Тема. Статически неопределимые системы.

ПЗ_3. Расчет статически неопределимых конструкций

 

1. Статически неопределимые задачи

Задачи на расчет конструкций, в элементах которых внутренние силовые факторы не могут быть определены при помощи одних уравнений
равновесия статики, называются статически неопределимыми. При решении таких задач помимо уравнений равновесия сил составляются уравнения перемещений. Для этого вычерчивают деформированную схему системы, из которой и устанавливают нужные зависимости. Полученная зависимость между деформациями называется уравнением совместности деформаций системы и представляет собой геометрическую сторону задачи. Деформация стержня возникает от нагрузки, изменения температуры стержня или неточности его изготовления.

Температурное удлинение (укорочение) стержня

где α - коэффициент линейного расширения материала стержня.

Пример. Жесткая балка (рис.1) силой тяжести 40 кН шарнирно
укреплена в стене в точке А и расположена горизонтально при помощи
двух стальных стержней 1 (ВС) и 2 (DE) равной длины .

На балку действуют сосредоточенная сила Р=20кН. Площади
поперечных сечений стержней равны соответственно F и 2F (F=2*10^-4 м²).

Определить усилия в стержнях, а также возникающие в них
напряжения.

Рис. 1

Решение. Применяя к балке принцип освобождаемое™ от связей,
получаем три неизвестных: реакцию R_А, шарнира А и реакции R₁и R₂
стержней.

Для полученной плоской уравновешенной системы сил можно
составить два уравнения равновесия: уравнение проекций сил на ось у и
уравнение моментов сил относительно какой-либо точки.

Для решения задачи необходимо составить третье, дополнительное
уравнение деформации элементов системы. Для этого представим систему
в деформированном виде и непосредственно по схеме (см. рис.1) установим зависимость между деформациями стержней 1 и 2.

Из подобия треугольников АВВ₁ и ADD₁получим

Поскольку реакцию R_А не требуется определять, то составим только одно уравнение равновесия - сумму моментов сил относительно точки А.

или

По закону Гука.

Разделим первое равенство на второе

Тогда

Находим реакции стержней:

R₁= 6,3 кН;
R₂ = 31,5 кН.
Вычисляем напряжения в стержнях:

Задание 1.1. Определить усилия в стержнях жесткой балки и
возникающие в них напряжения по данным одной из схем. приведенным
на рис. 2 и в табл. 1.

Удлинение стержня в зависимости от температуры ∆ l =α l ∆ T,

где α = 12*10^-6 К^-1- коэффициент линейного расширения железа;

∆ T- изменение температуры стержня.

Таблица 1

 

 

 

 

№	P, кН	Стержень 1	Стержень 2	Величина зазора ∆ l	Изменение температуры стержня ∆ t
Длина	Площадь поперечного сечения	Длина	Площадь поперечного сечения
		2 l	3 F	l	2 F	-	-
		l	F	3 l	F	-	-
		2 l	2 F	l	F	-	-
		l	F	2 l	2 F	-	-
		2 l	F	l	2 F	-	-
		l	F	2 l	F	-	-
		3 l	2 F	l	F	-	-
		2 l	F	l	F	-	-
		2 l	2 F	l	F	-	-
		2 l	2 F	l	2 F	-	-
	-	l	F	3 l	2 F	0.0006 l	-
	-	l	F	2 l	F	0.0008 l	-
	-	l	F	2 l	3 F	0.0005 l	-
	-	l	F	2 l	2 F	0.001 l	-
	-	l	F	2 l	2 F	-	+30°C
	-	2 l	F	l	2 F	-	-30° С
	-	3 l	2 F	l	F	-	+20°C
	-	l	F	1,5 l	2 F	-	-20°C
	-	l	F	2 l	F	-	+25°C
	-	3 l	F	l	F	-	-25°C

Рис.2

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Тема. Геометрические характеристики плоских сечений

Тема практического занятия: Определение положения центра тяжести плоского симметричного сечения

Цель занятия: Определить положение центра тяжести сечения, составленного из профилей стандартного проката

Последовательность решения задачи:

1) начертить заданное сложное сечение (фигуру), выбрать оси координат.

2) разбить сложное сечение на простые, для которых центры тяжести и силы тяжести известны;

3) определить необходимые данные для простых сечений:

а) выписать из таблиц ГОСТа для каждого стандартного профиля необходимые справочные данные (h; b; d; A; для швеллера z ₀) или определить площадь простого сечения;

б) определить координаты центров тяжести простых сечений относительно выбранных осей координат;

в) определить статические моменты площади простых сечений;

4) определить положение центра тяжести сложного сечения.

Контрольные вопросы для студентов:

1. Каким свойством обладает центр параллельных сил?

2. Запишите формулы для определения центра тяжести плоской фигуры, составленной из площадей.

3. Что такое статический момент площади?

4. В каких единицах измеряется статический момент площади?

5. Какие свойством обладает статический момент площади?

6. Перечислите способы определения центра тяжести твердого тела.

7. Где находится центр тяжести тела, имеющего 2 оси симметрии?

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

ЗАДАЧА. Для заданных плоских симметричных сечений,

составленных из профилей стандартного проката определить:

I) Положение центра тяжести;

II) Главные центральные моменты инерции.

