Смешивание стратегий на футбольном поле

 

Штрафной удар в футболе – самый простой и самый известный пример ситуации, требующей случайных ходов, или, если говорить в терминах теории игр, смешанных стратегий. Этот удар был тщательно изучен в ходе теоретических и эмпирических исследований игр и широко обсуждался в средствах массовой информации[140].

Пенальти назначается, если игроки защиты совершают любое запрещенное действие или нарушение в штрафной площадке своих ворот. Кроме того, серия штрафных ударов выполняется после окончания футбольного матча для определения победителя в случае ничьей. Ширина футбольных ворот 7,32 метра, высота – 2,44 метра. Мяч устанавливается на линии, расположенной в 11 метрах от линии ворот, напротив центра ворот. Игрок, выполняющий удар, должен послать мяч в ворота непосредственно с этого места. Вратарь должен стоять на линии ворот до момента нанесения удара по мячу.

Мяч, по которому сделан сильный удар, долетает с 11-метровой отметки до ворот за две десятые секунды. У вратаря, который ждет момента удара, чтобы увидеть, куда направляется мяч, нет никаких шансов остановить его, если только мяч не был нацелен на самого вратаря. Футбольные ворота достаточно широкие; следовательно, вратарь должен заранее решить, следует ли ему делать прыжок, чтобы прикрыть одну из сторон, и если да, то в какую сторону необходимо двигаться – налево или направо. Игрок, выполняющий пенальти, тоже должен выбрать направление удара еще до того, как увидит, куда наклоняется вратарь. Разумеется, каждый из них сделает все возможное, чтобы скрыть свой выбор от другого. Следовательно, эту ситуацию лучше всего рассматривать как игру с параллельными ходами. В действительности крайне редко бывает так, что вратарь стоит в центре ворот, не прыгая налево или направо; игроки, выполняющие пенальти, тоже сравнительно редко бьют в центр ворот, и такое поведение можно объяснить теоретически. Поэтому мы упростим свои выкладки, ограничив выбор каждого игрока двумя вариантами. Поскольку игроки, выполняющие пенальти, бьют по мячу внутренней стороной ступни, естественное направление удара для игрока, бьющего правой ногой, – в правую сторону от вратаря, а для игрока, бьющего левой, – в левую сторону. Для простоты будем называть естественную сторону «справа». Следовательно, у каждого игрока есть два варианта выбора: «справа» и «слева». Когда вратарь выбирает вариант «справа», это означает естественную сторону выполнения удара игроком, бьющим пенальти.

Учитывая, что у каждого игрока есть два варианта выбора и что оба делают свои ходы одновременно, мы можем отобразить результаты в обычной таблице выигрышей 2 × 2. В каждом сочетании вариантов выбора «слева» и «справа», сделанного каждым из игроков, есть элемент случайности. Например, мяч может пролететь над перекладиной ворот или вратарь может направить мяч в сетку ворот, слегка коснувшись его. В представленной таблице выигрыш игрока, выполняющего пенальти, – это выраженное в процентах число раз, когда мяч забит, а выигрыш вратаря – выраженное в процентах число раз, когда мяч не забит.

Разумеется, все эти показатели относятся к конкретному игроку, выполняющему штрафной удар, и конкретному вратарю. Подробную информацию о показателях игроков можно получить в профессиональных футбольных лигах разных стран. Для общего сведения ознакомьтесь со средними показателями ряда разных вратарей и игроков, выполнявших штрафной удар, которые рассчитал Игнасио Паласиос Уэрта на основании данных футбольных лиг Италии, Испании и Англии за период с 1995-го по 2000 год. Не забывайте, что в левом нижнем углу каждой ячейки показан выигрыш бьющего игрока, которому соответствуют строки, а в правом верхнем углу – выигрыш вратаря, которому соответствуют столбцы таблицы. Выигрыш бьющего игрока выше, если оба выбирают противоположные стороны; процент забитых мячей у такого игрока почти одинаковый независимо от того, выбирает он естественную сторону или нет: единственная причина неудачи – когда удар направлен выше ворот или мимо ворот. В случае, если оба выбирают одну и ту же сторону, выигрыш бьющего игрока выше, когда он предпочитает свою естественную сторону. Все эти действия носят в какой-то мере интуитивный характер.

