Метод последовательного исключения

 

Вернемся к ценовой игре между компаниями Rainbow’s End и B. B. Lean. Вот таблица выигрышей для этой игры.

 

 

RE не знает, какую цену выберет BB. Но RE может определить, какую цену или цены BB не выберет: BB никогда не установит на свой товар цену 42 или 38 долларов. Тому есть две причины (в нашем примере присутствуют обе, но в других ситуациях может быть задействована только одна из причин)[129].

Во-первых, каждая из этих стратегий однозначно хуже для BB, чем любая другая доступная стратегия. Независимо от того, какую стратегию собирается выбрать RE, для BB 41 доллар – это лучше, чем 42, а 39 долларов лучше, чем 38. Для того чтобы понять это, сравните выигрыши в случае выбора стратегии «41 доллар» и стратегии «42 доллара»; то же касается и другой пары стратегий. Сравните пять чисел, соответствующих прибыли BB в случае выбора цены 41 доллар (они выделены темно-серым цветом), с показателями прибыли, полученной в случае выбора цены 42 доллара (они выделены светло-серым цветом).

В каждом из пяти вариантов выбора RE прибыль BB в случае выбора цены 42 доллара будет меньше, чем в случае выбора цены 41 доллар:

43 120 < 43 260 41 360 < 41 580 39 600 < 39 900 37 840 < 38 220 36 080 < 36 540

Следовательно, какими бы ни были ожидания BB в отношении действий RE, BB ни при каких условиях не выберет цену 42 доллара, поэтому RE может смело рассчитывать на то, что BB исключит из рассмотрения стратегию выбора цены 42 и 38 долларов.

Когда одна стратегия (предположим, стратегия А) однозначно хуже для одного из игроков, чем другая (скажем, стратегия Б), говорят, что стратегия А доминируемая по отношению к стратегии Б. Если такая ситуация действительно наблюдается, этот игрок ни при каких обстоятельствах не применит стратегию А, хотя использует ли он стратегию Б, остается только гадать. В таком случае другой игрок может с уверенностью строить свои рассуждения, опираясь на эту информацию; в частности, ему нет необходимости анализировать стратегию, которая была бы оптимальным ответным ходом только на стратегию А. Следовательно, в процессе поиска решения этой игры можно полностью исключить доминируемые стратегии из рассмотрения. Это позволяет сократить размер таблицы игры и упростить ее анализ[130].

Второй способ исключения доминируемых стратегий и упрощения анализа таблицы игры сводится к тому, чтобы найти стратегии, которые ни при каких условиях не могут стать оптимальным ответным ходом на любой выбор, сделанный другим игроком. В данном примере выбор цены 42 доллара не может быть оптимальным ответным ходом BB на любой выбор RE в пределах того диапазона цен, который мы здесь рассматриваем. Следовательно, RE может смело рассуждать так: «Что бы ни думали в BB по поводу моего выбора, они ни за что не выберут цену 42 доллара».

Очевидно, что любая доминируемая стратегия ни при каких обстоятельствах не может быть оптимальным ответным ходом. Полезнее проанализировать вариант, когда BB выберет цену 39 долларов. Эта стратегия может быть почти при любых условиях исключена из рассмотрения по той причине, что она не может быть оптимальным ответным ходом. Выбор цены 39 долларов оптимален только в случае, если RE выберет цену 38 долларов. Если мы знаем, что стратегия 38 долларов доминируемая, мы можем сделать вывод о том, что выбор BB цены 39 долларов ни при каких условиях не может быть оптимальным ответным ходом на любой ход RE. В таком случае преимущество поиска ответных ходов, не относящихся к числу оптимальных, состоит в возможности исключения тех стратегий, которые не являются доминируемыми, но все равно не подлежат выбору.

Аналогичную процедуру анализа можно выполнить и для другого игрока. Стратегии RE, соответствующие выбору цены 42 и 38 долларов, следует исключить из рассмотрения, после чего в таблице выигрышей для этой игры останется только три строки и три столбца:

 

 

В этой упрощенной игре у каждой компании есть доминирующая стратегия, а именно 40 долларов. Следовательно, согласно правилу № 2 (сформулированному в главе 3) это и есть решение игры.

Стратегия выбора цены 40 долларов не доминирующая в исходной игре с большим числом вариантов. Например, если RE подумает, что BB назначит на свой товар цену 42 доллара, тогда прибыль RE от установления цены 41 доллар (43,260 доллара) будет больше, чем в случае выбора цены 40 долларов (43,200 доллара). Исключение некоторых стратегий может открыть путь для исключения других стратегий во втором раунде игры. В данном примере хватило всего двух раундов для того, чтобы точно определить исход игры. В других случаях может понадобиться больше раундов, но даже тогда диапазон возможных результатов игры можно в какой-то мере сузить, но не до единственного решения.

Равновесие Нэша проявляется, если последовательное исключение доминируемых стратегий (или стратегий, которые ни при каких условиях не могут быть оптимальными ответными ходами) и выбор доминирующих стратегий действительно приводит к единственно возможному исходу игры. Это и есть простой способ, позволяющий найти равновесие Нэша. Таким образом, описанный процесс поиска равновесия Нэша можно кратко сформулировать в виде двух правил.