Обробка результатів непрямих вимірювань

При непрямих вимірюваннях фізичної величини а її значення визначається за функціональною залежністю між нею та величинами аргументів, значення яких знайдене в результаті прямих вимірювань, тобто . Метод оцінки величини a та похибки її вимірювання наступні. Для простоти розглянемо простий випадок, коли величини a є функцією одного аргументу:

 

(13)

Розглянемо цю функцію поблизу в межах інтервалу , де - оцінка величини х, а - похибка її вимірювання. Розкладемо функцію в ряд Тейлора, тобто представимо її у вигляді багаточлена:

 

, (14)

 

де - похідна n – го порядку в точці . Враховуючи, що похибка вимірювання величини х є малою величиною, зберігають лише члени першого порядку. Тоді:

 

(15)

 

Доданок із (15) є оцінкою значення величини а, тобто

 

,

 

де - визначається з формулою

(16)

Другий доданок в (15) визначає похибку вимірювання величини а

 

, (17)

 

де . Враховуючи, що похибка величини х може бути як із знаком “+”, так і з “-“, рівняння (17) записують у вигляді

 

(18)

 

У загальному випадку , де , де і =1, 2,…, к

Якщо похибки вимірювання величини мають лише випадковий характер, то абсолютна похибка вимірювання величини а визначається за формулою

 

,

де - частинні похідні при , а - похибки вимірювання величини .

Результат непрямого вимірювання представляється у вигляді

 

 

Якщо вимірювана величина є функцією кількох змінних, похибки яких порівняно невеликі, то похибка непрямого вимірювання може бути визначена на основі формул таблиці. При цьому розраховують стандартну похибку з довірчим інтервалом та довірчою імовірністю 68%.

 

 

Лабораторна робота № 12

 

Вивчення термоелектрорушійної сили

 

Мета роботи.

Знайти залежність термоелектрорушійної сили (термо-е.р.с.) від різниці температур металевих контактів, визначити коефіцієнт термо-е.р.с. та співвідношення концентрацій електронів провідності в металах, що дотикаються.

 

Теоретичні відомості.

В металі вільні електрони переміщуються по кристалу, а найшвидші з них можуть відділятись від зовнішнього шару позитивних іонів гратки і вийти з кристала.

В тих місцях, які залишили електрони, виникає надлишковий позитивний заряд, який примушує ті електрони, у яких швидкість не дуже велика, повернутися назад. Окремі електрони будуть увесь час залишати метал, віддалятись від нього на декілька атомних відстаней і повертатися назад.

Внаслідок цього біля поверхні металу буде весь час існувати подвійний електричний шар, який складається з електронної хмари за межами металу та позитивно заряджених іонів гратки. Цей шар немов би виконує роль конденсатора, електричне поле якого перешкоджає вивільненню нових електронів з середини металу назовні.

Для того, щоб електрон міг залишити метал, він повинен мати енергію, достатню для виконання роботи з подолання потенціального бар’єру з боку подвійного електричного шару.

Найменша енергія, яку потрібно надати електрону для вивільнення його з речовини, називається роботою виходу електрона. Робота виходу А чисельно дорівнює мінімальній зміні енергії системи електрон-метал при видаленні з неї електрона:

 

, (1)

 

де е =1,6·10^-19 Кл – елементарний заряд, - потенціал виходу.

Робота виходу та потенціал виходу для різних металів є різними, а для одного і того ж металу суттєво залежать від чистоти та стану його поверхні.

При дотику двох металів, що мають різні роботи виходу, електрони переходять із металу з меншою роботою виходу, у метал із більшою роботою виходу, тобто з більш високих енергетичних рівнів в першому металі на більш низькі рівні в другому.

Цей перехід триває доти, доки рівні Фермі в обох металах зрівняються і встановиться деяка динамічна рівновага.

Внаслідок цього потенціал виходу в першому металі зменшиться, а в другому збільшиться, і між поверхнями металів виникає стрибок потенціалу. Він називається зовнішньою контактною різницею потенціалів і обчислюється за формулою:

 

, (2)

 

Зовнішня контактна різниця потенціалів визначається потенціалами виходу або роботами виходу металів контакту.

Контактна різниця потенціалів виникає не тільки між двома металами, але й між двома напівпровідниками, що контактують.

Контакт, тобто щільне дотикання двох тіл, можна створити, якщо відшліфувати їхні поверхні, забезпечивши відсутність зовнішніх включень.

Італійський науковець Вольт в 1801-1802 роках встановив два закони:

1) при дотику двох металів між ними виникає контактна різниця потенціалів, величина якої залежить від роду металів та їхньої температури;

2) різниця потенціалів між кінцями послідовно сполучених контактів різнорідних металів при однаковій температурі не залежить від роду проміжних контактів і визначається тільки крайніми елементами цього з'єднання.

З цих законів випливає, що в замкнутому полі з двох різнорідних металів (термопара) при однаковій температурі контактів струм буде відсутній, оскільки не буде різниці потенціалів. Якщо ж температури контактів Т₁ і Т₂, будуть різними, то виникне різниця потенціалів ε₁, величина якої визначається за формулою:

 

(3)

 

і яка називається термоелектрорушійною силою або термо-е.р.с.

