Билет 25. Определитель матрицы его свойства и разложения. Обратная матрица

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A) Для матрицы второго порядка определитель вычисляется по формуле:

Разложение по строке или столбцу - алгебраические дополнения элементов а_ij матрицы А, где M_ij — миноры элементов а_ij матрицы А. Минором M_ij элемента а_ij матрицы n-го порядка А называется определитель матрицы (n-1)-го порядка, получаемой из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij

Свойства определителей 1. 2. Если все элементы какой-нибудь строки (столбца) определителя равны нулю, то определитель равен нулю. 3. Если матрица B получена из матрицы A перестановкой двух каких-либо ее строе (столбцов), то 4. Общий множитель всех элементов произвольной строки (столбца) определителя можно вынести за знак определителя. 5. Определитель, содержащий две пропорциональные строки (столбца), равен нулю.

6. Пусть - квадратная матрица порядка n; k - фиксированное натуральное число: - матрицы, которые получаются из A заменой ее k -й строки (столбца) соответственно строками (столбцами) Тогда 7. Определитель не меняется от прибавления к какой-либо его строке (столбцу) другой его строки (столбца), умноженной на произвольное число. 8. Если какая-либо строка (столбец) определителя есть линейная комбинация других его строк (столбцов), то определитель равен нулю. 9. Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:Для того чтобы найти обратную матрицу надо составить матрицу алгебраических дополнений и каждый элемент этой матрицы поделить на определитель исходной матрицы.

Билет 26. Нахождение собственных чисел и собственных векторов матрицТеорема 19. 1 Собственными числами матрицы являются корни уравнения и только они. Доказательство. Пусть столбец -- собственный вектор матрицы с собственным числом . Тогда, по определению, . Это равенство можно переписать в виде . Так как для единичной матрицы выполнено , то . По свойству матричного умножения и предыдущее равенство принимает вид (19.4) Допустим, что определитель матрицы отличен от нуля, . Тогда у этой матрицы существует обратная . Из равенства (19.4) получим, что , что противоречит определению собственного вектора. Значит, предположение, что , неверно, то есть все собственные числа должны являться корнями уравнения . Пусть -- корень уравнения . Тогда базисный минор матрицы не может совпадать с определителем матрицы и поэтому , -- порядок матрицы . Уравнение (19.4) является матричной записью однородной системы линейных уравнений с неизвестными , являющимися элементами матрицы-столбца . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе решений равно , что больше нуля. Таким образом, система (19.4) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то есть числу соответствует хотя бы один собственный вектор матрицы . Определитель является многочленом степени от переменного , так как при вычислении определителя никаких арифметических действий кроме сложения, вычитания и умножения выполнять не приходится. Определение 19. 5 Матрица называется характеристической матрицей матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Пример 19. 10 Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы Решение. Составляем характеристическую матрицу : Находим характеристический многочлен Решим характеристическое уравнение Подбором находим, что один корень уравнения равен . Есть теорема, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где -- многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :