у скільки разів вимірювана величина більша чи менша за величину, узяту за одиницю.

Ніяке вимірювання не можна виконати абсолютно точно. Тому результатом будь-якого вимірювання є наближене число, величина якого тим ближча до справжнього значен­ня, чим менша похибка. Знаходження похибки вимірювання дає змогу встановити границі існування шуканої величини. Наприклад, вимірюванням установлено, що “довжина тіла l= 0,453 м, а похибка становить ±0,001 м. Це означає, що шукана величина обмежена границями 0,452 м < / < 0,454 м. Таким чином, зазначення похибки вимірювання значною мірою компенсує неможливість установлення точ­ного значення величини.

Виміряти яку-небудь величину — це означає визначити результат вимірювання й похибку, допущену при його знаходженні. Вимірювання можуть бути безпосередніми і посередніми.

§ 1. ПОХИБКИ БЕЗПОСЕРЕДНІХ ВИМІРЮВАНЬ

При безпосередньому вимірюванні числове значення ве­личини знаходять внаслідок безпосереднього порівняння її з одиницею вимірювання за допомогою приладів. Так, на­приклад, довжину вимірюють за допомогою метра, тиск — за допомогою манометра і т. п. Похибки при вимірюваннях бувають систематичні і випадкові.

Систематичні похибки виникають від користування не­справними або неправильно встановленими приладами, внаслідок недосконалості методів вимірювань і обчислена. Характерною особливістю таких похибок є їх обов’язкова повторюваність при кожному вимірюванні. Так, систематично повторюватиметься похибка при вимірюванні довжини урізаним метром, при вимірюванні сили струму амперметра з викривленою стрілкою, температури — за зміщеною шкaлою термометра та ін. Систематичні похибки можна вияви­ти і врахувати.

Випадкові похибки виникають незалежно від дослідни­ка з різних причин. Наприклад, під час вимірювань може непомітно зміститись око спостерігача або повітряна течії може змістити стрілку приладу. Передбачити й усунути тaкі похибки неможливо. Треба навчитися знаходити їх i враховувати.

Ознайомимося з властивостями і методами знаходження випадкових похибок. Позначимо результати п окремих ви- мірювань шуканої величини А через а_{1 ,} а₂,…. а_п. Харак­терною особливістю випадкових похибок є те, що при ба­гаторазових вимірюваннях похибки однакової величини н бік збільшень або зменшень зустрічаються однаково часто. Тому загальна алгебраїчна сума випадкових похибок при багаторазових вимірюваннях величини А дорівнюватиме нулю, а середнє арифметичне значення а результатів n ви­мірювань

 

при великому n буде близьке до істинного значення А. Це середнє значення а і беруть за результат вимірювання. Різницю між середнім значенням величини і результатом окремого вимірювання називатимемо похибкою цього ви­мірювання. Так, похибка першого вимірювання ∆а_х = а — — а₁, похибка другого ∆ а₂ — а — а₂, похибка n-го ¹ ви­мірювання ∆ а_n = а — а_п.

Середнє арифметичне з n абсолютних значень виявлених похибок дає середню похибку, або похибку результату:

____________

Вираз ∆ а_n = а — а_n точніше слід було б називати практично ви­значуваною похибкою, на відміну від істинної похибки ∆ а_n = А — а_n, яка нам невідома, бо невідоме істинне значення А. Пам’ятаючи де, за­лишимо все ж за ∆ а_n назву похибки для зручності.

____________

Виміряти яку-небудь величину А — це означає знайти її середнє значення а і середню похибку ∆ а. Тому

Написання двох знаків (±) перед середньою похибкою по­казує, що шукана величина обмежена границями (а + ∆ а) > А > (а — ∆а).

Для порівняння точності різних вимірювань ще не до­сить визначити похибку. Справді, якщо результат вимірю­вання довжини одного тіла 0,010 ± 0,005 м, а другого — 1,000 ± 0,005 м, то хоч похибки в обох випадках і однако­ві, проте друге тіло виміряне значно точніше (0,005 м від їм становить усього 0,5%, а 0,005 м від0,01м — 50%). Для порівняння точності вимірювань користуються понят­тям відносної похибки. Відносною похибкою є називають відношення середньої похибки ∆ а_n до середнього значення величини а:

Звичайно відносну похибку визначають у процентах.

У розглянутому вище прикладі порівняння точності ви­мірювань 0,010 м і 1 м відносна похибка буде відповідно:

Порівняння відносних похибок виразно показує, що 1 м виміряно з точністю в 100 раз більшою, ніж 0,01 м.

Похибки числових значень величин, узятих з довідко­вих таблиць, при відсутності достатніх даних беруть такими, що дорівнюють половині одиниці останнього розряду, а при наявності даних розраховують.

Приклад. Визначити похибку і відносну похибку числа = 3,1416 при обмеженні двома знаками після коми.

Беручи значення = 3,1416 за точне, а 3,14 — за наближене, дістаємо похибку ∆ = 3,1416 — 3,14 = 0,0016»

=0,002 і відносну похибку = 100% = 0,06%.

Інколи при вимірюваннях допускають промахи — похиб­ки великої величини, що спотворюють результати. Вони виникають внаслідок недбалості, недосвідченості або вто­ми експериментатора. їх відкидають як помилкові.

III.Висновки

Результат експерименту показує, що числове значення прискорення вільного падіння на місці досліду повинно задовольняти нерівність:

9,7 <g<10,l м/с².

Так експериментально встановлюють верхню і нижню границі прискорення вільного падіння g. Правильність такого висновку підтверджується тим, що вірне значення g (взяте з довідника для певної місцевості) дійсно вкладаєть­ся в ці границі.

Примітка. Наведена схема обробки результатів вимірювань з однією запасною цифрою (l) корисна для початківців, проте не завжди виправдана. У багатьох випадках результат можна дістати швидше, якщо перед початком роботи проаналізувати розрахункову формулу для сумарної похибки з точки зору похибок, які дають наявні прилади і ме­тоди вимірювання.

Так, у розглянутому прикладі з формули похибок (2) випливає, що при визначенні g велику похибку дає вимірювання Т (похибка Т подвоюється). В учбових лабораторіях при знаходженні g маятником звичайний секундомір дає можливість визначити період коливання з точністю до трьох значущих цифр. Тому четверту значущу цифру як запасну при вимірюваннях і розрахунках брати недоцільно.

З результатів вимірювань навіть без обчислень видно, що з точ­ністю до трьох значущих цифр (тобто до сотих) значення буде 2,44 при похибці заокруглення в половину одиниці заокруглюваного розряду (соті). Тому:

При визначенні з таким заокругленим значенням обсяг розрахун­ків зменшується, а кінцевий результат виходить практично таким же самим, як і знайдений у прикладі.

На закінчення наведемо зразок оформлення звіту про виконану роботу. Його теоретичну частину з малюнками, схемами і розграфленою таблицею для заповнення результатами досліду підготовляють дома. На лабораторному занятті виконують вимірювання, обчислюють результати, їх похибки.

Зразок

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 4

Визначення прискорення вільного падіння за допомогою маятника.

Математичним маятником називають коливну систему що складається з матеріальної точки, підвішеної на тонкій і нерозтяжній нитці. Період коливань Т маятника, його довжина і прискорення вільного падіння g зв'язані формулою.

яку можна застосовувати лише при малих кутах відхилен­ня (2—4°).