В колі термопари при цьому буде існувати електричний струм. Величина

 

(4)

називається коефіцієнтом термо-е.р.с. і залежить від концентрації електронів n₁ і n₂ в металах, що дотикаються. Для різних пар металів коефіцієнт термоерс має різні значення. З врахуванням виразу (4) формулу (3) можна записати так:

 

, (5)

 

де ∆Т=Т₂-Т₁ — різниця температур спаїв.

Отже, величина термо-е.р.с. ε прямопропорційно залежить від різниці температур спаїв ΔТ, а також від природи металів контакту.

На величину термоерс впливають також дифузійні переходи електронів з одного металу до іншого внаслідок градієнту температур вздовж провідника при нагріванні одного з контактів.

З формули (5) випливає, що

 

, (6)

 

тобто коефіцієнт термоерс чисельно дорівнює термоелектрорушійній силі, що виникає при різниці температур спаїв в 1К.

Вимірюється коефіцієнт термоерс в В/К; мВ/К і мкВ/К.

 

3. Контрольні запитання.

1. Що називається роботою виходу електрона?

2. Від чого залежить робота виходу?

3. Як обчислюється зовнішня контактна різниця потенціалів?

4. Чим визначається внутрішня контактна різниця потенціалів?

5. В чому полягає явище виникнення термо-е.р.с.?

6. Від чого залежить величина термо-е.р.с.?

7. Що показує і від чого залежить коефіцієнт термо-е.р.с.?

8. Як вимірюється величина термо-е.р.с. в даній лабораторній роботі?

9. Чому при даному методі вимірювання проводити вимірювання потрібно швидко, а нагрівати повільно?

10. Як в даній лабораторній роботі визначається коефіцієнт термо-е.р.с.?

11. Яка конструкція термопари?

 

Домашнє завдання.

Для виконання роботи необхідно засвоїти такі питання: контактна різниця потенціалів; потенціал виходу і робота виходу; закон Вольта; термоелектрика; термопари.

 

Лабораторне завдання.

Установка складається з термопари, один із спаїв якої знаходиться в нагрівнику (саме цей спай протягом виконання лабораторної роботи буде нагріватись), а інший – на відкритому повітрі (його температура буде залишатись постійною протягом усього експерименту і дорівнюватиме кімнатній). До першого спаю під’єднана інша термопара, яка з’єднана з цифровим термометром, роль якого відіграє мультиметр. При пропусканні струму через нагрівник один зі спаїв досліджуваної термопари нагрівається.

Величина струму в нагрівнику регулюється реостатом і контролюється амперметром. Струм в колі термопари, яка досліджується, вимірюється мікроамперметром. Якщо нагрівання відбувається повільно, то при одній і тій же різниці температур спаїв термострум можна виміряти двічі: один раз без опору R, другий раз з опором R (рис. 1).

У першому випадку струм визначається величиною термоерс та загальним опором кола R₀:

 

(7)

 

В другому випадку струм буде меншим, бо в коло вмикається додатковий опір R. Тоді для струму буде справедливий вираз:

 

(8)

 

Розв'язок системи рівнянь (7) і (8) для термоерс буде:

 

(9)

 

Вимірювання термо-е.р.с. за цим способом треба здійснювати настільки швидко, щоб різниця температур спаїв не встигала помітно змінитись за час вимірювання.

 

Порядок виконання роботи.

1. Зібрати вимірювальну схему за рис. 1.

 

 

Рис. 1.

2. Визначити кімнатну температуру (ця температура буде рівна температурі холодного контакту t₁).

3. Увімкнути нагрівач через автотрансформатор і за допомогою реостата встановити в ньому струм не більше 0,5 А.

4. Поступово нагрівати один зі спаїв, визначаючи температуру холодного t₁, і гарячого t₂ спаїв за термометрами.

5. Через кожні 10º С різниці температур спаїв виміряти в колі термопари струми І₁ і І₂ (з опором R і без нього).

6. Результати вимірювань записати до таблиці 1.

 

Таблиця 1. Результати вимірювань.

t1, ^oC
t2, ^oC
І1, мкА
І2, мкА

 

 

 

6. Для кожної різниці температур Δ t спаїв обчислити за формулою (9) величину термо-е.р.с. ε і результати обчислень занести до таблиці 2.

 

Таблиця 2. Результати розрахунків.

t,^oC
ε, мкВ

 

7. Побудувати графік залежності термо-е.р.с. ε від різниці температур спаїв ∆t в координатах ε та t.

8. Визначити величину коефіцієнта термо-е.р.с. як тангенс кута нахилу залежності E= f (t) згідно з формулою (6).

9. Знайти співвідношення концентрацій носіїв n₁ і n₂ в металах, що дотикаються, використавши для цього формулу (3), відповідним чином її перетворивши.

 

6. Прилади та обладнання.

Термопари, мікроамперметр, мультиметри, нагрівач, амперметр, автотрансформатор, реостат.

 

Література.

1. Савельев И. В. Курс общей физики, т.ІІ. М., “Наука”, 1982, 77,78.

2. Зисман Г. А., Тодес О. М. Курс общей физики, т.ІІ. М., “Наука”, 1969, 22.

Лабораторна робота №13