Вращение вокруг неподвижной точки и оси.

 

О. Твердым телом переменного состава называется множество точек переменного состава, расстояния между которыми не изменяются в процессе движения.

Это означает, что система материальных точек определена на фиксированном множестве , а ее мера зависит от времени, т.е. и . Изменение меры, определяющей массу соответствующего множества, происходит за счет присоединения и отделения материальных частиц.

Система координат неподвижна, а система координат связана с твердым телом. Точка , вообще говоря, не является центром масс тела, так как в процессе изменения масс точек тела центр масс перемещается внутри тела. Зададим дифференциал меры в виде , где - радиус вектор точки твердого тела относительно системы координат . Функция определяет увеличение плотности за счет присоединения материальных частиц к точкам твердого тела, а – уменьшение плотности за счет отделения материальных частиц.

В каждой точке твердого тела определено поле активных сил и поле реакций связей , обеспечивающее постоянство расстояний между точками твердого тела переменного состава. Эти поля считаются заданными в неподвижной системе координат . Связи, наложенные на перемещения точек твердого тела, идеальны, и, как следствие этого, поле реакций связей эквивалентно нулю

(17)

Теорема об изменении количества движения системы с учетом соотношений (17) примет вид

 

(18)

Аналогичным образом получим теорему об изменении момента количеств движения относительно неподвижной точки

(19)

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной точки . Система координат неподвижна, а система координат связана с твердым телом. Уравнения движения тела получим на основе теоремы об изменении момента количеств движения тела относительно неподвижной точки

(20)

Здесь – ортогональный оператор перехода от подвижной системы координат к неподвижной и угловая скорость твердого тела, , – поле внешних массовых сил и поля абсолютных скоростей материальных частиц, присоединяющихся к твердому телу и покидающих его, заданные в системе координат . Учитывая определение тензора инерции твердого тела, представим соотношение (19) в проекциях на оси подвижной системы координат в виде

Объединяя подобные члены, получим векторное уравнение

(21)

где – относительные скорости частиц присоединяющихся к твердому телу и покидающих его.

Если тело переменного состава вращается относительно неподвижной оси , то уравнение его движения получается путем проектирования уравнения (20) на эту ось с учетом равенства , где – угол между осями и , а – орт оси . В результате получим

(22)

П. 7. Пусть тело переменного состава вращается вокруг неподвижной оси , присоединение части к телу отсутствует и , а отделение частиц твердого тела происходит в точке, характеризуемой вектором с постоянной относительной скоростью . Изменение плотности в точке, где происходит отделение частиц, задается в виде , где – пространственная функция Дирака, а – постоянный секундный расход массы. В этом случае имеем

Уравнение (21) принимает вид

Таким образом, определяется угловая скорость вращения тела переменного состава под действием постоянного момента реактивных сил . Практическая реализация этой задачи получается путем установки реактивного двигателя на твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси.

Заметим, что система, рассмотренная выше, отличается от системы переменного состава во втором примере, так как в нем взаимные расстояния между точками системы изменяются со временем.

 

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.

2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд–во МГУ, 2000.

3. Поляков Н.Н., Зегжда С.А., Юшков М.П. Теоретическая механика. М.:Высшая школа,

2000.

4. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч.2.М.: Наука, 1966.

5. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физматлит, 2001.

6. Лидов М.Л. Курс лекций по теоретической механике. М.: Физматлит, 2010.

7. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: Наука, 1975.

8. Пятниций Е.С., Трухан Н.М., Ханукаев Ю.И., Яковенко Г.Н. Сборник задач по

аналитической механике. М.: Наука, Физматлит, 1996.

9. Новоселов В.С. Аналитическая механика систем с переменными массами. Л. ЛГУ 1969.

238 с.

10. Новоселов В.С. Некоторые вопросы механики переменных масс с учетом внутреннего

движения частиц//Вестник ЛГУ. Серия математика, механика, астрономия. 1956. Вып.

19. С.100–113.

 

ДИНАМИКА НЕРАСТЯЖИМОЙ НИТИ