Уравнения движения гибкой нерастяжимой нити в декартовых координатах, в проекциях на оси естественного трехгранника и в независимых координатах

О. Механическая система называется гибкой нерастяжимой нитью, если в процессе движения остается неизменной длина ее любой части.

Мера, определяющая распределение массы вдоль длины нити, задается соотношением , где - натуральный параметр кривой, определяющей конфигурацию нити, а - ее линейная плотность. Движение нити относительно инерциальной системы координат представим в виде

Условие нерастяжимости нити записывается в форме

(1)

Дифференцируя правую и левую части соотношения (1) частным образом по , получим условие нерастяжимости нити

(2)

Условие (2) является двусторонней голономной связью, наложенной на перемещения точек нити, а их возможные перемещения принадлежат функциональному пространству и удовлетворяют условию

(3)

Голономная связь (2) порождает поле реакций связи, которое будем считать идеальным (аксиома идеальных связей). Условие идеальности связей представляется в форме

Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа и получим соотношение

Здесь вариации произвольны. Интегрируя второе слагаемое подынтегрального выражения по частям, найдем

Полагая , получим согласно основной лемме вариационного исчисления равенство

(4)

Произвольная функция в соотношениях (4) имеет смысл натяжения нити в точке с координатой направленной по касательной к нити.

Принцип Д`Аламбера-Лагранжа после освобождения от всех связей представится в форме

(5)

Здесь - поле внешних массовых сил и две внешние силы, приложенные к концам нити. Эти силы могут быть внешними, если соответствующий конец нити свободен, или реакциями связей, если один или оба конца нити закреплены. В любом случае векторное поле возможных перемещений точек нити в соотношении (5) произвольно. Если один или оба конца нити закреплены, то соответствующие возможные перемещения в этих точках полагаются равными нулю (дополнительные голономные связи). Интегрируя по частям выражение, содержащее частную производную от вектора возможных перемещений, под знаком интеграла в равенстве (5) и учитывая произвольность поля возможных перемещений, получим уравнения движения нити и граничные условия

 

(6)

 

Система уравнений (6) в частных производных совместно с условием нерастяжимости нити (2) образуют полную систему уравнений, описывающих движение нити. Эта система аналогична уравнениям Лагранжа первого рода с неопределенными множителями. В данном случае роль неопределенного множителя играет функция , имеющая смысл натяжения нити и подлежащая определению в процессе решения задачи о движении нити. Уравнения (6) содержат граничные условия, соответствующие нити со свободными концами. Если один из концов нити закреплен или задано его движение (голономная связь), то соответствующее граничное условие следует заменить голономной связью, например, .

В ряде случаев ставится задача статики - задача определения формы нити в положении равновесия, когда силовое поле внешних сил стационарно и стационарны граничные условия. Уравнение (6), представляется в виде системы дифференциальных уравнений с обыкновенными производными по натуральному параметру

(7)

Спроектируем его на оси естественного трехгранника, связанного с кривой, определяющей форму нити. Орты естественного трехгранника Френе задаются соотношениями

где - кривизна нити. Уравнение (7) перепишем в виде

(8)

Уравнения (8) представляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений в проекциях на оси естественного трехгранника, связанного с кривой, описывающей равновесие нити. При решении этих уравнений следует учитывать уравнение нерастяжимости нити (2) и граничные условия.

Движение нерастяжимой нити можно описать с использованием независимых координат Лагранжа, определив конфигурацию нити соотношением

(9)

где - радиус-вектор одного конца нити, - единичный вектор касательной к кривой, описывающей форму нити и углы сферической системы координат, определяющие проекции вектора на оси неподвижной системы координат. Независимыми координатами Лагранжа являются вектор и две функции , первая из которых принимает значения от нуля до , а вторая задана по модулю . Для определения непрерывной линии, задающей конфигурацию нити, достаточно, чтобы эти функции были суммируемыми по на интервале . В частности, эти функции могут иметь счетное число разрывов, которым будут соответствовать угловые точки перегиба нити.

Заметим, что гибкая нерастяжимая нить может быть получена как предельное состояние механической системы, состоящей из однородных стержней одинаковой длины соединенных сферическим шарнирами, при условии, что количество стержней стремится к бесконечности, суммарная длина всех стержней остается постоянной, а максимум длинны всех стержней стремится к нулю. Эта процедура может быть реализована путем деления пополам на каждом шаге всех стержней с добавлением в точках раздела сферических шарниров. Ясно, что в такой модели и ее предельном варианте реакции в стержнях и натяжение нити могут быть и отрицательными.

Процедуру составления уравнений Лагранжа второго рода рассмотрим для однородной нити постоянной плотности с одним закрепленным концом, полагая . Скорости и возможные перемещения точек нити определяются по правилу

(10)

Вариационный принцип Д`Аламбера-Лагранжа запишем в виде

(11)

где поле ускорений точек нити определяется равенством

Преобразуем подынтегральное выражение в (11), используя процедуру интегрирования по частям и полагая

В результате получим

(12)

Поскольку в интеграле (12) вариации произвольны, то коэффициенты при них согласно основной лемме вариационного исчисления должны быть равны нулю. В результате получим два интегро-дифференциальных уравнения Лагранжа второго рода

(13)