Касательная и нормаль. Проведение касательной. Нормаль.

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Функция α (x) называется бесконечно малой при x→a, если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при x→a

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

Если , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);

Если , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при x→a

Производная

Пусть f(x) – непрерывная функция, х₁ и х₂ – значения аргумента; y₁=f(x₁), y₂=f(x₂) - значения функции; ∆x=x₂-x₁ – приращения аргумента; ∆y=y₂-y₁ – приращения функции;

y'=lim ∆y/∆x, ∆x→0;

Дифференциал y=f(x); dy=f ' *dx; свойства: 1. d(c)=0 (c-const)

2. d(c*f)=c*df 3. d(f₁±f₂)=df₁±df₂ 4. d(u*v)=u*dv+v*du

21.

Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий: 1.Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными; 2.Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [ a,b ].

24. Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц. Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn. Равенство матриц.A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij(i=1,2,...,m; j=1,2,...,n) Действия над матрицами. 1.Сложение м атриц - поэлементная операция 2.Вычитание матриц - поэлементная операция 3.Произведение матрицы на число - поэлементная операция

4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B) A_mk*B_kn=C_mn причем каждый элемент с_ij матрицы C_mn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элемеенты j-го столбца матрицы B, т.е. Покажем операцию умножения матриц на примере

5. Возведение в степень m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц. 6.транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A^T или A' Строки и столбцы поменялись местами Пример Свойства опрераций над матрицами 1. A+B=B+A 2. (A+B)+C=A+(B+C) 3.λ(A+B)=λA+λB 4. A(B+C)=AB+AC 5.(A+B)C=AC+BC 6. λ(AB)=(λA)B=A(λB) 7. A(BC)=(AB)C 8. (A')'=A 9. (λA)'=λ(A)' 10. (A+B)'=A'+B' 11. (AB)'=B'A' Виды матриц1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа 2. Квадратные: m=n3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором 4. Матрица столбец: n=1. Например 5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠j. 6. Единичная матрица: m=n и 7. Нулевая матрица: a_ij=0, i=1,2,...,m j=1,2,...,n 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.Пример. 9. Симметрическая матрица: m=n и a_ij=a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A Например, 10. Кососимметрическая матрица: m=n и a_ij=-a_ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем a_ii=-a_ii)Пример.

Ясно, A'=-A 11. Эрмитова матрица: m=n и a_ii=-ã_ii (ã_ji - комплексно - сопряженное к a_ji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)Пример

Уравнение прямой на плоскости. Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве.

 

Уравнение прямой по точке и вектору нормали

Определение. В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0.

Уравнение прямой в отрезках

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С≠0, то, разделив на –С, получим:

Или где Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу.

 

Нормальное уравнение прямой

 

Если обе части уравнения Ах + Ву + С = 0 разделить на число которое называется нормирующем множителем, то получим

xcosφ + ysinφ - p = 0 – нормальное уравнение прямой. Знак ± нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы μ * С < 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

 

Формула Тейлора.

Пусть функция f (x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

5.Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если она определена в этой точке и (1)

Условие непрерывности (1) можно также записать в виде (2) Функция f(x) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Если же непрерывность функции нарушается в некоторой точке, то такая точка называется точкой разрыва. Точки разрыва можно классифицировать по величине модуля разности между односторонними пределами,

который называют скачком функции при переходе через точку a. Если этот скачок равен нулю, но функция f(x) не определена в точке a, то такая точка называется точкой устранимого разрыва. Например, функция f(x)=sin x/x не определена в нуле, однако ее предел в этой точке существует и равен 1. Поэтому для устранения разрыва достаточно доопределить функцию f(x) при x = 0, исходя из соображений непрерывности: В случае произвольной функции f(x), для которой точка a является точкой устранимого разрыва, нужно расширить область определения функции, включив в нее точку a и полагая Если скачок функции в точке a имеет конечное значение, то эту точку называют точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке a равен бесконечности, если какой-либо односторонний предел равен бесконечности. В этом случае говорят о точке разрыва второго рода.

Теорема (правило Лопиталя).

