Эволюция вращения твердого тела в переменных андуайе

 

Пусть движение симметричного твердого тела подвержено возмущениям двух типов: либо в выражении функции Гамильтона появляются малые добавки

либо на тело действует момент сил сопротивления, элементарная работа которого на возможных перемещениях равна

Здесь – постоянные величины, – малый параметр, – орты соответствующих осей. Гамильтониан соответствует несимметричному твердому телу в случае Эйлера с малым различием между главными моментами инерции и . Гамильтониан определяет возмущения, соответствующие случаю Лагранжа при малой величине момента силы тяжести. Рассмотрим влияние каждого из этих возмущений на движение тела вокруг неподвижной точки. Напомним, что невозмущенное движение является регулярной прецессией.

Канонические уравнения в переменных Андуайе, соответствующие возмущению , имеют вид

(1)

Хотя в системе имеются две быстрые переменные и , правые части полученных уравнений зависят только от одной быстрой переменной . Из уравнений следует, что в возмущенном движении вектор момента количеств движения остается постоянным, так как переменные остаются постоянными. Переменная получает в первом приближении по малому параметру малую периодическую добавку, а в среднем не меняется. Усредняя правые части четвертого и пятого уравнений системы (1) по быстрой переменной , получим поправки в частоты .

Во втором случае выразим скалярное произведение через канонические переменные Андуайе. Имеем

Канонические уравнения в этом случае принимают вид

(2)

Из канонических уравнений (2) следует закон сохранения проекций вектора момента количеств движения на ось симметрии тела и на вертикальную ось – первые интегралы в случае Лагранжа. Правые части уравнений (2) зависят от одной быстрой переменной . В результате переменная получает малое периодическое возмущение и в среднем остается равной своему невозмущенному значению, быстрые угловые переменные получают поправки в частоты , а медленная угловая переменная в среднем изменяется с малой угловой скоростью . Полученное усредненное движение соответствует медленно эволюционирующей регулярной прецессии тела, когда ось симметрии тела описывает круговой конус с постоянной угловой скоростью, вращаясь вокруг вектора момента количеств движения в невозмущенном движении, а ось конуса в свою очередь описывает с малой угловой скоростью другой круговой конус с вертикальной осью.

В третьем случае, когда возмущения являются силами сопротивления, элементарная работа, определенная выше, представляется в виде

Далее найдем

Обобщенные силы равны коэффициентам при соответствующих вариациях

Правые части обобщенных сил зависят от одной быстрой переменной . Усредненные по этой переменной уравнения представляются в виде

(3)

Согласно уравнениям (3) скорости угловых переменных не претерпевают изменений. Переменная стремится к нулю по закону . Обозначая , представим второе и третье уравнения системы (3) в виде

решение которых запишем в виде

Вращение тела под действием диссипативных сил замедляется, и его угловая скорость стремиться к нулю. Углы не изменяются, и остается постоянным направление вектора момента количеств движения .

 

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ С НЕГОЛОНОМНОЙ СВЯЗЬЮ (ЗАДАЧА Г.К.СУСЛОВА)

 

Пусть система координат неподвижна, а система координат связана с твердым телом. На теле в точке на оси, лежащей в плоскости , закреплен конек, лезвие которого направлено вдоль оси и который скользит по неподвижной сфере с центром в точке (рис.1). Пусть вектор , где – орт оси . Скорость точки направлена вдоль оси , поскольку скольжение конька происходит вдоль его лезвия. В результате оказывается справедливым равенство

(1)

Здесь – угловая скорость твердого тела. Тело вращается вокруг неподвижной точки по инерции. На движение тела наложена неголономная связь (1). В точке контакта конька с неподвижной сферой на тело действует реакция неголономной связи – сила, направленная по оси с направляющим вектором . Момент этой силы относительно неподвижной точки равен .

Рис. 1

Динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с неподвижной точкой имеют вид

(2)

Здесь – тензор инерции тела относительно системы координат . Равенство нулю центробежного момента инерции достигается соответствующим выбором угла . Умножим уравнение (2) скалярно на вектор угловой скорости и получим первый интеграл – закон сохранения кинетической энергии

(3)

В явном виде соотношение (3) с учетом равенства нулю проекции угловой скорости тела примет вид

(4)

Уравнение (4) является уравнением эллипса на плоскости . Уравнения движения (2) в проекциях на оси и имеют вид

(5)

Стационарные решения уравнений (5), когда их правые части обращаются в нуль, соответствуют перманентным вращениям вокруг оси, лежащей в плоскости . Правые части уравнений (5) обращаются в нуль, когда в начальный момент времени выполняется равенство

(6)

В дальнейшем угловая скорость не меняется в силу уравнений (5). Существует вырожденный случай, когда центробежные моменты инерции . В этом случае любая ось, проходящая через начало координат и лежащая в плоскости , может служить осью перманентного вращения при надлежащем выборе начальных условий.

Исследуем устойчивость стационарных точек уравнений (5), используя уравнения в вариациях. Пусть . Уравнения в вариациях имеют вид

(7)

Характеристическое уравнение линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами представляется в форме

(8)

Характеристическое уравнение (8) имеет один нулевой корень, который возникает как следствие существования интеграла энергии. Второй действительный корень является линейной комбинацией начальных значений проекций угловых скоростей

(9)

Первому интегралу (4) удовлетворяют две пары начальных условий , которым соответствуют перманентные вращения вокруг одной и той же оси, но в разных направлениях. В зависимости от знака соответствующего корня (9) одно из этих вращений оказывается устойчивым, а второе – неустойчивым. Общая картина движения на плоскости переменных представлена на рисунке 2.

Рис. 2

– неустойчивое стационарное вращение, – устойчивое стационарное вращение.

Эллипс является множеством точек, на котором выполняется условие (4). Если начальные условия движения выбрать на эллипсе вблизи точки , то вращение тела происходит таким образом, что изображающая точка движется по эллипсу. Как видно из рисунка, возможны два сценария движения по эллипсу в зависимости от возмущений начальных условий: движение по стрелке часов или движение в противоположном направлении. Отметим, что в начале движения ось вращения тела достаточно долго остается в окрестности неустойчивого стационарного вращения, а затем быстро переходит в окрестность устойчивого стационарного вращения, и затем асимптотически стремиться к нему.

Найдем решение уравнений (5). Сделаем замену переменных

(10)

при которой интеграл энергии (4) превращается в тождество при любом . Первое уравнение системы (5) примет вид

(11)

Уравнение (11) с разделяющимися переменными представим в форме

 

и далее найдем

(12)

где – произвольная постоянная. Правая часть уравнения (12) стремится к бесконечности, когда стремится к бесконечности. Следовательно, или , когда время стремится к бесконечности. Знаки плюс или минус соответствуют двум возможным сценариям движения, отмеченным выше, когда движение тела стремится к стационарному вращению вокруг прямой . В стационарном движении конек описывает окружность на сфере радиуса . Центр окружности лежит на оси вращения твердого тела.

Отметим, что углы Эйлера, определяющие ориентацию твердого тела, удовлетворяют системе уравнений, полученной из кинематических уравнений Эйлера

в которой функции времени определяются из соотношений (10), (12).

Литература: Суслов Г.К. Теоретическая механика. ОГИЗ. М.-Л. 1946. 655 с.