Контрольная работа по сопротивлению материалов

Задача 4. Тема «Растяжение – сжатие»

Условие. Произвести расчет стержня постоянного сечения (рис. 1) на прочность и жесткость. Материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ] = 210 МПа и модулем Юнга Е=2,1·10⁵ МПа. Требуется:

1) вычислить продольные силы на участках стержня и построить эпюру продольных сил N по его длине;

2) определить размеры поперечного сечения (сторону квадрата или диаметр);

3) вычислить нормальные напряжения на участках стержня и построить эпюру нормальных напряжений σ по его длине;

4) вычислить деформации участков стержня и построить эпюру перемещений δ.

Исходные цифровые данные приведены в табл. 1.

Таблица 1

Цифра шифра	Параметр	Цифра шифра
1-я	1, м	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3
2, м	1,3	1,2	1,1	1,0	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,4
3, м	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	2.0
4, м	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0	1,1	1,2	1,3
2-я	F1, МН	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2,0
F2, МН	2,1	2,2	2,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
F3, МН	2,0	1,9	1,8	1,7	1,6	1,5	1,4	1,3	1,2	1,1
3-я	Номер схемы (рис. 1)
Форма сечения	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат	Круг	Квадрат

 

Рис. 1. Схемы к задаче 4

Пример решения задачи 4

Условие. Произвести расчет цилиндрического стержня переменного поперечного сечения (рис. 2, в) на прочность и жесткость. Материал стержня – сталь с допускаемым напряжением [σ_с] = [σ_р] = 210 МПа и модулем Юнга Е = 2,1·10⁵ МПа. На стержень действуют силы F₁ = 500 кН; F₂ = 900 кН; F₃ = 1500 кН; размеры участков: ₁ = 0,6 м; ₂ = 0,4 м; ₃ = 1,0 м. Построить эпюры продольных сил N, нормальных напряжений σ и продольных перемещений δ. Определить диаметр стержня, исходя из условия равнопрочности всех его участков.

Решение. Составим уравнение равновесия сил на ось у:

Σ F_y = 0;

Σ F_y = – R_Аy + F₁ – F₂ + F₃ = 0,

откуда

R_Аy = F₁ – F₂ + F₃ = 500 – 900 + 1500 = 1100 кН.

Для определения внутренней продольной силы в различных сечениях выделим участки нагружения стержня. Сечения, разделяющие намеченные три участка, проходят через точки приложения сил и перпендикулярны оси их приложения.

Разрежем мысленно стержень по сечениям I – I, II – II, III – III. Из условия равновесия стержня ниже сечения I – I получим, что внутренняя продольная сила N_{I ‑ I} = F₁ = 500 кН (растяжение).

Из условия равновесия стержня ниже сечений II – II и III – III получим

N_{II ‑ II} = F₁ – F₂ = 500 – 900 = – 400 кН;

N_{III – III} = F₁ – F₂ + F₃ = 500 – 900 + 1500 = 1100 кН.

Отрицательное значение N_{II – II} свидетельствует о деформации сжатия на этом участке, положительное значение N_{III – III} – о растяжении.

Выбрав масштаб, построим эпюру продольных сил (рис. 2, б). При этом растягивающую силу считаем положительной, а сжимающую – отрицательной.

Из условия равнопрочности всех участков стержня определим площади и диаметры поперечных сечений.

На участке между сечениями А – А и В – В

А₁ = N₁ / [σ_р] = 5 · 10⁵ / 210 · 10⁶ = 2,4 · 10^–3 м²,

откуда диаметр стержня

d₁ = 0,055 м.

На участке между сечениями В – В и С – С

А₂ = N₂ / [σ_с] = 4 · 10⁵ / 210 · 10⁶ = 1,9 ·10^–3 м²,

откуда диаметр стержня

d₂ = 0,049 м.

На участке между сечениями С – С и D – D

А₃= N₃ / [σ_р] = 1,1 · 10⁶ / 210 · 10⁶ = 5,2 · 10^–3 м²,

откуда диаметр стержня

d₃= 0,082 м.

Рис. 2

Для вычисления перемещений определим деформации каждого из трех участков. Для этого преобразуем зависимость, выражающую закон Гука:

ε = σ/Ε,

где ε = Δ / ₀ = ( ₁ – ₀) / ₀ – относительное удлинение стержня; Δ – абсолютное удлинение стержня; ₀ – длина стержня до деформации; ₁ – длина стержня после деформации; σ = N / A – напряжение; Е – модуль Юнга.

Подставив значения ε и σ, получим

Δ / ₀ = N / ЕA,

откуда

Δ = N · ₀ / ЕA.

