Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ:  Археология Биология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия ЭкологияТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву 
Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Билет 25. Определитель матрицы его свойства и разложения. Обратная матрицаСодержание книги
Поиск на нашем сайте
Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A) Для матрицы второго порядка Разложение по строке или столбцу
Свойства определителей 1. 6. Пусть Билет 26. Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицТеорема 19. 1 Собственными числами матрицы
| 16. Определение определённого интеграла Если существует конечный предел I интегральной суммы при λ → 0, и он не зависит от способа выбора точек ξ i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [ a, b ] и обозначается следующим образом:
 ,
или
 .
В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [ a, b ]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла
 ,
поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы. Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы различны: в то время как
представляет семейство функций, определённый интеграл
есть число.
20. 1. Замена переменной.Интегрирование по частям опрд.интегр. Пусть  функция  переводящая  непрерывно дифференцируема на  Тогда справедлива формула
По свойству  инвариантности формы определенного интеграла
 
где F(x) — первообразная для  (х)Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция  1.определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке  ,2.  ,3функция  непрерывна на отрезке [ a, b ].Тогда  . Док-во. Пусть F (x) - первообразная для функции f (x), т.е.  , тогда  - первообразная для функции  .  , что и требовалось доказать.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u (x), v (x) - непрерывно дифференцируемые функции, то  . Док-во. Интегрируем равенство  в пределах от a до b:  . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница  , следовательно,  , откуда и следует доказываемое равенство.
37Функции многих переменных. Предел и непрерывность функций многих переменных.
Определение 1. Функциейnпеременных u(x1, x2, …, xn) называется отображениеu: Rn → R, т.е. любое правило, которое каждой точкеx= (x1, x2, …, xn)ОDМRnставит в соответствие действительное числоuОR.Пусть функция z =  (х, у) определена в области D плоскости XOY, а т.  лежит в области D (см. рис. 11.4).
Число А называется пределом функции f(x, у) при стремлении т. М(х, у) к т.  если для любого числа  >0 найдется такое число  >0, что для всех т. М(х, у)  за исключением, быть может, т.  справедливо неравенство
Основные теоремы о пределах функции одной переменной (см. разд. 7.5) справедливы и для функций двух и большего числа переменных.
Функция z =  (х, у) называется непрерывной в т.  если:
1) она определена в т.  и ее окрестности,
2) 
Функция z =f(x, у) называется непрерывной на некотором множестве Е  D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Точка  называется точкой разрыва функции  (М), если в ней нарушено хотя бы одно из условий 1), 2). Точки разрыва могут быть изолированными, могут образовывать линии разрыва.
Примеры: 1) 
Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль  у = х — линия разрыва
2) 
 т.  — точка разрыва
Для функции трех и более переменных определения предела и непрерывности аналогичны.
Число А называется пределом функции у =  (М) при стремлении т.  к т.если  для любого  > 0 существует такое  > 0, что из условия
следует 
41.Дифференцирование сложной функции. Производная по направлению, градиент функции.
Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных. Если функция f имеет производную в точке x0, а функция g имеет производную в точке y0 = f(x0), то сложная функция h(x) = g(f(x)) также имеет производную в точке x0..
Одномерный случай
Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой,  где y0 = f(x0), и  Пусть также эти функции дифференцируемы:  Тогда их композиция также дифференцируема:  и её производная имеет вид:
[править]Замечание
В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции y = y(x), где x = x(t), принимает следующий вид:
[править]Инвариантность формы первого дифференциала
Дифференциал функции z = g(y) в точке y0 имеет вид:
где dy — дифференциал тождественного отображения  :
 Пусть теперь  Тогда  , и согласно цепному правилу:
Таким образом, форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли переменная функцией или нет.
[править]Пример
Пусть  Тогда функция  может быть записана в виде композиции  где
Дифференцируя эти функции отдельно:
получаем
[править]Многомерный случай
Пусть даны функции  где y0 = f(x0), и  Пусть также эти функции дифференцируемы:  и  Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид
dh(x0) = dg(y0) * df(x0).
