Равновесие и малые колебания нити в однородном поле силы тяжести

 

Пусть концы нити с постоянной линейной плотностью закреплены, и . Конфигурация нити рассматривается относительно инерциальной системы координат , - орты ее осей, и по оси действует поле силы тяжести . Будем считать, что длина нити превосходит расстояние между ее закрепленными концами. В случае равновесия система уравнений (6) и граничные условия представляются в виде

(14)

Из второго и третьего уравнений системы (14) найдем

(15)

Учитывая граничные условия в соотношениях (14), найдем постоянные . Последнее означает, что нить будет находиться в плоскости . Представим первые уравнения систем (14) и (15) в дифференциальной форме, учитывая условие нерастяжимости нити

(16) Согласно первому уравнению (15) производная не меняет знак на всем интервале изменения параметра , так как натяжение нити положительно. Если принять в соответствующем граничном условии (14) координату конца нити , то константа и производная будут положительными. Это означает, что функция монотонно возрастает, и координату можно принять в качестве параметра при определении формы нити. В этом случае последнее соотношение в (16) примет вид

Интегрируя последнее равенство, найдем форму нити в положении равновесия

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий

и условия равенства длины нити

Таким образом, нить, закрепленная в двух концах, имеет форму, описываемую гиперболическим косинусом, и называется цепной линией.

Рассмотрим теперь задачу о равновесии тяжелой нити и ее малых колебаниях, в случае, когда один ее конец закреплен в начале координат, а второй конец свободен. Используем независимые координаты Лагранжа . В случае равновесия нити в уравнениях (13) следует положить силовое поле внешних сил равным и поле ускорений равным нулю. В результате уравнения (13) примут вид

(17)

Поскольку согласно (9) , то из уравнений (17) получим систему

Отсюда следует, что . Поскольку угол в сферической системе координат изменяется от нуля до , то целое число и . В результате найдем функции, определяющие форму нити в положениях равновесия

Здесь - борелевское множество, получаемое путем конечного или счетного разбиения интервала на интервалы, и дальнейшего выбрасывания произвольной конечного или счетного множества в полученной системе интервалов. Подобная структура функции связана с тем, что она задается по модулю и может принимать два различных значения 0 или , функция принимает только одно значение. Все возможные положения равновесия нить представляются нитью сложенной конечное или счетное число раз вдоль оси , что связано с двусторонним характером наложенной на перемещения точек нити связи (условие нерастяжимости).

Среди положений равновесия существует одно, когда натяжение нити положительно. Это происходит при , когда нить висит вдоль вертикальной оси. Исследуем устойчивость этого положения равновесия. Потенциальная энергия нити и ее вариации равны

В положении равновесия вариации принимают вид

Согласно теореме Лагранжа об устойчивости положения равновесия положение равновесия нити, весящей по вертикали, устойчиво, так как вторая вариация функционала потенциальной энергии положительна, и потенциальная энергия имеет изолированный минимум в этом положении равновесия.

Рассмотрим малые колебания нити около этого положения равновесия, используя уравнения движения в декартовых координатах (6). Имеем

(18)

Сделаем замену переменных . Значения соответствуют положению равновесия вертикально висящей нити. Считая возмущения и их производные малыми величинами и сохраняя только члены первого порядка малости, представим уравнения системы (18) и условие нерастяжимости нити в виде

(19)

Из третьего уравнения следует, что , а из второго - . Первое уравнение после замены переменной на представляется в форме

(20)

Уравнение (20) было получено Д.Бернулли при описании малых колебаний подвешенной цепи и им же было получено решения в виде рядов. В дальнейшем это уравнение изучал Л.Эйлер и Ф.Бессель. Решение уравнения (20) будем искать в виде . Далее получим

(21)

Первое уравнение системы (21) имеет решение и определяет гармонический характер колебаний собственных форм нити, которые являются решениями второго уравнения

Функция Бесселя нулевого порядка описывает нормальную форму нити. Ее вид подобен графику косинусойды, амплитуда колебаний которой стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Отметим ряд свойств функции Бесселя. Во-первых, , во-вторых, ряд, определяющий функцию Бесселя, сходится равномерно при любом и, следовательно, сходится к непрерывной функции. В-третьих, этими же свойствами обладают ряды, полученные путем дифференцирования всех членов исходного ряда. Следовательно, функция Бесселя является аналитической и непосредственной проверкой путем вычисления производных от членов ряда проверяется, что она является решением последнего уравнения в (21). Наконец, уравнение

имеет счетное число действительных корней , образующих последовательность, стремящуюся к бесконечности. Учитывая граничное условие в (21), получим спектр собственных частот . При этом соответствующая нормальная собственная форма малых колебаний нити представится функцией Бесселя, заданной на интервале изменения от нуля до

Решение задачи о малых колебаниях нити около положения равновесия записывается в форме

где постоянные определяются из начальных условий .