Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

 

Скорость точки по модулю и направлению можно определить по формуле Эйлера векторным произведением:

(3.28)

где – радиус-вектор точки М, проведенной из произвольной точки оси вращения Oz, например точки О (рис. 3.10). В справедливости формулы (3.28) можно убедится определив по ней модуль скорости.

Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем:

Рис. 3.10

(3.29)

Касательное и нормальное ускорения также можно записать в виде:

где – соответственно ортогональные единичные векторы (см. выше 3.1.2).

Рассмотрим конкретные задачи.

 

Задача 3.1 Ротор мотора в период пуска имеет угловое ускорение e = 2p с^–2. Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки М
(рис. 3.11), лежащей на ободе ротора в момент t = 3 c. Диаметр ротора d = 0,2 м.

Решение

Угловую скорость ротора в момент времени t = 3 c находим, пользуясь формулой (3.25):

w = w_о + e×t

Здесь и далее учитываем, что вращение ротора равноускоренное, начальный угол поворота j_о= 0 и начальная угловая скорость w_о = 0, так как ротор начинает вращаться из состояния покоя. Тогда w = e×t = 2p×3 = 6p с^–2. Для определения положения точки на ободе ротора вычислим также по формуле (3.24) угол поворота По формулам (3.27) определим соответственно скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки М.

Рис. 3.11

Векторы в момент времени t = 3 c изображены на рисунке 3.11.

Задача 3.2 В период разгона маховика закон его вращения характеризуется . Определить скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии
R = 0,8 м от оси вращения в тот момент, когда касательное и нормальное ускорения точки равны.

Решение

По формулам (3.21) и (3.22) определяем угловую скорость и угловое ускорение маховика.

Касательное и нормальное ускорения соответственно равны a _t = e×R, a _n = w²R. По условию задачи в момент времени t = t₁ a _t = a _n. Поэтому в этот момент e = w² или откуда Подставляя t₁ в выражения для e и w, находим, что в момент времени t₁

Определим скорость и полное ускорение при t = t₁

 

Задача 3.3 Шестерня 1 радиуса r₁ приводится во вращение рукояткой АО₁ = l. Эта шестерня сцеплена зубчатым колесом 2 радиуса r₂, которое наглухо насажено на вал диаметра d. На вал намотан нерастяжимый канат, к которому прикреплен груз В. Определить скорость и ускорение груза В, если рукоятка АО₁, вращаясь равноускоренно из состояния покоя совершает 16 оборотов за 2 с после начала движения (рис. 3.12).

 

Рис. 3.12

Решение

Определяем угловое ускорение из формулы (3.25). По условию задачи j_о = 0,
w_о = 0, . Отсюда

Угловую скорость рукоятки для t = 2 с определяем по формуле (3.25) при
w_о = 0: w = e×t = 16p×2 = 32p c^–1.

Угловая скорость шестерни 1 равна угловой скорости рукоятки, так как они неизменно связаны между собой:

w₁ = w = 32p с^–1

Скорость точки С, которая принадлежит к шестерне 1 и колесу 2, равна

v_C = w₁r₁ = w₂r₂, откуда

Касательное ускорение а _t^(С) точки С находится по формуле (3.27)
а _t^(С) = e₁r₁= e₂r₂. Откуда Так как колесо 2 и вал жестко скреплены, имеем:

Поскольку канат нерастяжим и вместе с грузом совершает поступательное движение, можно определить

 

 

Сложное движение точки

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат O₁x₁y₁z₁, которая в свою очередь движется по отношению системы координат Oxyz, условно принятой в качестве неподвижной. При этом:

1) движение точки относительно системы координат Oxyz называется абсолютным;

2) движение точки относительно подвижной системы осей O₁x₁y₁z₁ называется относительным;

3) движение той точки подвижного пространства, с которой неизменно связана подвижная система отсчета O₁x₁y₁z₁ и с которой в данный момент времени совпадает рассматриваемая точка по отношению к неподвижной системе отсчета Oxyz называется переносным.

Рис. 3.13

Различают также абсолютные, относительные и переносные траектории, скорости и ускорения точки как кинематические характеристики соответствующие указанным выше её движениям.

Разложение сложного (абсолютного) движения точки на относительные, переносные часто дает возможность привести сложное движение к простейшим движениям и этим самым облегчить решение конкретной задачи. Из определения абсолютного движения очевидно (рис. 3.13), что

(3.30)