Прекрасное равновесие: существует ли оно.

 

На концептуальном уровне у равновесия Нэша есть все основания быть решением игры, в которой каждый игрок имеет свободу выбора. Возможно, самый сильный аргумент в пользу этого утверждения выступает в качестве контраргумента против любого другого предложенного решения. Равновесие Нэша – такая конфигурация стратегий, в которой выбор каждого игрока – это оптимальный ответный ход на выбор другого игрока (или других игроков, если в игре больше двух участников). Если тот или иной исход игры не представляет собой равновесие Нэша, это означает, что минимум один игрок выбрал курс действий, который нельзя считать оптимальным ответным ходом. Очевидно, что у такого игрока есть мотив отклониться от выбранного курса, что сделает предложенное решение бесполезным.

При наличии нескольких равновесий Нэша нам действительно необходим еще какой-то метод для определения того из них, которое будет выбрано в качестве решения игры. Это означает, что нам нужно равновесие Нэша плюс еще кое-что, и вовсе не противоречит теории Нэша.

Итак, у нас есть красивая теория. Однако работает ли она на практике? Кто-то попытается ответить на этот вопрос, проанализировав ситуации, когда такие игры разыгрываются в реальном мире, или воссоздав их в лабораторных условиях и сопоставив фактические результаты с теоретическими прогнозами. Если совпадение достаточно велико, правильность теории подтверждается; если нет, от такой теории следует отказаться. Все просто, не так ли? На самом деле этот процесс оказывается гораздо более сложным как в плане его реализации, так и в плане интерпретации полученных результатов. Последние не дают однозначных ответов: с одной стороны, они подтверждают данную теорию, а с другой – показывают, почему эту теорию необходимо расширить или изменить.

Эти два метода (наблюдения и эксперименты) имеют свои достоинства и недостатки. Лабораторные эксперименты обеспечивают надлежащий научный контроль. Экспериментаторы в состоянии точно определить правила игры и цели участников. Например, в ценовых играх, участники которых играют роль менеджеров компаний, указать себестоимость продукции обеих компаний, а также формулу для расчета объема сбыта в каждой из них с учетом цен, установленных обеими компаниями. Кроме того, в таких играх можно создать для игроков подходящую мотивацию, выплачивая им деньги пропорционально той прибыли, которую они обеспечивают своим компаниям во время игры; изучить влияние того или иного фактора, оставляя все остальное неизменным. Напротив, игры, которые происходят в реальной жизни, включают много такого, что мы не в силах контролировать. Кроме того, мы многого не знаем об игроках: об их истинной мотивации, себестоимости продукции компании и так далее. В итоге нам трудно делать выводы об исходных условиях и причинах, анализируя следствия.

С другой стороны, наблюдения за играми, происходящими в реальном мире, имеют свои преимущества. Они лишены искусственности лабораторных экспериментов, послуживших причиной организации соответствующих игр. В большинстве этих экспериментов принимают участие студенты, не имеющие никакого опыта в бизнесе или в других областях. Многие студенты впервые сталкиваются даже с обстановкой в лаборатории, в которой проводится эксперимент. Они должны понять правила игры, а затем применить их – и все это за один-два часа. Вспомните, сколько времени вам понадобилось для того, чтобы научиться играть даже в самые простые настольные или компьютерные игры, и вы поймете, насколько примитивной может быть игра в таких условиях. Мы уже обсуждали это в главе 2. Вторая проблема касается стимулов. Экспериментатор может создать у студентов правильную мотивацию, разработав определенную схему денежных выплат в зависимости от результатов игры, однако размер таких выплат в большинстве случаев настолько мал, что даже студенты зачастую не воспринимают их достаточно серьезно. Напротив, в реальных играх в бизнесе и даже в профессиональном спорте принимают участие опытные игроки, которые ставят на карту многое.

Вот почему не следует ограничиваться каким-либо одним подходом независимо от того, подтверждает или опровергает он теорию; необходимо использовать все факты и сделать из них соответствующие выводы. Теперь посмотрим, что могут дать нам эти эмпирические подходы.

В такой области экономики, как организация производства, накоплен огромный объем эмпирических данных о конкуренции между компаниями с точки зрения теории игр. Такие отрасли, как автомобилестроение, изучаются особенно тщательно. Специалисты, которые проводят эти эмпирические исследования, с самого начала сталкиваются с опреденными трудностями. Они не могут получить данные об издержках производства или о спросе на продукцию компании из независимых источников и вынуждены оценивать эти показатели по тем же данным, которые используют для анализа ценового равновесия. Они не знают точно, как число проданных товаров в каждой компании зависит от цен, назначенных во всех остальных компаниях. В примерах, рассмотренных в этой главе, мы предположили наличие линейной связи, однако в реальном мире зависимость между различными сторонами этого процесса (если говорить в экономических терминах – факторами, определяющими функцию спроса) может быть нелинейной и весьма сложной. Исследователь должен исходить из предположения, что этому процессу свойственна определенная нелинейность. Реальная конкуренция между компаниями сосредоточена не на ценах; у такой конкуренции есть и много других аспектов, таких как реклама, инвестиции, исследования и разработки. У менеджеров реальных компаний могут быть далеко не столь отчетливые и простые цели, как максимизация прибыли (или акционерной стоимости), которые предлагает экономическая теория. Конкурентная борьба между компаниями в реальной жизни продолжается многие годы, поэтому необходимо найти правильное сочетание таких концепций, как метод обратных рассуждений и равновесие Нэша. Кроме того, каждый год меняются многие другие показатели, в частности доходы и затраты; в отрасли появляются новые компании, а старые выходят из бизнеса. Исследователь должен предусмотреть все возможные факторы и учесть их влияние на число проданных товаров и цены. Исход игры в реальном мире зависит также от множества случайных факторов, а значит, необходимо учесть еще и элемент неопределенности.

Исследователь должен принять решения по всем вопросам такого рода, после чего составить уравнения, которые описывают влияние всех этих факторов и представляют его в количественной форме. Затем в эти уравнения подставляются конкретные данные и проводятся статистические тесты, позволяющие определить их эффективность. На следующем этапе необходимо решить не менее сложную проблему: какие именно выводы вытекают из полученных результатов? Предположим, данные не согласуются с вашими уравнениями. Это означает, что какие-то параметры этих уравнений были не совсем верными, но какие именно? Возможно, вы выбрали не совсем подходящее нелинейное уравнение; вы могли исключить из уравнения какую-то важную переменную (например, доход) или важный аспект конкуренции (такой как реклама); может быть, вы допустили ошибку при поиске равновесия Нэша. Не исключено сочетание всех этих причин. Следовательно, нельзя делать вывод о некорректности самой концепции равновесия Нэша, если ошибка возможна в чем-то другом. (С другой стороны, у вас есть основания для того, чтобы поставить концепцию равновесия под сомнение.)

Различные исследователи сделали свой выбор во всех этих случаях и, как и следовало ожидать, получили разные результаты. Питер Рейсс и Фрэнк Волак из Стэнфордского университета тщательно проанализировали результаты и вынесли смешанный вердикт: «Плохая новость состоит в том, что базовые экономические закономерности могут сделать эмпирические модели чрезвычайно сложными. Хорошая новость – в том, что предпринятые попытки уже обнаружили проблемы, решением которых необходимо заняться»[132]. Иными словами, подобные исследования необходимо продолжить.

Перспективное направление для проведения эмпирических исследований касается аукционов, в ходе которых небольшое число стратегически подготовленных компаний ведут борьбу за такие позиции, как частоты мобильной связи. Во время таких аукционов асимметричность информации – самая серьезная проблема как для участников аукциона, так и для его организатора. Мы обсудим аукционы в главе 10, после того как рассмотрим тему информации в играх в главе 8. Здесь же только хотим отметить, что в области эмпирического анализа игр с аукционами уже достигнуты значительные успехи[133].