В частности, матрица Якоби функции h является произведением матриц Якоби функций g и f:
Следствия
Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций:
Для частных производных сложной функции справедливо
В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.
Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.
Рассмотрим функцию  от  аргументов в окрестности точки  . Для любого единичноговектора  определим производную функции  в точке  по направлению  следующим образом:
Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .
Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.
[править]Связь с градиентом
Производную по направлению можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:
 ,где  — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .
ГРАДИЕНТ ФУНКЦИИ
и = f(x, у, z), заданной в некоторой обл. пространства (X Y Z), есть вектор с проекциями  обозначаемый символами: grad  где i, j, k — координатные орты. Г. ф. — есть функция точки (х, у, z), т. е. он образует векторное поле. Производная в направлении Г. ф. в данной точке достигает наибольшего значения и равна:  Направление градиента есть направление наибыстрейшего возрастания функции. Г. ф. в данной точке перпендикулярен поверхности уровня, проходящей через эту точку. Эффективность использования Г. ф. при литологических исследованиях была показана при изучении эоловых отл. Центральных Каракумов.
48.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Это уравнение - неоднородное линейное; если F(x)=0, то уравнение называется однородным линейным.
Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения имеет вид y=C1y1+C2y2, где C1,C2- постоянные; y1, у2 - линейно независимые решения уравнения (две функции называются линейно независимыми, если их отношение не является постоянной). Такие решения у1 и y2 образуют так называемую фундаментальную систему решений.
Если известно только одно частное решение однородного уравнения у1 то другое находится по формуле
где С - постоянная.
Если коэффициенты р(х), q(x) и F(x) разлагаются в сходящиеся ряды по степеням х-х0 в некоторой окрестности точки х0, то решения ищут также в форме рядов по степеням х-х0, сходящихся в той же окрестности. Коэффициенты разложения находятся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях разности x-x0.
Задача отыскания решений однородного уравнения значительно упрощается, если коэффициенты дифференциального уравнения постоянны:
где а0, a1, а2 - данные числа. Решения уравнения зависят от корней характеристического уравнения a0k2+а1k+a2=0. в табл. 1 даны результаты в зависимости от дискриминанта
Таблица 1.
   
  
    
В табл. 1 функция φ(х) есть частное решение неоднородного уравнения; оно может быть найдено по способу неопределенных коэффициентов, если правая часть дифференциального уравнения имеет следующую структуру:
где Р1(х) и Р2(х) - многочлены.
В общем же случае применяют вариацию произвольных постоянных, а именно: заменяют постоянные C1 и С2функциями C1(x) и С2(х); производные этих функций должны удовлетворять системе алгебраических линейных уравнений:
Найдя С′1 и С′2, получают
где D1 и D2 - произвольные постоянные.
Уравнение вида x2y"+xp(x)y'+q(x)y=0 в том случае, если р(х) и q(x) разлагается в сходящиеся ряды по степеням х, имеет решение
где k определяется из уравнения
а коэффициенты а0, а1,... находят методом неопределенных коэффициентов.
ПРИМЕР 1. Уравнение Эйлера:
В этом случае
и решение имеет вид
ПРИМЕР 2. Уравнение Бесселя:
Для k получается
откуда k=±y.
Два решения имеют вид
Определение аp с помощью метода неопределенных коэффициентов приводит к функциям Бесселя (см. "Функции Бесселя").
51.Кривые второго порядкана плоскости
Кривые второго порядка — кривые, которые задаются в некоторой аффинной системе координат на плоскости уравнением второй степени:
 0)
Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружностью радиуса R с центром в точке M называется множество всех точек Μ плоскости, удовлетворяющих условию  Пусть точка M_0 в прямоугольной системе координат Ox имеет координаты x0, y0 a 
 произвольная точка окружности
Тогда из условия получаем уравнение
то есть 
Уравнению (11.2) удовлетворяют координаты любой точки  данной окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности.