 

 

Попробуем найти равновесие Нэша для этой игры. Если оба игрока выбирают позицию «слева», это не будет равновесием, поскольку, когда вратарь выбирает левую сторону, бьющий игрок может повысить свой выигрыш с 58 до 93, переключившись на позицию «справа». Это тоже не может быть равновесием, поскольку в таком случае вратарь может повысить свой выигрыш с 7 до 30, тоже переключившись на позицию «справа». Однако в таком случае игрок, выполняющий пенальти, получит более высокий выигрыш, переключившись на позицию «слева»; тогда и вратарю будет лучше переключиться на позицию «слева». Иными словами, в этой игре в таком виде, в каком она отображена на таблице, равновесия Нэша не существует.

Циклы переключения с одной позиции на другую полностью соответствуют круговой логике рассуждений Виццини о том, в каком кубке находится яд. Тот факт, что в данной игре с указанными парами стратегий нет равновесия Нэша, подтверждает правильность одного из постулатов теории игр, касающегося важности смешивания ходов. В данном примере необходимо ввести смешивание ходов как еще одну, принципиально новую, стратегию и попытаться найти равновесие Нэша в расширенном множестве стратегий. Исходные стратегии каждого игрока («слева» и «справа») будем называть чистыми стратегиями.

Прежде чем продолжить анализ, упростим таблицу игры. У этой игры есть одна особенность: интересы двух игроков полностью противоположны. В каждой ячейке выигрыш вратаря равен 100 минус выигрыш бьющего игрока. Следовательно, если сравнить данные в ячейках, становится очевидным, что, когда выигрыш больше у бьющего игрока, он меньше у вратаря, и наоборот.

Многие люди, опираясь на свой опыт игр подобного рода, интуитивно считают, что в любой игре должен быть победитель и проигравший. Однако в огромном мире стратегических игр сравнительно редко встречаются игры, в которых наблюдается чистый конфликт. В мире экономики, где игроки сознательно идут на компромисс ради взаимной выгоды, возможен такой исход игры, когда выигрывают все. Пример ситуации, в которой все могут проиграть, – дилемма заключенных. А в игре с торгом и игре в труса возможен односторонний исход, когда одна сторона выигрывает за счет другой. Таким образом, большинству игр свойственно сочетание конфликта и общих интересов. Тем не менее данный пример игры с абсолютным конфликтом первым был изучен теоретически, поэтому представляет особый интерес. Как мы уже говорили, такие игры называются играми с нулевой суммой (выигрыш одного игрока означает проигрыш другого) или, в более общем случае, играми с постоянной суммой, как в нашем текущем примере, где сумма выигрышей двух игроков всегда равна 100.

Таблицы выигрышей для таких игр можно упростить, указывая в них выигрыш одного игрока, поскольку выигрыш другого можно рассматривать как величину, равную разнице между постоянной суммой (в нашем примере 100) и выигрышем первого игрока. Как правило, в явной форме указывается выигрыш игрока, которому соответствуют строки таблицы. В данном примере для такого игрока предпочтителен результат с более высокими показателями, а для игрока, которому соответствуют столбцы таблицы, оптимален результат с более высокими показателями. С учетом этих правил таблица выигрышей для штрафного броска выглядит так:

 

 

Если вы игрок, выполняющий штрафной удар, какой из двух стратегий отдали бы предпочтение? Если вы выберете стратегию «справа», вратарь может удержать ваш процент забитых мячей на уровне не выше 58, выбрав стратегию «слева»; если же вы выберете стратегию «справа», вратарь может удержать ваш процент забитых мячей на уровне не выше 70, тоже выбрав стратегию «справа»[141]. Из этих двух вариантов вам лучше выбрать сочетание «справа», «справа».