Что говорят лабораторные эксперименты о прогнозирующей способности теории игр? Здесь тоже выводы неоднозначны. К числу первых опытов такого рода принадлежат рыночные эксперименты Вернона Смита, который получил поразительно перспективные результаты как для теории игр, так и для экономической теории. В ходе исследований небольшое число торговцев, не имеющих достоверных сведений о затратах или о цене продукции друг друга, смогли быстро добиться равновесного обмена.

В ходе экспериментов с играми других типов были получены результаты, которые противоречили теоретическим прогнозам. Например, в игре, в которой один участник делает другому ультимативное предложение о разделе определенной суммы денег между ними двумя, предложения были на удивление щедрыми. А в играх с дилеммой заключенных игроки вели себя достойно гораздо чаще, чем можно было предположить согласно теории. Мы говорили об этом в главах 2 и 3 и пришли к выводу, что предпочтения или оценки участников этих игр отличаются от сугубо эгоистичных предпочтений, на которых раньше опиралась экономическая теория. Этот вывод сам по себе очень интересен и важен; с другой стороны, если учитывать социальные предпочтения игроков и их заботу о других людях, такие теоретические концепции, как метод обратных рассуждений в играх с последовательными ходами и равновесие Нэша в играх с параллельными ходами, вполне могут объяснить полученные результаты.

Если в игре присутствует не одно равновесие Нэша, перед игроками возникает еще одна задача: найти фокальную точку или любым другим способом выбрать одно из возможных равновесий. Насколько успешно они справятся с этой задачей, зависит от конкретных условий. Если игроки в равной степени осознают необходимость того, чтобы их ожидания сошлись в одной точке, они смогут добиться благоприятного исхода игры; в противном случае равновесия в игре может вообще не быть.

В ходе большинства экспериментов испытуемые не имеют опыта участия в соответствующей игре. Поначалу поведение новичков не согласуется с теорией равновесия, но по мере накопления опыта оно приближается к предпосылкам этой теории. Впрочем, некоторая определенность в отношении действий другого игрока все же сохраняется; при этом эффективная концепция равновесия должна помочь игрокам распознать эту неопределенность и отреагировать на нее. Одна из таких расширенных версий равновесия Нэша становится все более популярной. Речь идет о концепции квантильного равновесия, разработанной профессорами Калифорнийского технологического института Ричардом Маккелви и Томасом Палфри. Эта концепция носит слишком специальный характер, чтобы описывать ее в данной книге; тем читателям, которые захотят ознакомиться с ней, мы рекомендуем обратиться к первоисточнику[134].

Тщательно изучив научные работы по данной теме, два ведущих исследователя в сфере экспериментальной экономики – Чарльз Холт из Вирджинского университета и Элвин Рот из Гарвардского университета – сформулировали следующий сдержанно-оптимистичный прогноз: «За последние 20 лет понятие равновесия Нэша стало неотъемлемым элементом инструментария экономистов, социологов и бихевиористов. <…> Несмотря на все изменения, обобщения и уточнения, именно с базовой концепции равновесия Нэша начинается (а порой и заканчивается) анализ стратегических взаимодействий»[135]. Мы считаем эту позицию абсолютно правильной и рекомендуем своим читателям придерживаться именно такого подхода. Изучая игры или участвуя в них, начинайте с равновесия Нэша, а затем проанализируйте причины того, как и почему результат игры отличается от прогнозов, полученных согласно теории Нэша. Такой двойственный подход позволит вам лучше понять реальную игру или добиться более весомых успехов в ней, чем любая позиция отрицания или слепая приверженность равновесию Нэша.

 

Учебный пример: выигрывает тот, кто ближе к половине

 

Равновесие Нэша возможно при выполнении двух следующих условий:

• каждый игрок выбирает оптимальный ответный ход на то, что, по его мнению, сделает другой участник игры;

• субъективная оценка каждого игрока верна. Каждый игрок делает именно то, что он и должен делать, по мнению всех остальных.

