Динамика системы переменного состава

 

Модели механических систем переменного состава используются для описания движений летательных аппаратов, нитей переменной длины, твердых тел, взаимодействующих со сплошной средой. Изучению динамики систем переменного состава в курсе теоретической механики уделяется, по мнению автора, недостаточное внимание и носит фрагментарный характер, поскольку этот раздел механики может быть представлен как в курсе теоретической механики, так и в курсе механики сплошной среды. В учебниках по теоретической механике теория систем переменного состава либо отсутствует, либо ее изложение не достаточно конструктивно. Традиционно этот раздел механики излагается в курсе классической теоретической механики [1–6] и присутствует в задачниках [7, 8]. Наибольшее внимание динамике систем переменного состава уделено в учебниках [1-3]. Теории систем переменного состава посвящены работы [9,10].

В последние годы возрос интерес к методам механики систем переменного состава в связи с моделированием контактных взаимодействий тел с учетом их деформаций и наличием смазки в контактных зонах. Отметим, что силовое взаимодействие в системах переменного состава в ряде случаев сводится к ударным явлениям, характеризуемым скачками поля скоростей точек, составляющих механическую систему. Если масса точек, испытывающих удары в данный момент времени равна нулю, то такое взаимодействие можно назвать «мягкими» ударами при условии, что это взаимодействие происходит в каждый момент времени. «Мягкие» удары описываются реактивными силами. Если происходит изменение состава системы при скачкообразном изменении массы системы в какой-то момент времени, например, падение метеорита на Землю, то такого рода взаимодействие описывается «жестким» ударом, при котором скачком изменяются скорости материальных точек положительной массы.

Ниже представлено последовательное изложение динамики систем переменного состава и приведены примеры, поясняющие теоретические положения.

 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим механическую систему постоянного состава и однопараметрическое семейство замкнутых областей , . Пусть – масса материальных точек, образующих множество . Рассмотрим движение механической системы .

Пусть – поле скоростей точек границы множества , направленное по единичной внешней нормали к поверхности границы . Тогда

(1)

Здесь – поверхностная мера, индуцированная пространственной мерой . Например, в случае существования плотности справедливы равенства , где – элемент площади поверхности .

О. Механической системой переменного состава называется система , если

Уравнение движения системы свободных материальных точек представляются в виде

(2)

где – поле активных массовых сил. Уравнение (2) понимается в смысле равенства двух обобщенных функций, принадлежащих сопряженному пространству к пространству функций, непрерывных по времени и суммируемых по мере на множестве .

Определим количество движения системы переменного состава как вектор

(3)

Т.1. Производная по времени от количества движения системы переменного состава (3) равна сумме равнодействующей внешних сил , приложенных к точкам множества , и реактивной силы , порождаемой изменением множества

(4)

где – часть границы , в точках которой , а – часть границы , в точках которой , – объемная плотность и элемент площади границы , .

Рассмотрим моменты времени , и приращение количества движения системы переменного состава (3)

Рис.1

 

Функции как функции времени предполагаются гладкими на множестве за исключением множеств нулевой меры и , в которых функция может иметь разрыва первого рода. Далее с точностью до малых порядка представим полученное приращение в виде

 

(5)

Здесь – часть границы , в точках которой , а – часть границы , в точках которой (рис. 1). Заменим поле ускорений в соотношении (5) согласно (2) полем активных сил, разделим полученное соотношение на и перейдем к пределу при стремящимся к нулю. В результате получим равенство (4), если учесть, что интеграл от поля активных сил равен интегралу от внешних активных сил согласно третьему закону Ньютона.

Замечание 1. Реактивная сила представленная в соотношениях (4) обращается в нуль, если . В этом случае система превращается в систему постоянного состава.

Замечание 2. Скорости точек покидающих множество и присоединяющихся к нему могут иметь разрывы первого рода, т.е. изменять свои значения скачком. В системе имеют место ударные явления.