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций, то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

 

Касательная и нормаль. Проведение касательной. Нормаль.

 

Касательная и нормаль к плоской кривой.

 

Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x₁; y₁) на ней. Требуется составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в точке M (x₁; y₁)равен значению f '(x₁) производной y' = f '(x) при x = x₁/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е. в виде

y - y₁ = f '(x₁)(x - x₁)

Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен , а уравнение записывается в виде

Дана кривая . Написать уравнение касательной и нормали в точке с абсциссой x₁ = 1
Р е ш е н и е. Определим ординату точки, имеющей абсциссу x₁ = 1. Для этого подставим в уравнение кривой вместо xзначение x₁ = 1: получим
Далее найдем угловой коэффициент касательной в данной точке, для чего вычислим производную f '(x) = x² - 2xданной функции в точке ; получим f '(x) = 1 - 2 = -1
Таким образом, уравнение касательной будет , или 3x + 3y -7 = 0

Уравнение номали имеет вид , или 3x - 3y + 1 = 0

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , и дифференцируема в ней: . Касательной прямой к графику функции f в точке x₀ называется график линейной функции, задаваемойуравнением

Если функция f имеет в точке x₀ бесконечную производную то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

x = x₀.

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x₀,f(x₀)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки (x₀,f(x₀)) и (x₁,f(x₁)) задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку (x₀,f(x₀)) для любого и её угол наклона α(x₁) удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции f в точке x₀, переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку (x₀,f(x₀)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).

] Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

4. Уравнение касательной и нормали к графику функции в точке

5.

Уравнение касательной

6. Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной:

7. y/(x)=limΔx→0ΔxΔy

8.

9. Δy=f(x+Δx)−f(x).

10.
Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k

Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0), или

11. y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.

12.

13.

14.

15.
Уравнение нормали

16. Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

17. tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)

18.
Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

19. tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).

20.
Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:

21. y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).

Уравнение касательной

Пусть функция задается уравнением y=f(x), нужно написать уравнение касательной в точке x0. Из определения производной:

y/(x)=limΔx→0ΔyΔx

 

Δy=f(x+Δx)−f(x).

Уравнение касательной к графику функции: y=kx+b (k,b=const). Из геометрического смысла производной: f/(x0)=tgα=k

Т.к. x0 и f(x0)∈ прямой, то уравнение касательной записывается в виде: y−f(x0)=f/(x0)(x−x0), или

y=f/(x0)·x+f(x0)−f/(x0)·x0.

 

 

Уравнение нормали

Нормаль -- это перпендикуляр к касательной (см. рисунок). Исходя из этого:

tgβ=tg(2π−α)=ctgα=1tgα=1f/(x0)

Т.к. угол наклона нормали -- это угол β1, то имеем:

tgβ1=tg(π−β)=−tgβ=−1f/(x).

Точка (x0,f(x0))∈ нормали, уравнение примет вид:

y−f(x0)=−1f/(x0)(x−x0).

4.Предел функции — одно из основных понятий математического анализа. Функция f(x) имеет предел L в точке x0, если для всех значений x, достаточно близких к x0, значение f(x) близко к L. ;

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Функция α (x) называется бесконечно малой при x→a, если

Предположим, что α (x) и β (x) - бесконечно малые функции при x→a

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией β (x);

Если , то говорят, что функции α (x) и β (x) являются бесконечно малыми одинакового порядка малости;

Если , то говорят, что функция α (x) является бесконечно малой порядка n относительно функции β (x);

Если , то говорят, что бесконечно малые функции α (x) и β (x) эквивалентны при x→a

Производная

Пусть f(x) – непрерывная функция, х₁ и х₂ – значения аргумента; y₁=f(x₁), y₂=f(x₂) - значения функции; ∆x=x₂-x₁ – приращения аргумента; ∆y=y₂-y₁ – приращения функции;

y'=lim ∆y/∆x, ∆x→0;

Дифференциал y=f(x); dy=f ' *dx; свойства: 1. d(c)=0 (c-const)

2. d(c*f)=c*df 3. d(f₁±f₂)=df₁±df₂ 4. d(u*v)=u*dv+v*du