 

Такой результат проще описать на примере игры с участием двух игроков. Наши два игрока, Эйб и Би, составили свое мнение о том, что сделает другой. На основании субъективной оценки они выбирают действия, которые позволят им получить максимальный выигрыш. Эта оценка оказалась правильной: оптимальный ответный ход Эйба на то, что, по его мнению, сделает Би, совпадает с оценкой Би его действий, а оптимальный ответный ход Би на то, что, по ее мнению, сделает Эйб, совпадает с ожиданиями Эйба в отношении ее действий.

Рассмотрим эти два условия в отдельности. Первое вполне естественно, иначе пришлось бы допустить, что кто-то из игроков действует не наилучшим образом с точки зрения его же собственной оценки ситуации. Если у него есть более выигрышный вариант, почему бы не использовать его?

Разногласия возникают главным образом в отношении второго условия – что каждый делает именно то, что он и должен делать по мнению всех остальных. У Шерлока Холмса и профессора Мориарти с этим не было проблем:

 

– Все, что я хотел вам сказать, вы уже угадали, – сказал он.

– В таком случае вы, вероятно, угадали мой ответ.

– Вы твердо стоите на своем?

– Совершенно твердо[136].

 

Однако большинству обычных людей гораздо труднее предвидеть действия другой стороны.

Вот описание простой игры, которая поможет проиллюстрировать взаимосвязь между этими двумя условиями, а также объяснит, почему вы можете захотеть или не захотеть принять их.

Эйб и Би ведут игру по следующим правилам: каждый игрок должен выбрать число от 0 до 100 включительно. Приз в размере 100 долларов получит тот игрок, число которого окажется ближе к половине числа, выбранного другим игроком.

Мы будем играть за Эйба, а вы – за Би. У вас есть вопросы?

Что если будет ничья?

Ну что же, в таком случае мы разделим приз поровну. Еще вопросы есть?

Нет.

Отлично, приступим к игре. Мы выбрали свое число. Теперь ваша очередь. Какое число вы выбрали? Для того чтобы быть честными перед самими собой, запишите это число.

 

Анализ примера

 

Мы выбрали 50. Нет, это не так. Для того чтобы узнать, какое число мы выбрали на самом деле, прочитайте этот раздел до конца.

Начнем с того, что вернемся на шаг назад и используем двухэтапный подход для определения равновесия Нэша. На первом этапе делаем вывод о том, что ваша стратегия должна быть оптимальным ответным ходом на то, что могли бы сделать мы. Поскольку наше число должно находиться в диапазоне от 0 до 100, мы считаем, что вы не могли выбрать число больше 50. Например, число 60 было бы вашим оптимальным ответным ходом только в случае, если бы мы выбрали 120, что невозможно по правилам этой игры.

Это говорит нам о том, что, если бы ваш выбор был действительно лучшим ответным ходом на то, что могли выбрать мы, вы должны были выбрать одно из чисел в диапазоне от 0 до 50.

Хотите верьте, хотите нет, но большинство людей на этом и останавливаются. Когда в эту игру играют те, кто не читал нашу книгу, чаще всего выбор падает на число 50. По правде сказать, мы считаем такой выбор безграмотным (приносим свои извинения, если вы выбрали именно это число). Не забывайте: число 50 – это оптимальный выбор только в случае, если вы считаете, что другая сторона выберет 100. Но если бы другой игрок выбрал число 100, значит, он неправильно понял бы игру. Он выбрал бы число, у которого почти нет шансов на победу. Любое число меньше 100 одержало бы верх над этой сотней.

Мы будем исходить из того, что ваша стратегия была лучшим ответным ходом на то, что могли выбрать мы, а это число в диапазоне от 0 до 50. Это значит, что наш оптимальный выбор должен пасть на число от 0 до 25.

Обратите внимание: в данный момент мы сделали очень важный шаг. Это может показаться настолько естественным, что вы даже ничего не заметили. Мы больше не полагаемся на первое условие, гласящее, что наша стратегия – это оптимальный ответный ход. Мы предприняли очередной шаг и предположили, что наша стратегия должна быть оптимальным ответным ходом на ваш оптимальный ответный ход.

Если вы собираетесь сделать оптимальный ответный ход, мы должны сделать то, что станет оптимальным ответным ходом на оптимальный ответный ход.

В этот момент мы начинаем давать определенную оценку вашим действиям. Вместо предположения о том, что вы можете предпринять любой разрешенный правилами ход, будем исходить из того, что на самом деле вы выберете ход, который можно считать оптимальным. Мы вполне обоснованно полагаем, что вы не станете предпринимать бессмысленные действия, а отсюда следует, что мы должны выбрать число от 0 до 25.

Разумеется, по тем же причинам вы должны осознавать, что мы не выберем число больше 50. Если вы рассуждаете именно так, вы не выберете число больше 25.

Вероятно, вы уже догадались, что, согласно данным экспериментов, после числа 50 чаще всего игроки выбирают число 25. Откровенно говоря, выбор числа 25 гораздо лучше, чем выбор числа 50: это дает шанс на победу хотя бы в случае, если другой игрок достаточно глуп, чтобы выбрать 50.

Если мы считаем, что вы можете выбрать только число от 0 до 25, тогда наш оптимальный ответный ход ограничен числами в диапазоне от 0 до 12,5. На самом деле 12,5 – наш лучший выбор. Мы выиграем, если наше число окажется ближе к половине вашего числа, чем ваше число – к половине нашего. Это означает, что мы выиграем, если вы выберете любое число больше 12,5.

Мы выиграли?

Почему мы выбрали 12,5? Мы подумали, что вы выберете число от 0 до 25, а к этому выводу мы пришли потому, что, по нашему мнению, вы решили, что мы выберем число от 0 до 50. Разумеется, мы могли бы продолжить эти рассуждения и прийти к выводу о том, что вы подумаете, что мы выберем число от 0 до 25, а это заставило бы вас выбрать число от 0 до 12,5. Если бы вы рассуждали именно так, то могли бы оказаться на шаг впереди нас и победили бы. Наш опыт говорит о том, что большинство людей не продумывают свои действия более чем на два-три шага вперед, во всяком случае во время первого раунда игры.

Теперь, когда у вас есть некоторая практика и вы лучше понимаете игру, вы можете захотеть сыграть матч-реванш. И это справедливо. Поэтому снова запишите где-нибудь свое число – мы обещаем не подсматривать.

Мы совершенно уверены в том, что, по вашему мнению, мы выберем число меньше 12,5. Это означает, что вы выберете число меньше 6,25. А если мы считаем, что вы выберете число меньше 6,25, тогда мы должны выбрать число меньше 3,125.

В первом раунде игры мы бы на этом и остановились. Мы только что говорили о том, что большинство людей останавливаются после двух этапов рассуждений, но на этот раз мы считаем, что вы решительно настроены победить нас, поэтому продумаете как минимум еще один ход вперед. Если вы считаете, что мы выберем 3,125, тогда вы выберете 1,5625, что заставит нас подумать о выборе числа 0,78125.

Нам кажется, что на этом этапе вы уже понимаете, к чему все это приведет. Если вы считаете, что мы намерены выбрать число от 0 до Х, то вы должны выбрать число от 0 до x∕2. А если мы считаем, что вы можете выбрать число от 0 до x∕2, нам следует выбрать число от 0 до x∕4.

Единственный вариант, при котором мы оба окажемся правы, – если оба выберем число 0. Так мы и сделали. Это и есть равновесие Нэша. Если вы выберете 0, тогда и нам нужно выбрать 0; если мы выберем 0, то и вам нужно выбрать 0. Таким образом, мы оба правильно оцениваем действия друг друга; мы оба делаем оптимальный ответный ход, выбрав число 0 – иными словами, сделав именно то, что, по нашему мнению, должен был сделать другой.