Уравнение (11.2) называется каноническим уравнением окружности
В частности, полагая  и  получим уравнение окружности с центром в начале координат.  Уравнение окружности (11.2) после несложных преобразований примет вид  При сравнении этого уравнения с общим уравнением (11.1) кривой второго порядка легко заметить, что для уравнения окружности выполнены два условия: 1) коэффициенты при x^2 и у^2 равны между собой;
2) отсутствует член, содержащий произведение xу текущих координат. Рассмотрим обратную задачу. Положив в уравнении (11.1) значения получим 
Преобразуем это уравнение:  т.е.  т.е.  Отсюда следует, что уравнение (11.3) определяет окружность при условии  Ее центр находится в точке  а радиус  Если же  то уравнение (11.3) имеет вид  Ему удовлетворяют координаты единственой точки  В этом случае говорят: “окружность выродилась в точку” (имеет нулевой радиус). Если  то уравнение (11.4), а следовательно, и равносильное уравнение (11.3), не определят никакой линии, так как правая часть уравнения (11.4) отрицательна, а левая – не отрицательная (говорять: “окружность мнимая”).
Эллипс
Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.
 Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2c, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2a (см. рис. 49). По определению 2a > 2c, т. е. a > c.
Пусть  — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса,  т. е. 
Это, по сути, и есть уравнение эллипса.
Преобразуем уравнение (11.5) к более простому виду следующим образом:
  
Так как a>с, то 
Положим  Тогда последнее уравнение примет вид  или  Можно доказать, что уравнение (11.7) равносильно исходному уравнению. Оно называется каноническимуравнением эллипса.
44.Построение системы комплексных чисел. Тригонометрическая форма комплексного числа и её применения.
Ко́мпле́ксные[1] чи́сла, — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается  . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy, где x и y — вещественные числа, i — мнимая единица.
Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле — это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (основная теорема алгебры).
Стандартная модель
Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Введём операции сложения и умножения таких пар следующим образом:
Вещественные числа являются в этой модели подмножеством множества комплексных чисел и представлены парами вида  , причём операции с такими парами согласованы с обычными сложением и умножением вещественных чисел. Ноль представляется парой  единица —  а мнимая единица —  На множестве комплексных чисел ноль и единица обладают теми же свойствами, что и на множестве вещественных, а квадрат мнимой единицы, как легко проверить, равен  , то есть − 1.
Матричная модель
Комплексные числа можно также определить как семейство вещественных матриц вида
с обычным матричным сложением и умножением. Действительной единице будет соответствовать
мнимой единице —
Замечания
Ошибочно определение числа i как единственного числа, удовлетворяющего уравнению x2 = − 1, так как число (− i) также удовлетворяет этому уравнению.
Следует также заметить, что выражение  , ранее часто использовавшееся вместо i, не вполне корректно, так как алгебраический корень определяется над множеством неотрицательных чисел. Вплоть до XIX века включительно запись вроде  считалась допустимой, но в настоящее время, во избежание ошибок, принято записывать это выражение как  . Пример возможной ошибки при неосторожном использовании устаревшей записи:
в то время как правильный ответ:
Действия над комплексными числами
Сравнение
a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).
Сложение
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание
(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
Умножение
Деление
Геометрическая модель
Геометрическое представление комплексного числа
Рассмотрим плоскость с прямоугольной системой координат. Каждому комплексному числу  сопоставим точку плоскости с координатами {x,y} (а также радиус-вектор, соединяющий начало координат с этой точкой). Такая плоскость называется комплексной. Вещественные числа на ней занимают горизонтальную ось, мнимая единица изображается единицей на вертикальной оси; по этой причине горизонтальная и вертикальная оси называются соответственно вещественной и мнимой осям
Модуль, аргумент, вещественная и мнимая части
Пусть  — комплексное число, где  и  — вещественные числа. Числа  или  и  или  называются соответственновещественной и мнимой (аналогично англ. real, imaginary) частями z.
