Задача 2. Тема «Пространственная система сил»

Задача 2 – на равновесие твердого тела (вала), находящегося под действием системы сил, произвольно расположенных в пространстве. При решении данной задачи для определения искомых величин необходимо составить шесть уравнений равновесия [2, с. 86-89].

В случае, когда из общей схемы трудно определить момент силы относительно оси, рекомендуется изобразить на вспомогательной схеме проекцию рассматриваемого тела (вместе с силой) на плоскость, перпендикулярную данной оси. Если же при вычислении момента силы относительно оси возникают затруднения в определении проекции силы на соответствующую плоскость или плеча этой проекции, следует разложить силу на составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона.

Исходные данные для различных вариантов приведены в табл. 3.

Условия:

1. На горизонтальный вал, который может вращаться в подшипниках А и В, насажены шкив 1 радиусом r₁ = 12 см и шкив 2 радиусом r₂ = 16 см. Ветви ремней каждого шкива параллельны между собой и образуют соответственно углы α₁ с горизонталью и α₂ с вертикалью (рис. 4, схемы 1 – 3). Пренебрегая весом шкива и вала, найти натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня, а также реакции подшипников при равновесии вала. Натяжение ведущей ветви ремня принять вдвое больше натяжения ведомой (T₁ = 2t₁; T₂ = 2t₂).

2. На горизонтальный вал насажены колесо 1 радиусом r₁ = 20 см, колесо 2 радиусом r₂ = 30 см и прикреплен перпендикулярно оси вала (параллельно оси х) рычаг СD длиной = 20 см. К одному колесу приложена сила F, образующая с горизонталью угол α₁, а к другому – сила Т₂, образующая с вертикалью угол α₂; к рычагу приложена вертикальная сила Р (рис. 4, схемы 4 – 7). Пренебрегая весом вала, колес и рычага, определить силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.

3. На горизонтальный вал насажено колесо радиусом r₁ = 15 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной = 20 см, образующий с горизонтальной плоскостью угол α₂. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом α₁ к горизонту (рис. 4, схемы 8 – 10). Пренебрегая весом вала, колеса и рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В.

Таблица 3

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
Номер условия	Номер схемы (рис. 4)	Расстояния, м	Силы, Н	Углы, град.
a	b	c	F	T2	α1	α2
			1,0	1,1	1,0
			1,2	1,3	1,2
			1,4	1,5	1,4
			1,6	1,7	1,6
			1,8	1,9	1,8
			1,0	1,1	1,0
			1,2	1,3	1,2
			1,4	1,5	1,4
			1,6	1,7	1,6
			1,8	1,0	1,6

 

Рис. 4. Схемы к задаче 2

Пример решения задачи 2

Условие. На горизонтальный вал насажено колесо радиусом r₁ = 12 см и прикреплен перпендикулярно оси вала рычаг СD длиной = 20 см, образующий с горизонтальной плоскостью угол α₂=45°. Веревка, намотанная на колесо и натягиваемая грузом F=0,5 кН, сходит с колеса по касательной, наклоненной под углом α₁=30° к горизонту. Пренебрегая весом вала, колеса, рычага и трением в блоке, определить вертикальную силу Р, при которой вал находится в равновесии, а также реакции подшипников А и В, если a = 1,8 м, b = 1,0 м, c = 1,6 м (см.рис. 4, схема 10).

Решение. К валу кроме силы Р, действующей на рычаг СD, приложена реакция веревки (сила натяжения) T, численно равная силе тяжести груза F, так как, по условию задачи, трения в блоке нет (рис. 5, а). Направлена эта реакция вдоль веревки в ту сторону, куда веревка тянет блок. Реакции подшипников R_A и R_B, расположенные в плоскостях, перпендикулярных оси Аy, разложим на взаимно перпендикулярные составляющие R_Ax, R_Az, R_Bx и R_Bz. Направление составляющих выбирается произвольно.

 

Рис. 5

Составим уравнения равновесия для вала, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил, пять из которых – R_Ax, R_Az, R_Bx, R_Bz и Р, – неизвестны по модулю. Для этого необходимо сделать вид с положительного направления координатных осей, например с оси Ay (рис. 5, б).

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Из последнего соотношения найдем

Н.

Из соотношения (5) определим

Из соотношения (4) вычислим

Н.

Из соотношения (3) найдем

Н.

Из соотношения (1) выводим

Н.

Знак «минус» перед значениями реакций R_Az и R_Bx показывает, что эти реакции направлены противоположно указанным на рисунке.

Условие равновесия (2) обращается в тождество, так как проекции на ось y всех сил рассматриваемой системы равны нулю.

Для проверки правильности решения составим дополнительные контрольные уравнения равновесия моментов относительно осей x₁ и z₁, проходящих через точку В:

;

.

Подставив значения найденных реакций в эти уравнения, получим:

474×1,8+500×0,5×1,0–424,3×2,6 = 0;

240,6×1,8–500×cos30°×1,0 = 0.

Контрольные уравнения обращаются в тождества, что свидетельствует о правильности полученных ответов.

Модули реакций подшипников:

Результаты расчета сводим в таблицу (табл. 4).

Таблица 4

Силы, Н
P	RAx	RAz	RA	RBx	RBz	RB
	240,6	– 474	531,6	– 673,6	648,3	934,9

Кинематика