Нам следовало выбрать 0 и во время первого раунда игры. Если вы выбрали Х, а мы выбрали 0, значит, мы выиграли, поскольку 0 ближе к x∕2, чем Х к 0∕2 = 0. Мы все время знали об этом, но не хотели раскрывать вам этот секрет во время первого раунда игры.

Как оказалось, для того чтобы выбрать число 0, нам даже не нужно было ничего знать о том, что можете сделать вы. Однако игра с участием только двух игроков – это крайне нетипичный случай.

Давайте изменим игру, подключив дополнительных игроков. Теперь победит тот игрок, число которого окажется ближе к половине среднего арифметического чисел, выбранных всеми игроками. При таких правилах игры число 0 не обязательно окажется выигрышным[137]. Тем не менее и в этом случае оптимальный ответный ход приближается к нулю. На первом круге рассуждений все игроки выберут число от 0 до 50. (Среднее выбранное число не может быть боюльше 100, значит, половина среднего не может быть больше 50.) На втором этапе участники рассуждают так: если каждый игрок считает, что другие сделают оптимальный ответный ход, то каждый должен выбрать в ответ число от 0 до 25. На третьем круге рассуждений все игроки выберут число от 0 до 12,5.

Как далеко способны зайти игроки в своих рассуждениях, можно только гадать. Судя по нашему опыту, большинство людей останавливаются на двух-трех уровнях рассуждений. Для того чтобы найти равновесие Нэша, необходимо, чтобы игроки прошли весь путь логических рассуждений. Каждый выбирает оптимальный ответный ход на то, что, по его мнению, делают другие. Логика поиска равновесия Нэша приводит нас к выводу о том, что все игроки выберут число 0. Когда все выбирают 0 – это единственная стратегия, при которой каждый игрок выбирает оптимальный ответный ход на то, что, по его мнению, сделают другие, и каждый оказывается прав в своей оценке действий других игроков.

Когда люди играют в эту игру, они редко выбирают число 0 во время первого раунда. Это убедительное доказательство против прогнозирующей способности равновесия Нэша. С другой стороны, после двух-трех раундов игры ее участники очень близко подходят к равновесию Нэша. Это убедительный аргумент в пользу равновесия Нэша.

Мы считаем, что правильны обе точки зрения. Для того чтобы найти равновесие Нэша, все игроки должны выбирать оптимальные ответные ходы – это достаточно просто. Кроме того, им следует составить правильное мнение о том, какими будут действия других участников игры. Это гораздо труднее. Теоретически возможно сформировать совокупность внутренне непротиворечивых оценок, не играя в игру, но во многих случаях сделать это гораздо легче в ходе самой игры. Если во время игры ее участники понимают, что их мнение было ошибочным, и делают выводы о том, как лучше предсказать действия других игроков, они неизбежно приближаются к равновесию Нэша.

Опыт действительно помогает играть в такие игры, но он еще не гарантирует успех. Одна из проблем возникает при наличии нескольких равновесий Нэша. Вспомните о том, какую неприятную задачу вам приходится решать, когда сбрасывается телефонный звонок. Следует ли ждать, когда позвонит другой человек, или лучше позвонить самому? Подождать – это оптимальный ответный ход в случае, если вы считаете, что он позвонит, а позвонить – оптимальный ответный ход в случае, если вы полагаете, что он будет ждать вашего звонка. Проблема в том, что здесь два в равной степени привлекательных равновесия Нэша: вы звоните, а другой человек ждет; или вы ждете, а другой – звонит.

Опыт не всегда помогает найти выход из такой ситуации. Если вы оба будете ждать, то через какое-то время вы можете принять решение позвонить, но если вы оба начнете звонить одновременно, ваши телефоны окажутся занятыми. Для того чтобы решить эту дилемму, мы часто прибегаем к общепринятым правилам; в нашем примере повторный звонок должен сделать человек, который позвонил первым. В таком случае вы хотя бы знаете, что у этого человека есть ваш номер телефона.