Замечание 3. Определим скорость центра масс системы переменного состава как вектор

Справедливы равенства

(6)

П.1. Рассмотрим прямолинейный полет реактивного самолета и пренебрежем изменением его массы за счет расхода топлива на достаточно малом интервале времени. Поскольку двигатели самолета засасывают воздух из атмосферы, а затем его выбрасывают со скоростью, большей скорости самолета, то возникает реактивная сила, разгоняющая самолет. Пусть самолет движется вдоль оси . Пусть – координата его центра масс. Масса самолета постоянна, а его количество движения равно . Здесь – массы воздуха, поступившего в двигатели из атмосферы, и масса воздуха, выброшенная из сопел двигателей. Уравнение (4) представляется в форме

(7)

Здесь – сила сопротивления воздуха, приложенная к корпусу самолета, – скорость струи воздуха, выбрасываемой двигателями, относительно корпуса самолета. Уравнение (7) перепишем в виде

 

Аналогичным образом доказывается теорема об изменении момента количеств движения системы переменного состава

(8)

Т.2. Производная от момента количеств движения системы переменного состава относительно неподвижной точки (начала координат) равна сумме моментов внешних активных сил и моменту реактивных сил, т.е.

(9)

 

Приращение момента количеств движения за время равно

Далее с точностью до малых первого порядка относительно получим

 

Заменим в первом интеграле поле ускорений на поле сил согласно (2), разделим правую и левую части предыдущего равенства на и перейдем к пределу при стремящимся к нулю. В результате получим соотношение (9), если поле активных сил заменить полем внешних активных сил, используя третий закон Ньютона.

П. 2. Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси . В теле имеется тонкий криволинейный канал , начало которого точка лежит на оси , а конец точка – на поверхности тела. В системе координат , связанной с телом, уравнение канала задается в параметрическом виде , где – натуральный параметр. Вектор – единичный вектор касательной к кривой в точке с координатой . Вдоль кривой перемещаются материальные частицы с относительной скоростью . Линейная плотность частиц равна . Система переменного состава состоит из твердого тела и множества частиц, находящихся в канале . Переменность состава обусловлена поступлением в канал в точке новых частиц и выбросом из канала в точке частиц системы. Скорости перемещений точек границы системы переменного состава отличны от нуля в концевых точках канала и соответственно равны и , поскольку внешние нормали в этих точках . Суммарная масса системы остается постоянной. Заметим, что постоянство модуля скорости частиц в канале обеспечивается за счет поля внутренних реакций связей. Запишем теорему об изменении момента количества движения системы относительно оси . Имеем

Здесь – момент инерции тела относительно оси . Далее согласно (9) получим

где – момент внешних сил относительно оси , действующих на точки системы. Второе слагаемое в предыдущем равенстве равно нулю, так как векторы и коллинеарные. В результате получим

 

Если момент внешних сил положить равным нулю, то угловая скорость тела определяется формулой

Все движения системы стремятся к стационарному вращению тела вокруг оси с угловой скоростью .

Рассмотрим случай физического маятника, когда момент внешних сил . Уравнение движения примет вид

Реактивный момент равен сумме постоянного момента и момента, линейных диссипативных сил.

Докажем теорему об изменении кинетической энергии системы переменного состава.

Т.3. Производная кинетической энергии системы переменного состава равна сумме мощностей активных и реактивных сил, т.е.

(10)

Согласно определению кинетическая энергия системы переменного состава и ее приращение равны

Представим приращение кинетической энергии в виде

 

Далее с точностью до малых первого порядка относительно получим

(11)

Заменим в соотношении (11) поле ускорений на поле активных сил согласно (2), разделим полученное равенство на и прейдем к пределу при стремящимся к нулю. В результате получим соотношение (10).