Данные своего варианта взять из таблицы к ПЗ №4

 

а)	б)
Схемы к задаче ПЗ № 4

 

Таблица ПЗ № 4

№ двутавра						№ швеллера	Полоса, h×b, мм
№ варианта и данные к задаче							140´10
						150´12
						160´12
						160´10
						150´10
						300´16
						420´20

Обратите внимание, что, все геометрические параметры швеллера даны в ГОСТ при вертикальном положении его стенки. При повороте швеллера на угол 90⁰, все его геометрические параметры заданные относительно оси Х меняются на параметры заданные относительно оси У.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Задача. Для заданного плоского симметричного сечения составленного из профилей стандартного проката определить положение центра тяжести

Дано: полоса 120´10 (ГОСТ 103-76);

двутавр № 12 (ГОСТ 8239-89); швеллер № 14 (ГОСТ 8240-89).

Найти: С (х _С; у _С).

Решение:

1) Разбиваем сложное сечение на 3 простых сечения:

1 – полоса; 2 – двутавр; 3 – швеллер.

2) Выписываем из таблиц ГОСТа и определяем необходимые данные для простых сечений:

Полоса 120´10; А ₁ =120·10=1200 мм ² =12 см ²; С ₁ (0;0,5)

Двутавр № 12; А ₂ =14,7 см ² ; С ₂ (0; 7)

Швеллер № 14; А ₃ =15,6 см ² ; С ₃ (0; 14,67)

3) Находим статические моменты площади относительно оси 0 х:

S _x1 = A ₁ ·y₁ =12·0,5=6 см ³; S _x2 = A ₂ ·y₂ =14,7·7=102,9 см ³;

S _x3 = A ₃ ·y₃ =15,6·14,67=228,9 см ³;

∑ S _х = S _x1 + S _x2 + S _x3 =6+102,9+228,9=337,8 см ³.

4) Определяем сумму площадей простых сечений:

∑ А _k = A ₁+ A ₂ + A ₃ =12+14,7+15,6=42,3 см ².

5) Определяем положение центра тяжести сложного сечения:

х _С =∑ S _у\∑ А _k; х _С =0 см;

у _C =∑ S _х\∑ А _k; у _C =337,8\42,3=8 см.

Ответ: центр тяжести сложного сечения находится в точке С (0; 8).

Литература:

1. Волков А. Н. Сопротивление материалов. — М.: КолосС, 2004. —

С.36…41.

2. Кривошапко С. Н. Сопротивление материалов: лекции, семинары, расчетно-­графические работы. — М.: Издательство Юрайт, 2013. — С.220…228.

 

x

С

С 1

y

С 3

C 2

Рис. ПЗ № 4 и ПЗ № 5

хС

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

Тема №5 программы: Геометрические характеристики плоских сечений

Тема практического занятия: Определение главных центральных моментов инерции сложного симметричного сечения

Цель занятия: Определить главные центральные моменты инерции сложного симметричного сечения, составленного из профилей стандартного проката

Последовательность решения задачи:

1) провести центральные оси простых сечений у сложного сечения центр тяжести, которой известен;

2) определить необходимые данные для простых сечений:

а) выписать из таблиц ГОСТа для каждого стандартного профиля необходимые справочные данные (J _{x i} ; J _{у i} ), определить центральные моменты инерции полосы;

б) определить расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений по формуле: а_i= |у _С -у _i |;

3) определить главные центральные моменты инерции сложного сечения.

Контрольные вопросы для студентов:

1. Какая величина называется статическим моментом сечения?

2. Назовите свойство статического момента сечения относительно центральных осей.

3. Какие величины называются осевыми моментами инерции сечения, какие сечения они характеризуют?

4. Какая величина называется центробежным моментом инерции сечения, какие сечения они характеризуют?

5. Какая величина называется полярным моментом инерции сечений, какие сечения он характеризует?

6. Назовите свойство полярного момента инерции сечения.

7. Какие моменты инерции сечения и оси называются главными?

8. Какие моменты инерции сечения называются главными центральными?

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Задача. Для плоского симметричного сечения составленного из профилей стандартного проката определить главные центральные моменты инерции (см. ПЗ № 4)

Дано: полоса 120´10 (ГОСТ 103-76);

двутавр № 12 (ГОСТ 8239-89); швеллер № 14 (ГОСТ 8240-89);

центр тяжести сечения: С (0; 8).

НАЙТИ: J _x; J _у.

Решение II:

1) Провести центральные оси простых сечений.

2) Выписываем из таблиц ГОСТа и определяем центральные моменты инерции для простых сечений:

Полоса 120´10; А ₁=12 см²; С ₁ (0;0,5);

J _x1= b · h ³/12=12·1³/12=1 см⁴; J _у1= b ³· h =12³·1/12=144 см⁴.

Двутавр № 12; А ₂ =14,7 см ² ; С ₂ (0; 7); J _x2=350 см⁴; J _у2=27,9 см⁴.

Швеллер № 14; А ₃ =15,6 см ² ; С ₃ (0; 14,67); J _x3=45,4 см⁴; J _у3=491 см⁴

3) Определяем расстояния между главной центральной осью сложного сечения и центральными осями простых сечений:

а ₁=|у _С -у₁|=8-0,5=7,5 см; а ₂=|у _С -у₂|=8-7=1 см;

а ₃=|у _С -у₃|=|8-14,67|=6,67 см.

4) Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси у по формуле:

J _у =∑ J _{у i} = J _у1+ J _у2+ J _у3=144+27,9+491=662,9 см⁴.

5) Определяем главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х по формуле:

J _хС=∑(J _{х i}+а_i ²· А_i)=(J _х1 +а ₁²· А ₁)+(J _х2 +а ₂²· А ₂)+(J _х3 +а ₃²· А ₃);

J _хС=(1+7,5²·12)+(350+1²·14,7)+(45,4+6,67²·15,6)=1780,1 см⁴.

Ответ: J _max= J _xС=1780,1 см⁴; J _min= J _у=662,9 см⁴.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №6