Закон парности касательных напряжений

Касательные напряжения на соседних, взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку.

Касательные напряжения τ принимаются положительными (т.е. τ > 0), если они стремятся повернуть рассматриваемый элемент бруса по ходу часовой стрелки.

τ_α = - τ_β

Это следует из того условия, что выделенный элемент находиться в статичном состоянии, а для этого сумма моментов касательных напряжений должна быть равна нулю.

То есть напряжения на взаимно перпендикулярных гранях элемента уравновешивают друг друга.

Например, если напряжения на «правой» и «левой» гранях элемента положительны и равны, например, 50 МПа, то соответственно на «верхней» и «нижней» площадках они также будут равны 50 МПа но уже со знаком минус.

Визуально это проверяется так: стрелки касательных напряжений на углах элемента должны либо сходиться, либо расходиться.

Главные напряжения

Главными называют нормальные напряжения на площадках выделенного элемента с нулевыми касательными напряжениями.

Для любого случая нагружения бруса всегда можно найти такое положение мысленно выделенного в нем элементарного объема, на гранях которого касательные напряжения будут отсутствовать (т.е. τ=0).

Площадки (грани элемента) на которых касательные напряжения равны нулю называются главными.

Таким образом, главные – это нормальные напряжения на главных площадках.

Обозначение главных напряжений

Главные напряжения принято обозначать буквой σ с цифрами 1, 2 и 3 в нижнем индексе.

При этом наибольшее с учетом знака напряжение обозначается как σ₁ а наименьшее соответственно σ₃.

Другими словами, напряжение, расположенное на числовой оси правее других – σ₁, а то, которое левее всех σ₃.

Например, для случая объемного напряженного состояния:

При плоском напряженном состоянии:

1. Когда оба напряжения растягивающие

2. По одной грани напряжение растягивающее, по другой сжимающее

3. Оба напряжения сжимающие.

При линейном НС единственное напряжение всегда обозначается как σ₁.

Пример построения круга Мора по главным напряжениям.

Для построения круга потребуются нормальные и касательные напряжения с двух любых взаимно перпендикулярных площадок (например, правой и верхней) при этом ось σ системы направляется вдоль большего (с учетом знака) из нормальных напряжений.

Известны направления и значения нормальных и касательных напряжений.

Решение

Круг Мора строится в плоской системе координат σ-τ.

Начнем с правой площадки элемента.
Из центра системы координат отложим вдоль оси σ значение соответствующего нормального напряжения σ_α=80Мпа с учетом его знака.

Из конечной точки отрезка отложим вдоль оси τ значение соответствующего касательного напряжения τ_α=40МПа так же с учетом знака.

На конце последнего отрезка отметим точку, обозначив ее буквой A.

Аналогично для верхней площадки элемента.

Согласно закона парности касательных напряжений, точки A и B всегда будут расположены по разные стороны от оси σ и равноудалены от нее.

Для главных напряжений (при отсутствии касательных) точки A и B останутся на оси нормальных напряжений.

Полученные точки A и B соединяем отрезком.

 

 

На отрезке AB как на диаметре вычерчиваем окружность, с центром в точке пересечения отрезка AB с осью σ системы координат.

Круг Мора построен.

Множество точек полученной окружности показывают величину и знак нормальных и касательных напряжений при соответствующем положении площадок элемента.

Точки пересечения круга Мора с осью σ показывают величину и знаки главных напряжений.

 

3.Пример.