Довжину маятника виміряно лінійкою, період коливан­ня вираховано як частку від ділення часу декількох десят­ків коливань (вимірювали секундоміром) на їх число. Ре­зультати вимірювання наведено в таблиці:

§ 4. ОСНОВНІ ПРИЛАДИ

ДЛЯ ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ ВИМІРЮВАНЬ

Ноніус. Операція безпосереднього вимірювання зводить­ся до порівняння вимірюваної величини з масштабом. Так, вимірюючи довжину тіла АВ (рис. 1, а), прикладають його до масштабної лінійки і порівнюють безпосередньо, у скіль­ки разів довжина тіла більша за довжину найменшої поділ­ки масштабу (відлічують поділки проти кінців А і .В). При цьому кількість десятих частин поділки оцінюють на око. Якщо довжину поділки взято за одиницю, то таке порів­няння дасть кількість одиниць довжини і їх часток у тілі. Точність відліку по шкалі обмежується ціною її поділки, тобто значенням найменшої поділки.

Око може впевнено відрізняти, в якій з половин поділки міститься край вимірюваного предмета. Тому вважають, що точність вимірювання становить не більше половини ціни найменшої поділки шкали. Точність до десятої частини поділки може дати лише добре треноване око, але й воно краще впорається з цим за допомогою ноніуса або мікро­метричного гвинта.

Ноніусом називають допоміжну лінійку, яку застосо­вують разом з масштабною для відлічування десятих, двад­цятих або п’ятдесятих-часток міліметра. Якщо ноніус при­значено для вимірювання десятих часток міліметра, то на ньому відстань 19 або 9 мм поділено на 10 рівних частин.

Тут довжина кожної поділки ноніуса становить 1,9 або 0,9 мм, отже, розбіжність між однією поділкою лінійки і од­нією поділкою ноніуса становить 0,1 мм. Це число назива­ють точністю ноніуса. Якщо приставити таку ноніусну лі­нійку до тіла, довжина якого більша за 14 мм і менша за 15 мм (рис. 1, б), то коли шоста поділка ноніуса збігається з будь-якою поділкою масштабної лінійки, різниця між кін­цем В тіла і чотирнадцятою поділкою масштабної лінійки становитиме 0,6 мм, тобто загальна довжина тіла буде 14,6 мм.

Оскільки точність вимірювання визначається точністю ноніуса, то в цьому випадку вона буде 0,1 мм.

У загальному випадку, якби в ноніусі п — 1 поділок масштабної лінійки були поділені на п частин, то при дов­жині тіла АВ, що становить т цілих поділок масштабу і при збігу ℜ-ї поділки ноніуса з будь-якою поділкою масштаб­ної лінійки довжина тіла дорівнювала б AB = мм і з точністю до мм.

Практичне застосування ноніус має в штангенциркулі для вимірювання довжини, у коловому ноніусі — для ви­мірювання градусів дуги тощо.

Мікрометричний гвинт. Мікрометричний гвинт є основ­ною частиною ряду приладів, наприклад мікрометра, прила­ду для вимірювання товщини з точністю до 0,01; 0,02; 0,04 мм. Мікрометр (рис. 2) складається з масивної скоби А з полірованою п’яткою В на одному кінці, а через другий кінець М проходить мікрометричний гвинт СБ з кроком різі 0,5 мм. До останнього прикріплено барабан Б, який по ободу НК поділений на 50 поділок. На поверхні гвинто­вої муфти М зроблено міліметрові поділки так, що коли край барабана (НК) збігає­ться з 0 шкали //, кінець С мікрометричного гвинта доторкається до п’ятки.

При цьому нульова поділ­ка барабана буде проти масштабної лінійки //.

Якщо хід гвинта стано­вить 0,5 мм, а обід барабана має 50 поділок, то при повертанні барабана на одну поділку відстань ВС змінюється на 0,01 мм, при повертанні на дві поділки — на 0,02 мм і т. д. Отже, відстань ВС завжди до­рівнює такому числу міліметрових і пів міліметрових поді­лок, скільки поділок масштабної лінійки // повністю вийшло з-під барабана, плюс стільки сотих частин міліметра, скіль­ки показує номер поділки барабана, яка збігається з лі­нією //.