 

 

Эпилог к части I

 

В первых четырех главах мы рассмотрели ряд концепций и методов, проиллюстрировав их на примерах, взятых из бизнеса, спорта, политики и так далее. В следующих главах мы применим все эти идеи и методы на практике. А сейчас обобщим сказанное и сформулируем основные тезисы, которые можно будет использовать в качестве справочного материала.

Игра – это ситуация, в которой существует стратегическая взаимозависимость: итог вашего выбора (стратегии) зависит от выбора одного или более других участников игры, совершающих целенаправленные действия. Люди, принимающие решения, называются игроками, а варианты действий, которые они выбирают, – ходами. Интересы участников игры могут быть полностью противоположными: выигрыш одного игрока означает проигрыш другого. Подобные игры называются играми с нулевой суммой. Однако чаще бывает так, что в игре есть и зона общих интересов, и зона конфликта интересов, а значит, возможны стратегии, которые либо приносят обоим игрокам выгоду, либо наносят им вред. Как бы то ни было, в большинстве случаев мы называем других участников игры соперниками.

Ходы, которые делают участники игры, бывают последовательными или параллельными. В игре с последовательными ходами существует линейная цепочка рассуждений: если я сделаю это, мой соперник сделает то; в таком случае я поступлю следующим образом. Такую игру можно проанализировать, построив дерево игры. Выбор оптимальных ходов можно сделать, применив правило № 1: смотрите вперед и рассуждайте в обратном порядке.

В игре с параллельными ходами образуется логический круг рассуждений: я думаю, что он думает, что я думаю – и так далее. Проблема заключается в том, чтобы «найти квадратуру» этого круга; иными словами, каждому игроку необходимо просчитать действия соперника, хотя он и не может видеть их, делая свой ход. Для того чтобы решить такую задачу, необходимо построить таблицу, в которой будут показаны результаты игры, соответствующие всем возможным комбинациям существующих вариантов. Затем следует выполнить следующие действия.

Для начала определите, есть ли у кого-либо из игроков доминирующая стратегия – иными словами, та, которая обеспечивает более выгодный исход игры по сравнению с другими стратегиями этого же игрока независимо от того, какой выбор он сделает. Затем следует применить правило № 2: если у вас есть доминирующая стратегия, используйте ее. Если у вас доминирующей стратегии нет, а у вашего соперника есть, исходите из предположения о том, что он ее использует, и выберите оптимальный ответный ход на эту стратегию.

В случае если ни у одного игрока нет доминирующей стратегии, необходимо определить, есть ли у кого-то из них доминируемая стратегия – стратегия, которая во всех отношениях хуже любой другой. Если такая стратегия есть, примените правило № 3: одну за другой исключите из рассмотрения все доминируемые стратегии. Если при этом вы обнаружите доминирующую стратегию, используйте ее. Получив единственно возможное решение, вы сможете определить, как именно станут действовать игроки и каким будет исход игры. Даже если эта процедура не позволит вам найти единственно верное решение, она поможет сократить масштаб игры до более приемлемого уровня. И наконец, если нет ни доминирующей, ни доминируемой стратегии или после того, как второй этап позволит вам как можно больше упростить игру, примените правило № 4: найдите равновесие или пару стратегий, при которых действия каждого игрока станут оптимальным ответным ходом на действия другого. Если существует только одно такое равновесие, есть все основания утверждать, что его должны выбрать все игроки. Если таких равновесий несколько, следует применить понятное всем правило, или договоренность, о том, какому именно равновесию следует отдать предпочтение. Если его не существует, то соперники могут использовать с выгодой для себя любое систематическое действие одного из игроков. Это, в свою очередь, свидетельствует о необходимости использования смешанных стратегий – это и есть тема следующей главы.

В реальной жизни игры могут состоять из ряда последовательных и параллельных ходов. В таком случае необходимо использовать сочетание всех перечисленных методов, для того чтобы проанализировать все возможные варианты действий и найти среди них оптимальный.