Можете ли вы получить лучшие результаты? Предположим, вы выбираете стратегию «слева» или «справа» случайным образом в пропорции 50:50. Например, когда вы уже готовы подбежать к мячу и нанести по нему удар, подбросьте монетку, которую держите в руке так, чтобы этого не видел вратарь, и выберите «слева», если выпадет решка, и «справа», если выпадет орел. Если вратарь выберет стратегию «слева», ваша смешанная стратегия обеспечит вам попадание в ½ × 58 + ½ × 93 = 75,5 процентах случаев; если вратарь выберет стратегию «справа», ваша стратегия обеспечит вам успех в ½ × 95 + + ½ × 70 = 82,5 процентах случаев. Если вратарь знает, что вы делаете свой выбор по такому принципу, он выберет стратегию «слева», чтобы удержать процент успешных ударов на уровне 75,5 процента. Но это все же больше, чем 70 процентов забитых мячей, которые вы получили бы в случае применения двух чистых стратегий.

Легкий способ проверить, нужна ли такая случайность при выборе стратегий, – попытаться понять, причинит ли вам вред, если вы позволите другому игроку узнать о вашем фактическом выборе до того, как он сделает ответный ход. Если вам это невыгодно, значит случайный выбор, который заставит другого игрока строить догадки, принесет вам пользу.

Можно ли назвать смешивание стратегий по принципу 50:50 лучшим для вас? Нет. Попробуйте другой вариант – когда вы будете выбирать стратегию «слева» в 40 процентах случаев, а стратегию «справа» – в 60 процентах случаев. Положите в карман маленькую книжку, а когда будете готовы подбежать к мячу и сделать удар, достаньте ее и откройте на любой странице (снова так, чтобы не видел вратарь). Если последняя цифра номера страницы попадает в диапазон от 1 до 4, выберите стратегию «слева», а если от 5 до 10 – стратегию «справа». Теперь процент успешных ударов в случае, если вратарь выберет стратегию «слева», составит 0,4 × 58 + 0,6 × 93 = 79, а если стратегию «справа» – 0,4 × 95 + 0,6 × 70 = 80. Вратарь может держать вас на уровне 79 процентов, выбрав стратегию «слева», но это лучше, чем 75,5 процента успешных ударов, которые вы могли бы сделать в случае смешивания стратегий по принципу 50:50.

Обратите внимание на следующий факт: чем лучше пропорции смешивания стратегий игрока, выполняющего штрафной удар, тем меньше разница между показателями успешных ударов в случаях, когда вратарь выбирает стратегию «слева» и стратегию «справа». При выборе чистых стратегий эти показатели составляют 93 и 70 процентов; в случае смешивания стратегий по принципу 50:50–82,5 и 75,5 процента, а при смешивании стратегий в пропорции 40:60–80 и 79 процентов. Очевидно, что смешивание стратегий в оптимальной пропорции обеспечивает один и тот же процент успешных ударов независимо от того, какую стратегию выберет вратарь. Кроме того, это согласуется и с интуитивным предположением, что смешивание ходов – правильный подход, поскольку он не позволяет другому игроку извлекать для себя выгоду из любой системы или закономерности выбора.

Расчеты, о которых пойдет речь в одном из следующих разделов данной главы, свидетельствуют, что для игрока, выполняющего пенальти, лучше всего смешивать стратегии по такому принципу: выбирать стратегию «слева» в 38,3 процентах случаев и стратегию «справа» – в 61,7 процентах. Это обеспечит 0,383 × 58 + 0,617 × 93 = 79,6 процентах забитых мячей, если вратарь выберет стратегию «слева», и 0,383 × 95 + 0,617 × 70 = 79,6 процента забитых мячей, если вратарь выберет стратегию «справа».

