Частные случаи движения точки

1 Равномерное прямолинейное движение. При этом а = 0 (а _t = 0, а _n = 0, r = ¥),
v = const и закон движения определяется по формуле:

S = S_o + v×t (3.16)

где S_o = S(0).

2 Равномерное криволинейное движение. При этом а = а _n, a _t = 0, v = const, уравнение движения описывается выражением (3.16).

3 Равномерное движение по окружности. При этом а = а _n = const, a _t = 0,
v = const. Отсюда следует, что r = const. Траекторией движения точки является дуга окружности, так как радиус кривизны только окружности есть r = R = const
(R – радиус окружности). Закон движения имеет также вид (3.16).

4 Переменное прямолинейное движение. При этом а = а _t, а _n= 0, так как r = ¥. Тогда

(3.17)

5 Переменное криволинейное движение. В этом случае

(3.18)

В выражениях (3.17) и (3.18) знак (+) принимается в случае равноускоренного движения, знак (–) – равнозамедленного движения точки.

 

 

Последовательность решения задач по кинематике точки

При решении задач по кинематике точки рекомендуется придерживаться следующей последовательности:

1 По заданным уравнениям движения точки определяем уравнение её траектории и указываем на этой кривой действительную траекторию точки. Для заданного момента времени находим положение точки на траектории.

2 Определяем скорость точки.

3 Определяем полное ускорение точки.

4 Определяем касательное и нормальное ускорения.

5 Определяем радиус кривизны траектории точки.

6 Вычислим указанные выше кинематические характеристики в заданный момент времени. Изображаем схематично векторы скорости, касательного, нормального, полного ускорений и радиус кривизны траектории, соответствующий для положения точки в данный момент времени.

 

Задача К1

Под номером К1 помещены две задачи К1а и К1б, которые надо решить.

Задача К1а. Точка В движется в плоскости xy (рис. К1.0 – К1.9, таблица К1; траектория точки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x = f₁(t), y = f₂(t), где x, y выражены в сантиметрах, t – в секундах.

Определить уравнение траектории точки для момента времени t₁ = 1 с. Найти скорость и ускорение точки, касательное и нормальное её ускорения, а также радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Зависимость x = f₁(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость
y = f₂(t) дана в таблице К1 (для рис. 0 – 2 в столбце 2, для рис. 3 – 6 в столбце 3, для рис. 7 – 9 в столбце 4). Номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице К1 – по последней.

 

Таблица К1

 

 

Задача К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону
s = f(t), заданному в таблице К1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где – расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t₁ = 1 с. Изобразить на рисунке векторы , считая, что точка в этот момент находится в положении М, а положительное направление отсчета s – от А к М.

 

	Рис. К1.0		Рис. К1.1		Рис. К1.2

 

 

 

	Рис. К1.3		Рис. К1.4		Рис. К1.5

 

 

	Рис. К1.6		Рис. К1.7		Рис. К1.8

Рис. К1.9

Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощью формул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовых координатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, по которым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки при естественном способе задания её движения.

 

В задаче все искомые величины нужно определить только для момента времени t₁ = 1 с. В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или при последующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные тригонометрические формулы: cos²a + sin²a = 1; cos 2a= cos²a – sin²a = 1 – 2sin²a = 2 cos²a –1;
sin 2a = 2sina×cosa.

Пример К1а. Даны уравнения движения точки в плоскости xy:

(x, y – в сантиметрах, t – в секундах).

Определить уравнение траектории точки для момента времени t = 1с. Найти скорость и ускорение точки, а также её нормальное и касательное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.

Решение

1 Для определения уравнения траектории точки исключим из заданных уравнений движения время t. Учитывая конкретный вид функции x = f₁(t), y = f₂(t), используем формулу:

cos 2a= 1– 2 sin²a или (а)

Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций и подставляем в равенство (а). Получим

Следовательно, .

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки (параболы, рис. К1а).

x = (y+1)² + 1 (б)

Найдем начало отсчета движения, т.е. точку В₀ (х_о; у_о) при t_o=0; х_о=1, у_о= -1, следовательно В₀ (1;-1).

Определим также координаты точки при t = 1с.

x₁ = –2cos(p/4) + 3 @ 1,5 (см), y₁ = 2sin(p/8) – 1= – 0,23 см.

Таким образом, точка движется от точки В₀ к точке В₁ и далее. Реализуется верхняя от точки В₀ ветвь параболы.

2 Скорость точки найдем по её проекциям на координатные оси

 

где v_1x, v_1y, v₁ – значения v_x, v_y, v при t = 1 с.

3 Аналогично находим ускорение:

Рис. К1а

где а _1х, а _1y, а ₁ – значения а _х, а _у, а при t = 1 с.

4 Касательное ускорение при t = 1 с находим по формуле:

5 Нормальное ускорение при t = 1 с определяем из выражения:

.

6 При t = 1 с радиус кривизны траектории для точки В₁ (1,5; –0,23) равен:

Ответ: v₁ = 1,33 см/c, a ₁ = 0,88 см/c², a _1t = 0,66 см/c², a _1n = 0,58 см/c²,
r₁ = 3,05 см. Векторы и схематично r₁ изображаем на рисунке К1а.

 

Пример К1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону (S – в метрах, t – в секундах), где (рис. К1б). Определить скорость и ускорение в момент времени t₁ = 1 с.

Решение

Определяем скорость точки:

Полное ускорение находим по касательной и нормальной составляющим:

 

 

Изобразим на рисунке К1б векторы , определив предварительно положение точки М на траектории при t₁ = 1 с, которое характеризует дуговая координата или центральный угол , иначе j = 40°30¢.

Рис. К1б