 

Часть II

 

Глава 5

Выбор и случай

 

Конец остряка

 

The Princess Bride[138](«Принцесса-невеста») – блестящая комедия, в которой много запоминающихся сцен. Самая интересная из них – сражение на смекалку между героем (Уэстли) и злодеем (сицилийцем Виццини). Уэстли предлагает Виццини сыграть в игру: Уэстли отравит вино в одном из бокалов так, чтобы Виццини не видел, в каком именно. Затем Виццини должен выбрать один из бокалов и выпить вино из него, а Уэстли выпьет из другого бокала. Виццини заявляет, что он гораздо умнее Уэстли: «Ты слышал что-нибудь о Сократе, Платоне, Аристотеле? <…> Дуралей». Он убежден в том, что может выиграть, воспользовавшись логическими рассуждениями:

 

Все, что мне нужно сделать, – это угадать, опираясь на то, что я знаю о тебе: ты человек, который положит яд в свой бокал или в бокал своего врага? Умный человек положит яд в свой бокал, потому что он знает, что только полный дурак выберет тот бокал, который предназначен для него. А я не полный дурак и не могу выбрать бокал, стоящий перед тобой. Но ты, наверное, знал, что я не полный дурак, и рассчитывал на это, поэтому я не могу выбрать вино, стоящее передо мной.

 

Виццини рассуждает дальше, придерживаясь той же логики. В конце концов он отвлекает внимание Уэстли, меняет кубки местами и смеется, уверенный в своей победе, когда они оба пьют вино из своих кубков. Виццини говорит Уэстли: «Ты пал жертвой грубой ошибки. Всем известно, что нельзя ввязываться в земельный спор в Азии; точно так же нельзя спорить с сицилийцем, когда на кону стоит смерть». Виццини все еще смеется, радуясь своей победе, когда внезапно падает замертво.

Почему логические рассуждения Виццини не принесли ему успеха? Каждый из его аргументов содержал внутреннее противоречие. Если Виццини считает, что Уэстли отравит вино в кубке А, он приходит к выводу, что ему следует выбрать кубок Б. Но Уэстли тоже может сделать такой же логический вывод, и в этом случае он подсыплет яд в кубок Б. Но Виццини должен предвидеть это, а значит, ему следует выбрать кубок А. Но… этому циклу логических рассуждений нет конца[139].

Дилемма, с которой столкнулся Виццини, возникает во многих играх. Представьте себе, что вам предстоит сделать штрафной удар во время футбольного матча. Вы направите удар по левую или по правую сторону от вратаря? Предположим, руководствуясь определенными соображениями (что вы делаете удар с левой, а не с правой ноги; что вратарь левша, а не правша или что вы выбрали ту или иную сторону, когда в прошлый раз били пенальти), вы приходите к выводу, что следует направить удар по левую сторону от вратаря. Если вратарь способен выстроить такую же цепочку рассуждений, он мысленно и даже физически подготовится к тому, чтобы прикрыть именно эту сторону, так что вам лучше направить удар по правую сторону. Но что если вратарь пойдет в своих рассуждениях дальше? Тогда вам лучше придерживаться первоначального плана и быть по левую сторону от него. И так далее. Где заканчивается этот круг рассуждений?

В подобных ситуациях единственный логически обоснованный вывод состоит в том, что, если вы будете выбирать свои ходы, придерживаясь той или иной системы или закономерности, другой игрок непременно воспользуется этим на пользу себе и в ущерб вам. Следовательно, вы не должны придерживаться никакой системы или закономерности. Если всем известно, что вы бьете по мячу левой ногой, вратари будут более тщательно прикрывать эту сторону и чаще отражать ваши удары. Вы должны заставить их строить догадки, совершая бессистемные или случайные действия в каждом отдельном случае. Осознанный выбор случайных действий может показаться иррациональным решением в ситуации, которая подразумевает необходимость рационального стратегического мышления, однако в этой кажущейся непоследовательности есть своя логика. Ценность рандомизации можно не только осознавать в абстрактном, общем смысле, но и выразить в количественной форме. Мы подробно объясним этот метод в данной главе.