Функция Ляпунова и теорема Ляпунова.

Пусть движение механической системы описывается уравнениями Лагранжа второго рода

(1)

Определитель матрицы положителен, поскольку он определяет положительно определенную квадратичную форму в выражении кинетической энергии системы.

Введем новые переменные , с помощью которых уравнения (1) представим в виде, разрешенном относительно производных первого порядка

(2)

Для выполнения этой процедуры необходимо использовать обратную матрицу , которая существует в силу отмеченного выше ее свойства. Предположим. Что система (2) имеет решения, определенные на интервале от нуля до бесконечности, и пусть - частное решение системы (2). Используя замену переменных , представим систему уравнений (2) в форме

(3)

Система (3) имеет нулевое решение и решения с начальными условиями из окрестности нуля.

О. Решение устойчиво по Ляпунову, если для любого , существует , такое, что для любого начального условия , где норма определяется, например, в виде , решение при всех значениях времени больше нуля.

Выбор нормы в определении устойчивости по Ляпунову не влияет на определяемое свойство движения, так как в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны.

Рассмотрим функцию в области со свойствами:

а) непрерывна и дифференцируема в по и ; ;

б) непрерывна и только при (свойство положительной определенности);

в) (свойство постоянства знака производной в силу уравнений движения).

О. Функция со свойствами (а), (б), (в) называется функцией Ляпунова.

Т. Ляпунова. Если существует функция Ляпунова, то нулевое решение системы (3) устойчиво по Ляпунову.

◄Сфера является компактом, на котором функция достигает своей нижней грани . Существует такая окрестность нуля , во всех точках которой непрерывная функция . Выберем начальное условие в области и рассмотрим решение с этим начальным условием.

Согласно определению функции Ляпунова (условие в) имеем неравенство

.

Допустим, что существует момент времени и . Тогда , что противоречит предыдущему неравенству. Противоречие доказывает теорему, поскольку траектория , начинающаяся в окрестности , никогда не попадает на сферу и, значит, остается в окрестности во все время движения.►

 

МЕТОД РАУСА ИГНОРИРОВАНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ КООРДИНАТ.

УРАВНЕНИЯ РАУСА.

 

Допустим, что обобщенные координаты разбиваются на две группы: циклические координаты , от которых не зависит функция Лагранжа, и позиционные координаты , входящие явно в функцию Лагранжа, которая в этом случае имеет вид

(1)

Уравнения Лагранжа второго рода

(2)

имеют циклические первые интегралы

(3)

Здесь - компоненты матрицы и вектора соответственно. Соотношения (3) представляют систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных , определитель которой является одним из диагональных миноров матрицы , порождающей положительно определенную квадратичную форму в выражении функции Лагранжа. Положительная определенность этой формы следует из определения кинетической энергии системы. Согласно критерию Сильвестра этот определитель положителен и рассматриваемая система уравнений имеет решение

(4)

где - компоненты обратной матрицы диагонального минора .

Следуя идее Рауса, получим систему дифференциальных уравнений порядка , описывающих изменение только позиционных координат. Определим функцию Рауса в виде

(5)

Полный дифференциал функции Рауса представим двумя выражениями

Приравнивая коэффициенты при одинаковых дифференциалах, получим равенства

(6)

Заменим в первых уравнениях системы (2) частные производные функции Лагранжа согласно равенствам (6) на частные производные функции Рауса и получим систему уравнений Рауса

(7)

Заметим, что значения циклических интегралов в функции Рауса определяются начальными условиями движения и в дальнейшем не меняются. После того как найдено решение уравнений Рауса, т.е. зависимости , циклические координаты находятся путем вычисления интегралов по времени

(8)

Как и в случае уравнений Лагранжа, из уравнений Рауса получается интеграл обобщенной энергии, если функции Лагранжа и Рауса не зависят явно от времени

Уравнения Рауса полностью аналогичны уравнениям Лагранжа и имеют те же свойства, только порядок этих уравнений на единиц меньше, чем у соответствующих уравнений Лагранжа, и имеет место зависимость функции Рауса от параметров – постоянных циклических интегралов.