Если x = 0, то z называется мнимым или чисто мнимым числом.
Если y = 0, то z является действительным (вещественным) числом.
Модуль и аргумент
Модулем (абсолютной величиной) комплексного числа называется длина радиус-векторасоответствующей точки комплексной плоскости (или, что то же, расстояние между точкой комплексной плоскости, соответствующей этому числу, и началом координат).
Модуль комплексного числа z обозначается | z | и определяется выражением  . Часто обозначается буквами  или  . Если z является вещественным числом, то | z | совпадает с абсолютной величиной этого вещественного числа.
Для любых  имеют место следующие свойства модуля.:
1)  , причём  тогда и только тогда, когда  ;;
2)  (неравенство треугольника);
3)  ;
4)  .
Из третьего свойства следует  , где  . Данное свойство модуля вместе с первыми двумя свойствами вводят на множестве комплексных чисел структуру двумерного нормированного пространства над полем  .
5) Для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности | z1 − z2 | равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости.
Угол  (в радианах) радиус-вектора точки, соответствующей числу z, называется аргументом числа z и обозначается  .
Из этого определения следует, что  ;  ;  .
Для комплексного нуля значение аргумента не определено, для ненулевого числа z аргумент определяется с точностью до 2kπ, где k — любое целое число.
Главным значением аргумента называется такое значение , что  . Часто главное значение обозначается  [3]. Главное значение аргумента обратного числа отличается знаком от аргумента исходного:  .
Сопряжённые числа
Геометрическое представление сопряжённых чисел
Если комплексное число z = x + iy, то число  называется сопряжённым (или комплексно сопряжённым) к z (обозначается также z *). На комплексной плоскости сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно вещественной оси. Модуль сопряжённого числа такой же, как у исходного, а их аргументы отличаются знаком.
Переход к сопряжённому числу можно рассматривать как одноместную операцию; перечислим её свойства.
 (сопряжённое к сопряжённому есть исходное).
| ||
|
| Поделиться: |
определитель вычисляется по формуле: 
- алгебраические дополнения элементов аij матрицы А, где Mij — миноры элементов аij матрицы А. Минором Mij элемента аij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент aij
2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю. 3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то 
4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя. 5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.
- квадратная матрица порядка n; k - фиксированное натуральное число: 
- матрицы, которые получаются из A заменой ее k -й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) 
Тогда 
7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число. 8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю. 9. 
Обра́тная ма́трица — такая матрица A−1, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:Для того чтобы найти обратную матрицу надо составить матрицу алгебраических дополнений и каждый элемент этой матрицы поделить на определитель исходной матрицы.
являются корни уравнения 
и только они. Доказательство. Пусть столбец 
-- собственный вектор матрицы 
. Тогда, по определению, 
. Это равенство можно переписать в виде 
. Так как для единичной матрицы 
выполнено 
, то 
. По свойству матричного умножения 
и предыдущее равенство принимает вид 
(19.4) Допустим, что определитель матрицы 
отличен от нуля, 
. Тогда у этой матрицы существует обратная 
. Из равенства (19.4) получим, что 
, что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что 
, неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения 
. Пусть 
. Тогда базисный минор матрицы 
не может совпадать с определителем матрицы и поэтому 
, 
-- порядок матрицы 
, являющимися элементами матрицы-столбца 
, что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу 
является многочленом степени 
называется характеристической матрицей матрицы 
, многочлен 
называется характеристическим многочленом матрицы 
называется характеристическим уравнением матрицы 
Решение. Составляем характеристическую матрицу 
: 
Находим характеристический многочлен 
Решим характеристическое уравнение 
Подбором находим, что один корень уравнения равен 
. Есть теорема, которая говорит, что если число 
является корнем многочлена 
, то многочлен 
делится на разность 
, то есть 
, где 
-- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен 
должен делиться на 
. Выделим в характеристическом многочлене этот множитель 
: 