Щоб мікрометричний гвинт завжди точно однаково тис­нув на вимірюване тіло, яке міститься між точками В і С, до барабана Б прикріплено спеціальну запобіжну головку або тріскачку Т. Підводячи мікрометричний гвинт близько до п’ятки або вимірюваного тіла, обертати барабан пальця­ми перестають і продовжують його обертати за допомогою тріскачки.

__________________________________________________________

РозділІІ

ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ

Робота І

ПЕРЕВІРКА ЗАКОНІВ ПРЯМОЛІНІЙНОГО РУХУ НА ПРИЛАДІ АТВУДА

Устаткування: прилад Атвуда з набором важків, секундо­мір.

Теоретичний вступ

Прилад Атвуда складається з високого вертикального стояка (рис. 3), який має на верхньому кінці блок Б, що має обертатися з малим тертям. Якщо до кінців гнучкої нитки, перекинутої через блок, підвісити важ­ки Р₁ і Р₂ однакової маси т, то в полі зем­ного тяжіння вся система важків з ниткою буде в рівновазі. Від короткого імпульсу ру­ки система набуде певної швидкості і, руха­ючись за інерцією, зберігатиме її сталою згідно з першим законом динаміки (в міру можливості нехтувати тертям).

Якщо на систему діяти сталою силою і без­перервно, наприклад вагою додаткового важ­ка Р_а, то система важків, набуваючи стало­го прискорення, рухатиметься рівно прискорено. Величина цього прискорення а визна­чається другим законом динаміки: приско­рення, якого набуває тіло під дією сили F дорівнює відношенню цієї сили до маси тіла m, тобто а = .

У цьому випадку діюча сила дорівнює вазі додаткового важка Р_а = m_ag, маса рухомої системи дорівнює сумі мас обох важків 2m і додаткового важка m_a. Тому

(1)

При такому рівноприскореному русі без початкової швидкості шлях з повинен змінюватись пропорційно квад­рату часу руху t

S= (2)

а швидкість v — пропорційно його першому степеню

v=at (3)

Звідси випливає, що шлях s₁ за першу секунду руху чи­сельно дорівнює половині прискорення s_{1= ,}а швидкість у кінці першої секунди v₁ чисельно дорівнює приско­ренню (v = а). Об’єднуючи ці два висновки, дістанемо чи­сельну рівність:

a=v₁₌2s₁ (4)

Це дає нам основу дослідної перевірки прискорення а, знайденого за законами динаміки: прискорення а чисель­но повинно бути вдвічі більшим за шлях пройдений за першу секунду, і повинно чисельно дорівнювати швидкості v₁, набутій в кінці першої секунди.

Величину s₁ можна виміряти на досліді безпосередньо. Що ж до швидкості v₁ в кінці першої секунди, то слід при­гадати, що вона дорівнює тій швидкості рівномірного руху, яку мало б тіло, якби, починаючи з кінця першої секунди, воно рухалося рівномірно. Швидкість рівномірного руху чисельно дорівнює шляху, пройденому за секунду.

Виходячи з викладеного, перевірити закони динаміки і кінематики можна так.

1)Протягом першої секунди систему примушують руха­тись рівно прискорено під дією сталої сили ваги важка Р_а.

2) Довжину шляху s₁, пройденого за цей час, вимірю­ють безпосередньо, спостерігаючи з секундоміром за рухом важків уздовж шкали.

3)В кінці першої секунди затримують прискорюючий важок Р_а, надаючи системі можливість рухатись без при­скорення з швидкістю, набутою системою до цього часу.

4)Продовжуючи спостерігати за рухом важків уздовж шкали, вимірюють відстань, пройдену за другу секунду при рівномірному русі. Вона чисельно дорівнює швидкості v ₁.

5)Порівнюють прискорення, знайдені за результатами п. 2 і п. 4 на основі (4), з прискоренням, обчисленим за законами динаміки (1).