А что насчет стратегии вратаря? Если он выберет чистую стратегию «слева», бьющий игрок может получить 93 процента забитых мячей, выбрав стратегию «справа»; если вратарь выберет чистую стратегию «справа», у бьющего игрока есть шансы получить 95 процентов забитых мячей при условии выбора стратегии «слева». Смешав свои стратегии, вратарь может удержать число успешных ударов игрока, выполняющего пенальти, на гораздо более низком уровне. Для вратаря оптимальна та пропорция смешивания стратегий, при которой у бьющего игрока сохранится процент успешных ударов независимо от того, какую стратегию он выберет – «слева» или «справа». С учетом этого условия вратарь должен выбрать смешивание стратегий «слева» и справа» в пропорции 41,7 процента и 58,3 процента соответственно; бьющему игроку это обеспечивает 79,6 процента успешных ударов.

Обратите внимание на следующий факт – на первый взгляд он кажется совпадением: процент положительных исходов, который может обеспечить себе бьющий игрок, выбрав оптимальное смешивание стратегий (а именно 79,6 процента), совпадает с процентом положительных исходов, которым вратарь может ограничить бьющего игрока, выбрав свое оптимальное смешивание стратегий. На самом деле это не совпадение, а важное общее свойство равновесия в смешанных стратегиях в играх с чистым конфликтом (играх с нулевой суммой).

Этот результат, который получил название «теорема о минимаксе», впервые сформулировал математик Принстонского университета, человек энциклопедических знаний Джон фон Нейман. Впоследствии в соавторстве с экономистом Принстонского университета он развил эту идею в классической книге Theory of Games and Economic Behavior[142], которая и положила начало теории игр.

Теорема о минимаксе гласит, что в играх с нулевой суммой, в которых интересы игроков прямо противоположны (выигрыш одного означает проигрыш другого), один игрок должен стремиться к тому, чтобы минимизировать максимальный выигрыш соперника, тогда как его соперник стремится максимизировать свой минимальный выигрыш. Такой подход к ведению игры приводит к поразительному выводу: минимальный из максимальных выигрышей (минимакс) эквивалентен максимальному из минимальных выигрышей (максимин). Общее доказательство теоремы достаточно сложное, но результат полезен и его стоит запомнить. Если все, что вам нужно знать, – это выигрыш одного игрока или проигрыш другого в случае, когда оба применяют во время игры оптимальное смешивание стратегий, необходимо только рассчитать оптимальную пропорцию смешивания стратегий для одного из них и определить результат такого смешивания.

 

Теория и реальность

 

Насколько близки показатели реальных игроков, выполняющих штрафной удар, и вратарей нашим теоретическим расчетам соответствующих оптимальных смешанных стратегий? Обратите внимание на таблицу, составленную по данным, которые получил Игнасио Паласиос Уэрта, а также по данным наших расчетов[143].

 

 

Неплохо, не правда ли? Во всех случаях фактический процент стратегии «слева» в смешанной стратегии достаточно близок к оптимальному. Фактические смешанные стратегии обеспечивают почти одинаковый процент положительных результатов при любом выборе другого игрока, а значит, делают первого игрока неуязвимым к попыткам эксплуатации, предпринимаемым другим игроком.

Аналогичные доказательства совпадения фактических результатов игры и теоретических прогнозов были получены в процессе анализа профессиональных теннисных матчей высшего уровня[144]. В этом нет ничего удивительного. Одни и те же люди регулярно играют друг против друга и изучают методы соперника, поэтому любая более или менее очевидная схема будет замечена и использована противником с выгодой для себя. Ставки же в таких матчах очень высоки в плане денег, достижений и славы; следовательно, игроки весьма заинтересованы в том, чтобы не совершать ошибок.

Тем не менее теория игр не всегда обеспечивает благоприятный исход. Далее в этой главе мы проанализируем, насколько эффективен или неэффективен метод смешивания стратегий в других играх и почему. Но сначала давайте кратко сформулируем то, о чем шла речь, в виде очередного правила:

 

ПРАВИЛО № 5: в игре с чистым конфликтом (игре с нулевой суммой), если вам невыгодно заранее раскрывать сопернику свой фактический выбор, следует случайным образом выбрать одну из имеющихся у вас чистых стратегий. Смешивать стратегии нужно в такой пропорции, чтобы соперник не смог извлечь для себя выгоду из вашего выбора, придерживаясь любой из имеющихся в его распоряжении чистых стратегий. Иными словами, вы получаете один и тот же средний выигрыш, если ваша смешанная стратегия противопоставлена каждой из чистых стратегий соперника [145].

 

Если один игрок придерживается этого правила, другой не сможет добиться большего выигрыша, применив одну из своих чистых стратегий. Следовательно, для него не имеет большого значения, какую именно стратегию выбрать, и единственное, что ему остается сделать, – это использовать смешанную стратегию, предписанную ему тем же правилом. Когда этого правила придерживаются оба игрока, ни один из них не сможет добиться большего выигрыша, отклонившись от данной линии поведения. Это полностью соответствует определению равновесия Нэша, представленному в главе 4. Иными словами, в ситуации, когда оба игрока следуют этому правилу, мы имеем равновесие Нэша в смешанных стратегиях. Следовательно, теорему о минимаксе Неймана – Моргенштерна можно рассматривать как частный случай более общей теории Нэша. Теорема о минимаксе применима только к играм с нулевой суммой, рассчитанным на двух игроков, тогда как концепцию равновесия Нэша допускается использовать в играх с любым числом игроков и любым сочетанием конфликта и общности интересов.

В играх с нулевой суммой равновесие возможно и при отсутствии смешанных стратегий. Вот простой пример: предположим, у игрока, выполняющего пенальти, очень низкий процент успешных ударов слева от вратаря (это не его естественная сторона), даже когда вратарь неправильно угадывает его действия. Это может быть связано с высокой вероятностью того, что бьющий игрок в любом случае промахнется, если будет бить внешней стороной ступни. Предположим, таблица выигрышей в этом случае выглядит так:

 

 

В данном случае стратегия «справа» доминирующая для бьющего игрока и у него нет причин смешивать стратегии. В более общем случае равновесие возможно даже при наличии чистых стратегий, среди которых нет доминирующих. Но и здесь нет причин для беспокойства: методы поиска равновесия в смешанной стратегии также позволяют обнаружить равновесие в случае чистой стратегии как частный случай смешивания стратегий, в котором доля одной из них составляет 100 процентов.

 

 

Детская забава

 

23 октября 2005 года Эндрю Бергель из Торонто получил титул чемпиона мира в игре «камень, ножницы, бумага» (КНБ), а также золотую медаль Всемирной ассоциации игроков в КНБ. Стэн Лонг из Ньюарка выиграл серебряную медаль, а Стюарт Уолдман из Нью-Йорка – бронзовую.

Всемирная ассоциация игроков в КНБ поддерживает сайт www.worldrps.com, на котором публикуются правила игры и различные рекомендации по поводу стратегии. Кроме того, ассоциация проводит ежегодный чемпионат мира по игре КНБ. Знали ли вы о том, что игра, в которую вы играли в детстве, вышла на такой серьезный уровень?

Правила игры в КНБ сейчас те же, что были в вашем детстве; они описаны в главе 1. Два игрока одновременно выбирают (на жаргоне этой игры «выбрасывают») один из знаков рукой: кулак символизирует камень, расположенная горизонтально ладонь – бумагу, а указательный и средний пальцы, расставленные под углом и указывающие на соперника, – ножницы. Если оба игрока показали один знак, засчитывается ничья. Если игроки выбирают разные знаки, камень побеждает (ломает) ножницы, ножницы побеждают (режут) бумагу, а бумага побеждает (обертывает) камень. Каждая пара игроков проводит несколько раундов игры подряд, а участник соревнований, победивший в максимальном числе раундов, становится победителем матча.

