Кривизна. Формула для вычисления кривизны. Окружность, центр и радиус кривизны.

Кривизна

При движении вдоль кривой её касательная меняет направление. Скорость этого вращения (отношение угла поворота касательной за бесконечно малый промежуток времени к этому промежутку) при равномерном, с единичной скоростью, движении вдоль кривой называется кривизной кривой. Производная же по времени положительного единичного вектора касательной называется в этом случае вектором кривизны кривой. То и другое - функции точки кривой. Кривизна есть абсолютная величина вектора кривизны.

В случае произвольного параметрического задания кривой^[2] кривизна кривой в трехмерном пространстве определяется по формуле

,

где — вектор-функция с координатами .

В координатах:

Для кривой в более многомерном пространстве можно заменить векторное произведение, обозначенное здесь квадратными скобками, на внешнее произведение.

Также для кривой в любой размерности пространства можно воспользоваться формулой вектора кривизны:

и фактом, что кривизна есть его модуль, а также выражением для единичного вектора касательной

и

и получить для кривизны формулу:

или, раскрыв скобки:

 

Прямые и только прямые имеют всюду равную нулю кривизну. Поэтому кривизна наглядно показывает, насколько (в данной точке) кривая отличается от прямой линии: чем ближе кривизна к нулю, тем это отличие меньше. Кривизна окружности радиуса R равна 1/R.

Дважды дифференцируемая кривая в каждой точке, где кривизна отлична от нуля, имеет единственную соприкасающуюся плоскость.

Для плоских кривых можно различать направление вращения касательной при движении вдоль кривой, поэтому кривизне можно приписывать знак в зависимости от направления этого вращения. Кривизна плоской кривой, задаваемой уравнениями , определяется по формуле

.

Знак + или - берётся по соглашению, но сохраняется вдоль всей кривой.

Определение 8.3 Радиусом кривизны кривой в точке называется число , где -- кривизна линии в точке . Если кривизна в точке равна 0, то радиус кривизны формально полагаем равным .

Заметим, что для окружности это определение даёт значение радиуса кривизны, совпадающее с радиусом окружности (постоянное во всех точках окружности).

Без доказательства сообщим, что из всех окружностей, касающихся линии в фиксированной точке , наиболее плотно прилегает²⁴ к линии та окружность, которая имеет радиус, равный радиусу кривизны кривой в точке , и выпуклость в ту же сторону, что кривая . Эта окружность называется окружностью кривизны линии в точке .

Рис.8.6.Окружности, касающиеся линии , и окружность кривизны

 

Пример 8.7 Радиус кривизны параболы в её вершине равен . Значит, окружность радиуса с центром в точке наилучшим образом приближает параболу в окрестности её вершины, то есть является для параболы окружностью кривизны в вершине параболы.

Арифметические свойства производной

Производная обратной функции.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема и строго монотонна на (a,b). Пусть также в точке x₀?(a,b) производная f '(x₀)≠0. Тогда в точке y₀ ?f(x₀) определена дифференцируемая функция g(y), которую называют обратной к f(x), а ее производная вычисляется по формуле

Формула Тейлора.

Пусть функция f (x) имеет в точке а и некоторой её окрестности производные порядка n + 1. Пусть x ≠ a есть любое значение аргумента из указанной окрестности, тогда между точками а и х найдётся такая точка с, что справедлива формула

5.Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если она определена в этой точке и (1)

Условие непрерывности (1) можно также записать в виде (2) Функция f(x) непрерывна на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества. Если же непрерывность функции нарушается в некоторой точке, то такая точка называется точкой разрыва. Точки разрыва можно классифицировать по величине модуля разности между односторонними пределами,

который называют скачком функции при переходе через точку a. Если этот скачок равен нулю, но функция f(x) не определена в точке a, то такая точка называется точкой устранимого разрыва. Например, функция f(x)=sin x/x не определена в нуле, однако ее предел в этой точке существует и равен 1. Поэтому для устранения разрыва достаточно доопределить функцию f(x) при x = 0, исходя из соображений непрерывности: В случае произвольной функции f(x), для которой точка a является точкой устранимого разрыва, нужно расширить область определения функции, включив в нее точку a и полагая Если скачок функции в точке a имеет конечное значение, то эту точку называют точкой разрыва первого рода. Скачок функции в точке a равен бесконечности, если какой-либо односторонний предел равен бесконечности. В этом случае говорят о точке разрыва второго рода.