ВЛАСНОЇ ВАГИ

Устаткування: похила площина, досліджуване тіло, мет­рова лінійка, секундомір.

Теоретичний вступ

На тіло масою m (рис. 4), що перебуває на похилій пло­щині АВ, діє сила його ваги Р = mg і сила тертя з площи­ною Т. Складова сили ваги;

F = Р sin а = mg sin а (1)

тягне його вздовж площини дони­зу, але руху заважає сила тертя Т — kN = kmg cos а, (2) де N = Р cos а- — нормальний тиск тіла на площину, k- коефіцієнт тертя, дещо більший у спокої — k₀ і менший у русі — k_p.

При малих кутах а підйому площини переважає сила

тертя Т і тіло залишається в спокої, при великих кутах а переважає сила, що тягне донизу, і тіло рухається. При пев-

_____________________________________________________

ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ КУЛІ

Устаткування: пневматична рушниця на штативі,кулі,балістичний маятник,екран, терези з важками.

Теоретичний вступ

Балістичний маятник являє собою масивне тіло, підвішене на легких нерозтяжних дротинах. У розглядуваному випадку (рис. 6) — це циліндр, заповнений пластиліном на двох двониткових підвісах, я дають можливість йому при ударі в торець рухатись лише поступально.

Якщо куля з масою m ударяється в торець із швидкістю v і застряє в циліндрі, то кількість руху кулі mv стає спільною для циліндра і кулі. Припустимо, маса циліндра М, а його швидкість V. Тоді, розглядаючи кулю і підвішений циліндр як ізольовану систему, на основі закону збереження кількості руху маємо:

mv = MV + mV = (m+M) V.

Числові значення мас т і М легко визначити зважуванням кулі і циліндра. Проте швидкості їх невідомі. Таким чином, (1) являє собою одне рівняння з двома невідомими. Друге рівняння з тими самими невідомими легко скласти, використавши закон збереження енергії. Після удару кінетична енергія кулі з циліндром перетворюється в потенціальну (m + М) gh підняття циліндра з кулею на певну висоту h:

(2)

Розв’язуючи рівняння (1) і (2) сумісно і нехтуючи масою m як доданком спільної маси m + М, дістаємо

V = (3)

Що ж до новоявленої величини h — висоти підняття циліндра, то її можна вимірювати різними методами, наприклад проектуванням певної точки циліндра на екран з гори - зонтальними лініями. Частіше, проте, користуються вимірюнням кута а відхилення підвісних дротин маятника від вертикалі (рис. 6). Якщо позначити віддаль центра ваги С циліндра від точки підвісу О через L, то з ∆ОВС' випливає, що OB = L — h і = cos a. Звідси h — L (1 — cos а) = 2 L sin² .

Підставляючи значення h у формулу (3), дістаємо:

v = 2 sin . (4)

Вважаючи рух кулі в дулі рушниці рівноприскореним, можна визначити середнє прискорення кулі за знайденим значенням швидкості v вильоту кулі з дула і довжиною шляху її в дулі рушниці за законами кінематики

= і = at =

де — тривалість руху кулі в дулі. Це дає

a = ,

ЗА ДОПОМОГОЮ МАЯТНИКА

 

Теоретичний вступ

»Кожне тіло, підвішене в точці, що не збігається з йо центром ваги, можна розглядати як коливну систему, яка називається маятником. Найпростішим з них є колив система з матеріальної точки (кульки), підвішеної на тонкій нерозтяжній ї невагомій нитці,— математичний маятник. Якщо відхилити його кульку від положення рівноваги SC (рис. 7) і без жодного поштовху відпустити, то вона ко­взатиметься в одній площині, наприклад, уздовж К₁СК₂.Як що ж відпустити кульку з бічним поштовхом, перпен­дикулярним до попередньої площини, то при певних умовах кулька почне рівномірно обертатись по колу 0 К_оКК₁К₂..., а підвісна нитка її описуватиме конічну поверхню. Маятник, кулька якого з підвісною ниткою коливається в одній пло­щині, називається плоским.

Маятник, кулька якого описує коло, а підвісна нитка -

конус, називається коніч­ним.

Закономірності руху ко­нічного маятника порівня­но прості: кулька рухаєть­ся по колу радіуса з до­центровим прискоренням

а_д = w²r. (1)

З рис. 7 видно, що а_д ви­никає як горизонтальна складова прискорення g ва­ги кульки

а_{д =} g tg a. (2)

З рівнянь (1) і (2) маємо, що = g tg а. Але а = тому величина кутової швидкості кульки буде

(3)

Оскільки w = ,то період обертання (коливання) Т конічного

маятника дорівнює

Т = 2 (4)

Знання кутової швидкості (3) рівномірного руху конічного маятника робить можливим визначення положення кульки в довільний момент часу і за величиною її кутового переміщення φ відносно відлікового стану 0

φ = ₀, (5)

де — кутове переміщення кульки протягом часу руху t; φ_о — початкове кутове переміщення кульки на час t = 0.Закономірності руху кульки плоского маятника легко визначити проектуванням (наприклад, бічним підсвічуван­ням паралельними променями) руху кульки конічного маятника на екран Е (рис. 7). Так, проекцією довільного положення кульки конічного маятника буде положення кульки плоского. Оскільки ж положення визначаєть­ся формулою (5), то нею визна чатиметься і положення ' у цю мить.

Величину (5), що дає змогу визначати положення коливної точки в довільний момент часу,називають фазою коливання. Її величину виражають у радіанах або градусах. У зв’язку з повторністю її значення через кожні 2 радіан додавання чи віднімання до фази величин 2 n (n — ціле число) не змінює величини фази. Тому φ = + φ₀ ± 2 = + φ₀.

З рис. 8 видно, що в момент зміщення х = О'К’ кульки на екрані з положення рівноваги О дорівнює

х = r sin ( + φ₀). (6)

Якщо максимальне значення зміщення кульки О'К₁ = О'К₂ = позначити через А і назвати амплітудою коливання, то рівняння плоских коливань точки, наведене вище,набере вигляду

х = A sin ( + φ₀). (7)

Коливання, при яких зміщення є синусоїдною або косину-соїдною функцією часу, називають гармонічними. Коливання математичного маятника є прикладом гармонічних коливань.

Проекцією прискорення а_а кульки конічного маятник на екран є прискорення а_’a кульки маятника плоского (рис. 8), тому

а'_д = а_д sin φ = а_д sin ( + φ₀). (8)

Ураховуючи рівності (1), (6), а також = А, формулі (8) можна надати вигляду

а_д = — . (9)

З цієї формули видно, що при гармонічному коливанні прискорення пропорційне зміщенню і має протилежний йому напрям.

Помноживши прискорення a_д точки на її масу , діста­немо вираз для сили F, що повертає зміщену точку в положення рівноваги:

Спроектувавши вектор швидкості точки на екран, можна знайти вираз для швидкості (а за ним і енергії) точки К’ при гармонічних коливаннях.

Оскільки коливання плоского маятника можна розглядати як результат проектування на екран обертань конічного, то період коливань Т плоского маятника, як і конічного, можна обчислити за формулою (4). Слід, проте, мати, на увазі, що довжина плоского маятника _п пов’язана з довжиною конічного _к формулою _п = cos а. Тому = = лише при cos a≈1.Значення cos а відрізняється від одиниці в третьому десятковому знаку тільки при φ < 4°.Тому формулу (4) можна вважати практично пра­вильною для визначення періоду коливань плоского мате­матичного маятника лише при кутах відхилення φ < 4°.