П. 3. На горизонтальной плоскости расположена бесконечная система цилиндрических катков с осями, параллельными оси . Масса каждого катка равна , – радиус цилиндра, – момент инерции относительно оси цилиндра. Расстояние между осями покоящихся цилиндров равно . По каткам движется доска вдоль оси . Длина доски . Относительные скорости точек контакта катков с доской и дорогой равны нулю. В качестве системы переменного состава рассматривается доска и набор катков, контактирующих с ней. Состав системы меняется в дискретные моменты времени, когда новый передний каток соприкасается с краем доски, а каток на заднем краю доски прекращает контактировать с доской. В промежутке между этими событиями система сохраняет состав, а доска движется с постоянной скоростью, поскольку имеет место закон сохранения энергии. Непосредственно перед контактом с передним катком доска двигалась по каткам, а кинетическая энергия системы равнялась

где – начальная скорость доски. Процесс взаимодействия доски с катком будем описывать абсолютно неупругим ударом, в результате которого поле скоростей катка становится отличным от нуля. После того, как передний каток вошел в контакт с передним краем доски, а задний каток покинул систему переменного состава, система сохранила свою массу, но потеряла часть кинетической энергии за счет выхода из состава системы заднего катка. В результате получим равенство

Здесь – скорость доски после контакта переднего катка с доской. Если произошло замен передних и задних катков, то скорость доски окажется равной

Время между двумя последовательными контактами переднего края доски с катком , а скорость при . Рассмотренный пример иллюстрирует ситуацию, когда в системе имеют место «жесткие» удары, а ее состав меняется в дискретные моменты времени.

П. 4. Обобщим пример, рассмотренный выше, на случай, когда катки заменяются слоем сплошной среды, например, слоем жидкости или достаточно мелкого песка толщиной . Систему переменного состава образует доска и часть слоя сплошной среды,

 

Рис. 2.

ограниченной концами доски и (рис. 2). Предположим, что поле скоростей точек в слое сплошной среды распределено по линейному закону

(12)

где – скорость доски вдоль оси . Скорости точек сплошной среды справа от переднего края доски примем равными нулю, а непосредственно левее заднего конца доски скорости точек среды предполагаются заданными представленным выше линейным законом (12). За интервал времени к системе присоединяются массы с нулевыми абсолютными скоростями в слое сплошной среды справа от вертикальной линии . За это же время через вертикальную границу систему покидают точки имеющие скорости, определяемые линейным законом (12). В результате мощность реактивных сил в теореме об изменении кинетической энергии (формулы (10)) оказывается равной

.

Здесь – плотность материала сплошной среды и ширина доски в направлении оси . Если доска движется с постоянной скоростью под действием постоянной силы , то кинетическая энергия системы переменного состава постоянна, а мощность внешней силы . Теорему об изменении кинетической энергии системы переменного состава запишем в форме

Если внешняя сила , то ускорение доски отрицательно. Кинетическая энергия системы и теорема об ее изменении примут вид

где – длина доски . Таким образом, из уравнения движение доски

получим скорость доски и закон ее движения

П. 5. Рассмотрим плоскую задачу о скольжении тела по «непрерывной» цепочке масс, связанных пружинками и демпферами с неподвижным основанием. Массы расположены вдоль оси . В стационарном поступательном движении тела со скоростью вдоль оси на тело действует сила , направленная по оси и ортогональная ей сила , обуславливающая перемещения масс вдоль оси в зоне контакта тела с цепочкой масс. На рис.3 пружинки обозначены пунктирными линиями. В качестве системы переменного состава рассмотрим тело и множество масс, соприкасающихся с поверхностью тела. Масса системы не меняется, но состав системы переменен. На переднем фронте зоны контакта к системе присоединяются массы с нулевой абсолютной скоростью, а на заднем фронте – отделяются массы, абсолютные скорости которых направлены по оси и согласно теореме сложения скоростей равны , если подвижная система координат связана с движущимся телом. Относительная скорость направлена по касательной к кривой образующей поверхность тела угол (рис.3). В результате получим .

Рис. 3.

 

Применим теорему об изменении кинетической энергии к описанной выше системе переменного состава в случае стационарного движения тела. Имеем

Здесь – линейная плотность цепочки масс распределенных непрерывным образом вдоль оси . В результате из соотношения (10) получим силу , т.е. сила сопротивления движения, обусловленная переменностью состава системы, пропорциональна квадрату скорости тела.