Випадкові та систематичні похибки

Іноді при вимірюваннях виникають значні похибки (промахи), що призводять до явних спотворень результатів вимірювань. Вони виникають внаслідок недогляду експериментатора або неполагодженої апаратури. Такі похибки при вимірюваннях необхідно просто відкидати.

Не пов’язані з грубими помилками похибки досліду поділяються на випадкові та систематичні. Багаторазово повторюючи одні і такі самі вимірювання, помічають, що їх результати не точно дорівнюють одне одному, а приймають значення навколо деякого середнього. Похибки, які змінюють величину і знак від досліду до досліду, називають випадковими. Вони можуть бути пов’язані з тертям, люфтами в механічному обладнанні, з недосконалістю об’єкта вимірювання та інші.

Систематичні похибки зберігають свою величину і знак під час експерименту. Вони можуть бути пов’язані з помилками приладів (неправильна шкала, нерівні плечі терезів) та з побудовою досліду. Таким чином, внаслідок систематичних похибок, результати досліду коливаються не навколо істинного, а навколо деякого зсуненого значення.

 

Випадкові похибки.

 

В якості кращого значення для вимірюваної величини приймають середнє арифметичне зі всіх отриманих n результатів:

, (1)

тоді істинне значення величини, що вимірюється, може бути записане:

 

(2)

де а _х –абсолютна похибка:

(3)

 

З формули (1) бачимо, що від числа вимірювань залежить слабо, а похибка зі збільшенням кількості вимірювань n зменшується. При n→ ∞ , а значить , скільки при значній кількості вимірювань імовірність помилитися на ту ж саму величину у менший чи більший бік є однаковою. Похибка досліду, що розраховується за формулою (3), зі збільшенням кількості вимірювань n зменшується як . Формула (3) може бути записана в іншому вигляді:

₌ (4)

 

де - середня квадратична абсолютна похибка.

Характеристикою розсіювання значень x є середньоквадратичне відхилення результату спостереження:

Середньоквадратичне відхилення враховує всі комбінації випадкових пошкоджуючих факторів в експерименті. Тому величина , так же, як і її квадрат ² – дисперсія, є константами експерименту при даних умовах і процедурі вимірювань.

Похибку результату не стільки визначають, скільки оцінюють. Оцінка (4) підібрана таким чином, що при проведенні багаточислених серій вимірювань похибка в 2/3 випадків є меншою за , а в 1/3 більшою ніж . Похибку, що визначена з достовірністю 2/3, звичайно називають стандартною (або середньоквадратичною) похибкою дослідів, а її квадрат – дисперсією . Чим менша , тим точніше проведені вимірювання. Як правило, похибка досліду тільки в 5% випадків перевищує 2 і майже завжди є меншою за 3 . Якщо у вимірюваннях >3 , то таке вимірювання відноситься до промахів і відкидається. Величина 3 приймається за граничну абсолютну похибку одного вимірювання.

У випадку, коли , дисперсія дорівнює середньоквадратичній похибці окремого вимірювання :

(5)

 

Довірчим інтервалом називається інтервал , у який попадає істинне значення величини, яка вимірюється, із заданою ймовірністю.

Ймовірність влучення значення в довірчий інтервал визначається законом нормального розподілу Гауса, який характеризується двома параметрами: середнім значенням випадкової величини та дисперсією :

 

, (6)

 

де - значення величини, що отримується при вимірюванні.

 

 

 

Формулу (6) виводять в математичній статистиці з урахуванням того, що:

1. Похибки результатів вимірювань приймають безперервний ряд значень.

2. При великій кількості вимірювань однаково часто зустрічаються похибки одного значення, але різних знаків.

3. Частота появлення похибок зменшується з зростом їх значень.

Надійністю результату деякої кількості вимірювань називається ймовірність того, що істинне значення величини, яка вимірюється потрапляє в даний довірчий інтервал. Величина залежить від числа вимірювань N та від заданої похибки і вимірюється в частках одиниці або у відсотках.