З формули (4) видно, що від маси точки період коливань ^гль- маятника не залежить. •

Прискорення g, а отже і сила, з якою Земля притягує (6) тіла,— вага тіла Р = mg, збільшується від екватора до полюса. Причини цього такі: зменшення віддалі до центра Землі (Земля має форму сплюснутої кулі) і обертання Землі навколо своєї осі. Але і в одному географічному місці Зем­лі g залежить від висоти місця над рівнем моря і від густи­ни та розміщення земних порід. Зменшення g з висотою лег­ко врахувати, тому точні вимірювання g можуть дати цінну інформацію для розвідників земних надр про поклади корисних копалин.

Метою цієї роботи є дослідне визначення прискорення g за допомогою формули

g = 4 ² (10)

що випливає з рівняння (4). Оскільки в цю формулу Т входить у квадраті, то при обчисленні похибки результату по­хибка періоду подвоюватиметься. Секундомір забезпечує точність відліку не більш, як 0,2 с, тому вимірювання періоду стає вузьким місцем експерименту. Щоб похибка визна­чення прискорення була якомога меншою, треба період коливань визначати як середнє арифметичне з тривалості кількох десятків коливань маятника.

Теоретичний вступ

Газовий термометр — це прилад для вимірювання температури на основі закономірностей температурних змін пружності газу. За його допомогою вимірюють температуру в широкому інтервалі її значень у градусах Кельвіна (), тобто в частинах термодинамічної температури потрійної точки води.

Нагадаємо, що потрійною точкою води називається тем­пература, при якій вода може існувати в трьох станах — твердому, рідкому і газовому, не проявляючи тенденції до перетворення в якийсь один. Цю температуру, відмінну від точки танення льоду всього на тисячні частки градуса, бе­руть за основну (реперну) точку = 273,16 К.

В основу вимірювання температур покладено закон Шар­ля про пряму пропорційність термодинамічної температури і тиску газу при незмінності його маси та об’єму:

Закон Шарля є окремим випадком закону газового стану:

коли об’єм газу сталий.

Якщо взяти до уваги реперність Т₀ = 273,16 К, то рів­няння (1) дає робочу формулу для вимірювання температу­ри за відомими тисками

= (2)

де і — тиски газу, що відповідають «початковій» і вимірюваній температурам.

З реальних газів пропорційність (1) найкраще задоволь­няє водень. У навчальній роботі використовують повітря, просушене пропусканням через гігроскопічну речовину (

Сказаним в основному визначається і конструкція газового термометра, і метод вимірювання. Це має бути балон (рис. 9) з повітрям (термометричним тілом), сполучений і манометром С — D для вимірювання тисків і для регу­лювання сталості об’ємів газу. Ці обидві функції можна су­містити у відкритому ртутному манометрі, якщо його ко­мі па і D сполучити гнучким шлангом, щоб переміщати одне коліно вгору або донизу незалежно від положення другого. Ртуть, яка міститься в колінах і шланзі, у такому разі буде джерелом потрібних тисків на повітря в резервуарі і водночас даватиме змогу встановлювати потрібний сталий об’єм газу за позначкою а на стінці коліна .

Якщо балон А занурити в танучий лід, то пружність йо­го повітря знизиться і ртуть, витискувана з правого коліна атмосферним тиском і різницею рівнів ртуті в колінах і , переміщатиметься в . Щоб установити її поверхню за позначкою а сталого об’єму, доведеться праве коліно опу­стити, наприклад, на нижче від . У цьому стані повітря

в матиме температуру плавлення льоду під тиском .

Якщо перенести балон А з танучого льоду в пару кипля­чої води парогенератора (рис. 10), то збільшений у ньому тиск повітря витисне ртуть у лівому коліні донизу. Щоб від­новити попередній об’єм газу за позначкою а, доведеться підняти праве коліно О вище від рівня ртуті над познач­кою а, наприклад на її. Тоді той самий об’єм повітря пере­буватиме при невідомій температурі Т кипіння води під тиском