Последовательность решения задач о равновесии

Рекомендуется придерживаться следующей последовательности решения задач.

1 Выделить точку или тело, равновесие которого рассматривается. Нарисовать его отдельно. Указать все необходимые размеры.

2 Освободить тело от связей, заменив их действие реакциями. Показать на рисунке все действующие активные силы и реакции связей (в том числе и пары сил).

3 Классифицировать эту систему сил (сходящаяся, плоская или пространственная система сил).

4 Выбрать систему координат и составить уравнения равновесия, из решения которых определить искомые величины.

5 Проверочные расчеты.

В задачах о равновесии проверочные расчеты связаны с составлением лишнего (в смысле определения искомых величин) уравнения равновесия. Если задача решена верно, то это уравнение выполняется со знаком тождества. Поскольку расчеты приближенные и тождество должно выполняться в пределах принятой точности.

 

 

2.10 Контрольные задания

Порядок выполнения работ

Количество и номера задач в контрольной работе определяются преподавателем.

К каждой задаче дается 10 рисунков и таблица (с тем же номером, что и задача), содержащая дополнительные к тексту задачи условия. Нумерация рисунков двойная, при этом номером рисунка является цифра, стоящая после точки. Например, рис. С1.4 – это рис. 4 к задаче С1 и т.д. (в тексте задачи при повторных ссылках на рисунок пишется просто рис. 4 и т.д.). Номера условий от 0 до 9 проставлены в1-м столбце (или в 1-й строке) таблицы.

Во всех задачах номер рисунка выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер условия в таблице – по последней; например, если цифр оканчивается числом 35, то берет рис. 3 и условия №5 из таблицы.

Каждое задание выполняется в отдельной тетради (ученической), страницы которой нумеруются. На обложке указываются: название дис­циплины, номер работы, фамилия и инициалы студента, учебный шифр, специальность. На первой странице тетради записы­ваются: номер работы, номера решаемых задач.

Решение каждой задачи обязательно начинать на развороте тетради (на четной странице, начиная со второй, иначе работу трудно проверять). Сверху указывается номер задачи, далее делается чертеж (можно каран­дашом) и записывается, что в задаче дано и что требуется определить (текст задачи не переписывать). Чертеж выполняется с учетом условий решаемого варианта задачи; на нем все углы, действующие силы, число тел и их расположение на чертеже должны соответствовать этим усло­виям. В результате в целом ряде задач чертеж получится более простой, чем общий.

Чертеж должен быть аккуратным и наглядным, а его размеры долж­ны позволять ясно показать все силы или векторы скорости и ускорения и др.; показывать все эти векторы и координатные оси на чертеже, а так­же указывать единицы получаемых величин нужно обязательно. Решение задач необходимо сопровождать краткими пояснениями (какие фор­мулы или теоремы применяются, откуда получаются те или иные резуль­таты и т.п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля для замечаний рецензента.

Работы, не отвечающие всем перечисленным требованиям, проверять­ся не будут и будут возвращаться для переделки.

При чтении текста каждой задачи учесть следующее. Большинство рисунков дано без соблюдения масштаба. На рисунках к задачам С1 – С3 и Д1 – Д6 все линии, параллельные строкам, считаются горизонтальными, а перпендикулярные строкам – вертикальными и это в тексте задач спе­циально не оговаривается. Также без оговорок считается, что всенити (веревки, тросы) являются нерастяжимыми и невесомыми, нити, пере­кинутые через блок, по блоку не скользят, катки и колеса (в кинемати­ке и динамике) катятся по плоскостям без скольжения. Все связи, если не сделано других оговорок, считаются идеальными.

Когда тела на рисунке пронумерованы, то в тексте задачи и в таб­лице P₁, l₁, r₁ и т.п. означают вес или размеры тела 1; P₂, l₂, r₂ — тела 2 и т.д. Аналогично в кинематике и динамике v_B, a_B обозначают скорость и ускорение точки В; V _C, a_C - точки С; w₁, e₁ – угловую скорость и уг­ловое ускорение тела 1; w₂, e₂ - тела 2 и т.д. В каждой задаче подобные обозначения могут тоже специально не оговариваться.

Следует также иметь в виду, что некоторые из заданных в усло­виях задачи величин (размеров) при решении каких-нибудь вариантов могут не понадобиться, они нужны для решения других вариантов задачи. Из всех пояснений в тексте задачи обращайте внимание только на отно­сящиеся к вашему варианту, т.е. к номеру вашего рисунка или вашего условия в таблице.

Методические указания по решению задач, входящих в контроль­ные задания, даются для каждой задачи после изложения ее текста под рубрикой "Указания"; затем дается пример решения аналогичной задачи. Цель примера - разъяснить ход решения, но не воспроизвести его пол­ностью. Поэтому в ряде случаев промежуточные расчеты опускаются. Но при выполнении задания все преобразования и числовые расчеты долж­ны быть обязательно последовательно проделаны с необходимыми пояс­нениями; в конце должны быть даны ответы.

 

 

Задача С1

 

В этой задаче исследуется равновесие плоской системы сил.

Жесткая рама (рис. С1.0 - С1.9, табл. С1) закреплена в точке А шар­нирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню BB₁, или к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвиж­ной опоре шарнирами.

Рис. С1.0

 

		Рис. С1.1
	Рис. С1.0

 

 

 

 

	Рис. С1.3

 

 

	Рис. С1.4.		Рис. С1.5

 

 

 

 

	Рис. С1.7

 

 

 

	Рис. С1.8

 

		Таблица С1
	Рис. С1.8

 

 

На раму действует пара сил с моментом M = 100 Нм, распределенная нагрузка с интенсивностью q = 20 Н/м и две сосредоточенные силы, значения которых, направления, и точки приложения указаны в таблице. Параметр l = 0,5 м.

Определить реакции связей в точках A и B, которые вызваны заданными нагрузками.

Указания: В задаче С1 рассматривается равновесие тела под действием плоской системы сил. Необходимо учесть, что уравнения моментов будут простыми (содержать меньше неизвестных), если в качестве полюсов принять точки, где пересекаются линии действия двух или более искомых реакций. При вычислении моментов сил там, где затруднено непосредственное определение плеч, необходимо использовать теорему Вариньона, т.е. разложить, например силу на её составляющие и , для которых плечи легче вычисляются, для которых справедливо соотношение .

 

Пример С1. Жесткая рама (рис.С1) закреплена в точке A шарнирно, а в точке B прикреплена к подвижной шарнирной опоре. Действующие нагрузки и размеры указаны на рисунке.

Дано: F₁ = 20 кН, a₁ = 60°, F₂ = 40 кН, a₂ = 30°, M = 80 Кнм, q = 10 кН/м, l = 0,5 м, p = 45°

Определить: реакции в точках A и B.

Решение

1 Рассмотрим равновесие рамы. Выберем систему координат Axy и изобразим действующие на раму силы: силы , пару сил с моментом M и реакции связей (реакция шарнирной опоры представлена двумя ее

Рис. С1

составляющими). Распределенная нагрузка эквивалентно заменена сосредоточенной силой Q, которая равна площади треугольника и проходит через его центр тяжести (точку пересечения медиан) на расстоянии 2/3 длины основания от вершины B:

2 Для таким образом полученной системы сил запишем три уравнения равновесия. При вычислении моментов сил в качестве полюса выгодно выбрать точку A, так как через эту точку проходят линии действия двух искомых неизвестных сил. Плечо силы определяется из прямоугольного треугольника h₂ = 2 l ×sin a₂. При определении моментов сил и целесообразно воспользоваться теоремой Вариньона

, ,

причем .

Уравнения равновесия имеют вид:

Решив эти уравнения с учетом числовых данных определим искомые реакции.

Ответ: X_A = 1,35 Кн, Y_A = –18,67 Кн, R_B = 36,76 Кн

Проверочные расчеты. Для оценки правильности результатов составим еще одно ("лишнее") уравнение равновесия. В качестве полюса выгодно (уравнение получится проще) принять точку H.

18,67×2×0,5 – 80 + 20×0,5×4×0,5 – 20×0,866×2×0,5 + 36,76×0,707×4×0,5 + 6,67 = 0,01» 0

Таким образом, задача решена верно. Знак (-) при Y_A указывает, что эта реакция направлена противоположно показанной на рис. С1.

 

Задача С2

В задаче рассматривается равновесие системы тел (системы сочлененных объектов).

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 – С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6 – С2.9). Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке В или гладкая плоскость (рис. 0 и 1), или невесомый стержень ВВ¢ (рис. 2 и 3), или шарнир (рис. 4 – 9); в точке D или невесомый стержень DD¢ (рис. 0, 3, 8), или шарнирная опора на катках (рис. 7).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М = 60 кН×м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, их направления и точки при­ложения указаны в табл. С2; там же в столбце "Нагруженный участок" указано, на каком участке действует распределенная нагруз­ка (например, в условиях №1 на конструкцию действуют сила под углом 60° к горизонтальной оси, приложенная в точке L, сила под углом 30° к горизонтальной оси, приложенная в точке Е, и нагрузка, распределенная на участке СК).

 

 

 

 

	Рис. С2.0

 

 

	Рис. С2.2		Рис. С2.3

 

 

 

	Рис. С2.5

 

 

 

 

	Рис. С2.6

 

 

 

	Рис. С2.9

 

Определить реакции связей в точках А, В, С (для рис. 0, 3, 7, 8 еще и в точке D), вызванные заданными нагрузками. При окончатель­ных расчетах принять а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а.

Таблица С2

Указания. Задача С2 – на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При её решении можно или рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем равно­весие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел а отдель­ности, учтя при этом закон о равенстве действия и противодей­ствия. В задачах, где имеется жесткая заделка, учесть, что ее реакция представляется силой, модуль и направление которой неизвестны, и па­рой сил, момент которой тоже неизвестен.

 

 

 

	Таблица С2а

 

Пример С2. На угольник ABC (ÐABC = 90°), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. С2а). Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору и к нему приложена сила а к угольнику – равномерно распределенная на участке KB нагрузка интенсивности q и пара с моментом М.

Дано: F = 10 кН, M = 5 кН×м, q = 20 кН/м, a = 0,2 м.

Определить: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.

 

Рис. С2

Решение

1 Для определения реакций расчленим систему и рас­смотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С2б). Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию направленную перпендикулярно стержню, и составляющие и реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

 

å F_kx = 0, X_D + F – N×sin 60° = 0 (1)

å F_ky = 0, Y_D + N×cos 60° = 0 (2)

. (3)

2 Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2в). На него действуют сила давления стержня направленная противоположно реакции равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой приложенной в середине участка KB (численно Q = q×4 a = 16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагаю­щаяся из силы, которую представим составляющими и пары с моментом M_A. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

å F_kx = 0, X_A + Q×cos 60° + N¢×sin 60° = 0 (4)

å F_ky = 0, Y_A + Q×sin 60° + N¢×cos 60° = 0 (5)

M_A + M + Q×2 a + N¢×cos 60°×4 a + N¢×sin 60°×6 a = 0. (6)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (1) – (6), найдем искомые реакции. При решении учитываем, что численно N¢ = N в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: N = 21,7 кН, Y_D = -10,8 кН; X_D = 8,8 кН, X_D = -26,8 кН, Y_A = 24,7 кН,
M_A = -42,6 кН×м.

Знаки указывают, что силы и момент M_A направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача С3

В этой задаче исследуется равновесие пространственной системы сил.

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3 l,
ВС = 2 l закреплена в точке А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равнове­сии невесомым стержнем СС¢
(рис. С3.0 – С3.9).

На плиту действуют пара сил с моментом M = 6 кН×м, лежащая в плоскости плиты, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С3; при этом силы и , лежат в плоскос­тях, параллельных плоскости ху,сила – в плоскости, параллельной xz, сила - в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H) находятся в серединах сторон плиты.

Определить реакции связей в точках А, В и С. При подсчетах принять l = 0,8

 

	Рис. С3.0		Рис. С3.1

 

	Рис. С3.2		Рис. С3.3

 

 

 

	Рис. С3.4		Рис. С3.5

 

 

 

 

Рис. С3.6

Рис. С3.7

 

 

 

		Рис. С3.9
	Рис. С3.8

Указания. Задача C3 – на равновесие тела под действием простран­ственной системы сил. При её решении учесть, что реакция сферического шарнира (или подпятника) имеет три составляющие, а реакция цилиндри­ческого шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикуляр­ной оси шарнира. При вычислении моментов силы тоже часто удобно разложить ее на сос­тавляющие и , параллельные координат­ным осям; тогда по теореме Вариньона и т.д.

Таблица С3

 

Пример С3. Вертикальная прямоугольная плита весом Р (рис. С3) закреплена сферичес­ким шарниром в точке A, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стерж­нем DD¢, лежащим в плоскости, параллельной плоскости yz. На плиту действуют сила (в плоскости xz), сила (параллельная оси y) и пара сил с моментом M (в плоскости пли­ты).

Дано: Р = 5кН, М =3 кН×м, F₁ = 6 кН, F₂ = 7,5 кН, a = 30°, АВ = 1 м, ВС = 2 м, CE = 0,5АВ, ВК = 0,5ВС.

Определить: реакции опор А, В и стержня DD¢.

Решение

Рис. С3

1 Рассмотрим равновесие плиты. На нее действуют задан­ные силы и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие цилиндрического (подшипника) – на две составляющие (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника), реакцию стержня на­правим вдоль стержня, предполагая, что он растянут.

2 Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

å F_kx = 0, X_A + F₁×cosa = 0, (1)

å F_ky = 0, Y_A + Y_B + F₂ - N×cos75° = 0, (2)

å F_kz = 0, Z_A + Z_B - P - N×sin75° + F₁×sina = 0, (3)

-F₂×BK + N×cos75°×BC = 0, (4)

(5)

Y_A×AB - N×cos75°×AB = 0. (6)

Для определения момента силы относительно оси y разлагаем на составляющие и параллельные осям x и z , и применяем теорему Вариньона (см. указания). Анало­гично можно поступить при определении моментов реакции .

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех задан­ных величин и решив затем эти уравнения, найдем, чему равны искомые реакции.

Ответ: X_A = -5,2 кН, Y_A = 3,8 кН, Z_A = 28,4 кН, Y_B = -7,5 кН, Z_B = -12,4кН,
N = 14,5 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. C3.

 

 

КИНЕМАТИКА

Кинематика – раздел теоретической механики, в которой движение точек или тел изучается с чисто геометрической стороны, без учета их масс и вне зависимости от действующих на них сил. Движение изучается в пространстве и во времени, причем время считается абсолютным (одинаковым во всех системах отсчета).

 

Кинематика точки

Задачей кинематики точки является определение траектории, скорости и ускорения точки. Траекторией точки называется геометрическое место её последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы координат. По виду траектории движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные.

 

3.1.1 Способы задания движения

Задать движение точки – это значит указать способ, позволяющий в любой момент времени определить её положение по отношению к выбранной системе отчета.

1 Векторный способ задания движения. Положение точки по отношению к выбранному центру отсчета будет определено, если для любого момента времени известен её радиус-вектор (рис. 3.1), т.е.

(3.1)

Рис. 3.1

Вектор-функция (3.1) называется уравнением движения точки в векторной форме. Выражение (3.1) является также векторным уравнением траектории толчки.

2 Координатный способ задания движения. Способ задания движения, заключающийся в задании координат точки как известных функций времени, называется координатным. При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе координат задаются координаты точки как функции времени (рис. 3.2).

x = f₁(t)

y = f₂(t) (3.2)

z = f(t)

Рис. 3.2

Уравнения (3.2) называются законом движения или уравнениями движения точки в координатной форме. Выражения (3.2) можно рассмотреть также как параметрические (параметр – t) уравнения траектории точки. В общем случае, исключив параметр t из выражений (3.2), можно получить уравнения траектории.

 

Ф₁(x,y,z)=0, Ф₂(x,y,z) = 0 (3.3)

Таким образом, траекторией точки в пространстве является линия пересечения поверхностей, описываемых уравнениями (3.3).

В случае двумерного (плоского) движения точки уравнения движения и уравнения траектории соответственно имеет вид

x = f₁(t), y = f₂(t); (3.2¢)

y = f(x) (3.3¢)

Связь между координатным и векторным способами задания движения. Из рис. 3.3 очевидно, что

, и r_x = x, r_y = y, r_z = z (3.4)

Таким образом, если движение задано координатным способом, то вектор-функцию можно определить и наоборот – однозначно определяет функции x(t), y(t), z(t).

Рис. 3.3

3 Естественный способ задания движения. При этом способе задания движения указывается траектория точки, начало и направление отсчета на траектории и закон движения точки по этой траектории (рис. 3.4). Уравнение движения точки по траектории имеет вид

S = S(t) (3.5),

где S – дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала отсчета на траектории. Знак определяется в соответствии с выбранным направлением отсчета.

Связь между координатным и естественным способами задания движения.

Рис. 3.4

(3.6)

где – произвольные по времени от координат точки

x, y, z. Знак (+) или (–) перед интегралом ставится в соответствии с выбранным направлением отсчета.

 

Скорость и ускорение точки

1 При векторном способе задания движения скорость – вектор, направленный по касательной к траектории в сторону движения точки и приложенный в этой точке, который равен первой производной радиус-вектора по времени:

(3.7)

Ускорение – вектор, направленный в вогнутую сторону траектории, равный первой производной по времени от вектора скорости или второй производной по времени от радиус-вектора точки:

(3.8)

2 При координатном способе задания движения, когда, в частности, декартовые координаты x, y, z – известные функции времени, сначала определяются проекции скорости на соответствующие декартовые оси

(3.9)

 

затем – модуль и направляющие косинусы вектора скорости

(3.10)

Декартовые проекции, модуль и направляющие конусы вектора ускорения определяются по формулам:

(3.11)

(3.12)

3 При естественном способе задания движения скорость и ускорение определяются по их проекциям на естественные оси, начало которых находится в движущейся точке, а – направляющие орты (рис. 3.5). При этом скорость точки определяется как алгебраическая величина

(3.13)

Скорость точки как векторную величину можно представить в виде

(3.14)

Ускорение определяется про формулам:

(3.15)

Рис. 3.5

Здесь – единичный вектор касательной, – единичный вектор главной нормали, – единичный вектор бинормали, – соответственно касательное и нормальное составляющие полного ускорения, причем , r – радиус кривизны траектории для т. M, a – направляющий угол полного ускорения. Таким образом, движение точки исследуется в подвижной ортогональной системе координат, начало которых находится в самой движущейся т. M, а их направления определяются ортами В силу такого выбора системы координат третьей составляющей ускорения не будет, т.е. [*]. В этом заключается существенное отличие естественного способа задания движения точки от задания её движения в декартовой системе координат. Естественный способ задания движения часто используется при исследовании криволинейного движения точки и особенно – движений точек вращающихся тел.