Тщательно продуманные правила, опубликованные на сайте Всемирной ассоциации игроков в КНБ, регламентируют два важных момента соревнований по этой игре. Во-первых, точно описаны жесты, которые символизируют камень, ножницы и бумагу в момент выброса. Это предотвращает любые попытки мошенничества, когда один игрок делает жест, допускающий двоякое толкование, а затем заявляет, что его знак побеждает знак соперника. Во-вторых, в этих правилах описана последовательность действий, которые обозначаются как «исходная позиция, готовность, выброс», для того чтобы обеспечить одновременность ходов двух игроков. При таком подходе один игрок не может заранее увидеть, что сделал другой, и выбрать в ответ тот знак, который обеспечил бы ему победу.

Таким образом, мы имеем игру с параллельными ходами с участием двух игроков, у каждого из которых есть три чистые стратегии. Предположим, за победу засчитывается 1 очко, за поражение – 1, за ничью – 0; игроков назовем Эндрю и Стэн в честь победителей на чемпионате мира в 2005 году. Таблица этой игры выглядит так:

 

 

Что порекомендовала бы в этом случае теория игр? Это игра с нулевой суммой, поэтому раскрывать свой ход заранее невыгодно. Если Эндрю делает только один чистый ход, Стэн сможет ответить выигрышным ходом и сократить выигрыш Эндрю до –1. Если Эндрю смешает три хода в равных пропорциях, по ⅓ на каждый ход, это обеспечит ему средний выигрыш ⅓ × 1 + ⅓ × 0 + ⅓ × (–1) = 0 против любой из чистых стратегий Стэна. Поскольку игра имеет симметричную структуру, очевидно, что это лучшее, на что может рассчитывать Эндрю, и расчеты подтверждают эту интуитивную оценку. Та же аргументация верна и для Стэна. Следовательно, смешивание всех трех стратегий в равной пропорции – оптимальное решение для обоих игроков, которое и представляет собой равновесие Нэша в смешанных стратегиях.

Однако далеко не все участники чемпионата мира по игре «камень, ножницы, бумага» придерживаются такого подхода. На сайте ассоциации этот подход называют хаотичной игрой и не рекомендуют применять. «Критики этой стратегии настаивают на том, что случайного выброса просто не существует. Люди неизменно подчиняются какому-либо импульсу или склонности при выборе знака, а значит, придерживаются подсознательной, хотя и предсказуемой схемы игры. “Школа хаоса” теряет свое влияние в последнее время, поскольку статистика проведения турниров свидетельствует о более высокой эффективности таких стратегий».

Формирование «подсознательной, хотя и предсказуемой схемы игры» – это действительно серьезная, заслуживающая дальнейшего обсуждения проблема, и мы вернемся к ней немного позже. Но сначала посмотрим, каким стратегиям отдают предпочтение участники чемпионата мира по игре «камень, ножницы, бумага».

На сайте перечислен ряд «гамбитов», в частности стратегия с весьма удачным названием «бюрократ», которая сводится к трем последовательным выбросам знака «бумага», или стратегия «сэндвич с ножницами», которая состоит из ходов «бумага», «ножницы», «бумага». Достаточно часто используется стратегия исключения, когда игрок пропускает один из знаков. Идея таких стратегий заключается в том, что соперники сфокусируют все свое внимание на изменении схемы или на появлении пропущенного знака, а вы постараетесь воспользоваться этим слабым местом в их рассуждениях.

Кроме того, у игроков могут быть хорошо развиты навыки обмана и обнаружения обмана со стороны соперника. Такие игроки наблюдают за движениями тела и рук друг друга в поисках признаков того, какой именно знак те выбросят. С другой стороны, они пытаются ввести соперника в заблуждение, делая движения, которые предполагают один знак, а вместо этого выбирают совсем другой. Вратари и футболисты, выполняющие штрафной удар, тоже наблюдают за движениями ног и тела друг друга, чтобы догадаться, в какую сторону будет двигаться соперник. Такие навыки имеют очень большое значение. Например, во время серии послематчевых пенальти, которая решила исход матча в четвертьфинале чемпионата мира по футболу 2006 года между сборными Англии и Португалии, вратарь португальской команды каждый раз правильно угадывал направление удара и отбил три мяча, что обеспечило его команде победу.