В спеціальних таблицях коефіцієнтів Ст’юдента a, N) можна визначити у скільки разів потрібно збільшити довірчий інтервал, щоб при певному числі вимірювань N отримати задану надійність

 

Число вимірювань, N	Надійність,
0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
	1,00	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7	31,8	636,6
	0,82	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	31,6
	0,77	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	12,9
	0,74	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	8,6
	0,73	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	6,9
	0,72	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	6,0
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	5,4
	0,71	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	5,0
	0,70	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3	2,8	4,8
	0,69	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1	2,6	4,1
	0,69	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1	2,5	3,9
	0,68	0,85	1,1	1,2	1,7	2,0	2,4	3,6
	0,68	0,85	1,0	1,3	1,7	2,0	2,4	3,5
	0,68	0,85	1,0	1,3	0,7	2,0	2,4	3,4

 

За стандартний інтервал приймають інтервал :

 

, (7)

 

тоді результат записують у вигляді:

 

(8)

Такий запис означає, що істинне значення величини, яка вимірюється, знаходиться в інтервалі [ ] з надійністю .

Порядок обробки результатів вимірювань повинен бути таким: виконав N вимірювань і записав їх результати в таблицю, розраховують середньоарифметичне значення вимірюваної величини . Потім обчислюють стандартний довірчий інтервал і знаходять по таблиці коефіцієнт Ст’юдента a, N) в залежності від потрібної надійності а і кількості вимірювань N. Результат записують у вигляді . Мірою точності результатів вимірювань є відносна похибка, що виражається у відсотках:

_×100%.

Зворотна до неї величина називається точністю.

Систематичні похибки.

 

Оцінку систематичних похибок експериментатор проводить, аналізуючи особливості методики досліду, паспортну точність приладів.

Межею вимірювання приладу називають те значення вимірюваної величини, при якому стрілка приладу відхиляється до кінця шкали. На практиці широко використовуються багатошкальні прилади, тобто прилади, що мають декілька меж вимірювань.

Ціна поділки приладу дорівнює значенню вимірюваної величини, яке призводить до відхилення стрілки на одну поділку приладу.

Чуттєвістю електровимірювального приладу називають відношення лінійного або кутового переміщення стрілки приладу до вимірювальної величини, що визвала таке переміщення:

,

де - лінійне або кутове переміщення;

- значення величини, що вимірюється.

Наприклад: при силі струму 3 А стрілка амперметра відхилилася на 12 поділок. Чуттєвість даного приладу до струму:

.

Систематичні похибки електровимірювальних приладів (амперметрів, вольтметрів, мостів, потенціометрів), визначають їх класом точності , який виражають в відсотках:

,

де - клас точності приладу;

- максимальна абсолютна похибка приладу;

- значення вимірюваної величини, що відповідає переміщенню стрілки на всю шкалу приладу.

Наприклад: сила струму 25 мА вимірюється міліамперметром, клас точності якого 0,5, зі шкалою 100 мА. Це означає, що при вимірюванні будь-якого струму в межах 0–100 мА, максимальна абсолютна похибка приладу не перевищує величини:

.

 

Так амперметр класу 0,5 дозволяє проводити вимірювання з похибкою, що не перевищує 0,5% від струму, що відповідає повній шкалі приладу. На усіх ділянках шкали – на її початку, в середині і в кінці – ця похибка одна й та ж. В наслідок цього рекомендовано вибирати прилад (або шкалу багатошкального приладу) таким чином, щоб стрілка приладу при вимірюваннях заходила за середину шкали.

Електровимірювальні прилади характеризуються класами точності: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0 та інш. Якщо клас точності приладу не вказаний, то він приймається рівним 4.

В реальних дослідах присутні як систематичні так і випадкові похибки. Сумарна похибка знаходиться за формулою:

,

або

. (9)

 

Тоді результат вимірювань записується у вигляді:

 

. (10)

З рівняння (5) випливає, що безглуздо домагатися такого результату, при якому << . Навпаки, необхідне число вимірювань n можна визначити за умови і майже завжди достатньо вибрати .

В ситуації, коли всі систематичні похибки враховані, клас точності вимірювального приладу відомий і відсутні суттєві невідомі джерела систематичних похибок, можна сформулювати два правила вимірювання:

1. якщо систематична похибка значно перевищує випадкову, вимірювання достатньо проводити один раз.

2. при значних випадкових похибках (у зрівнянні із систематичними) вимірювання слід проводити стільки разів, щоб після статистичної обробки результатів випадкова похибка була меншою за систематичну.