Деформацию соответствующих участков находим как

Δ ₁ = N_{1 01} / ЕA₁ = 5·10⁵ · 0,6 / 2,1 · 10⁵ · 10⁶·2,4 · 10^–3 =5,95·10^–4 м =0,595 мм;

Δ ₂ = N_{2 02}/ ЕA₂= 4 · 10⁵· 0,4 / 2,1 · 10⁵ · 10⁶ · 1,9 · 10^–3 = – 4,01 · 10^–4 м = – 0,401 мм;

Δ ₃= N_{3 03}/ ЕA₁ = 1,1·10⁶·1 / 2,1·10⁵·10⁶·5,3·10^–3 = 9,88·10 ^–4 м =0,988 мм.

Перемещение любого сечения стержня равно сумме деформаций участков, расположенных между сечением и опорой.

Перемещение сечения

D – D δ_{D – D} = 0.

Перемещение сечения С – С обусловлено деформацией участков, расположенных между D – D и C – C:

δ_{С – С} = Δ ₃ = 0,988 мм.

Перемещение сечения В – В обусловлено деформацией двух участков, расположенных между D – D и C – C, а также между С – С и В – В.

Тогда

δ_{В – В} = Δ ₃ + Δ ₂ = 0,988 – 0,401 = 0,587 мм.

Из аналогичных рассуждений определим перемещение сечения А – А:

δ_{А – А} = Δ ₃ + Δ ₂ + Δ ₁ = 1,182 мм.

В выбранном масштабе откладываем на эпюре (рис. 2, д) значения δ_{С – С}, δ_{В – В} и δ_{А – А} и соединяем полученные точки прямыми линиями, так как при действии сосредоточенных внешних сил перемещения линейно зависят от абсциссы сечения. В результате получаем эпюру перемещений δ.

Задача 5. Тема «Кручение»

Условие. К стальному ступенчатому валу, имеющему сплошное цилиндрическое поперечное сечение, приложены четыре крутящих момента (рис. 3). Левый конец вала жестко закреплен в опоре, а правый – свободен. Требуется:

Рис. 3. Схемы валов к задаче 5

1) построить эпюру крутящих моментов T_к по длине вала;

2) при заданном значении допускаемого напряжения на кручение [τ_к] определить диаметры d₁ и d₂ вала из расчета на прочность (полученные результаты округлить).

Исходные цифровые данные приведены в табл. 2.

Таблица 2

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
Крутящие моменты, кНм	Расстояния, м	[τк], МПа	Номер схемы (рис. 3)
Т1	Т2	Т3	Т4	a	b	c
	5,1	2,1	1,1	0,1	1,0	1,0	1,0
	5,2	2,2	1,2	0,2	1,1	1,1	1,1
	5,3	2,3	1,3	0,3	1,2	1,2	1,2
	5,4	2,4	1,4	0,4	1,3	1,3	1,3
	5,5	2,5	1,5	0,5	1,4	1,4	1,4
	5,6	2,6	1,6	0,6	1,5	1,5	1,5
	5,7	2,7	1,7	0,7	1,6	1,6	1,6
	5,8	2,8	1,8	0,8	1,7	1,7	1,7
	5,9	2,9	1,9	0,9	1,8	1,8	1,8
	6,0	3,0	2,0	1,0	1,9	1,9	1,9

Пример решения задачи 5

Условие. Рассмотрим решение задачи № 8 по варианту, соответствующему шифру зачетной книжки 000. По табл. 2 принимаем: схему 10; Т₁ = 6,0 кНм; Т₂ = 3,0 кНм; Т₃ = 2,0 кНм; Т₄ = 1,0 кНм; а = 1,9 м; b = 1,9 м; с = 1,9 м; [τ] = 50 МПа.

Решение. Для построения эпюры крутящих моментов разобьем вал на участки, границами которых являются характерные сечения (характерные сечения – сечения, в которых приложены внешние крутящие моменты, а также сечения, в которых изменяются поперечные размеры сечения вала).

Примем следующее правило знаков для внутреннего крутящего момента. Внутренний крутящий момент в сечении считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть вала против часовой стрелки (при взгляде на отсеченную часть со стороны сечения). Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечении будем считать отрицательным.

Величина крутящего момента в данном сечении равна алгебраической сумме внешних вращающих моментов, приложенных к отсеченной части.

Используя метод сечений, определим значения внутренних крутящих моментов на участках вала, разделенных характерными сечениями.

I участок:

Т_к^I = Т₄ = 1,0 кНм;

II участок:

Т_к^II = Т₄ – Т₃ = 1,0–2,0 = – 1,0 кНм;

III участок:

Т_к^III = Т₄ – Т₃ + Т₂ = 1,0–2,0 + 3,0 = 2,0 кНм;

IV участок:

Т_к^IV = Т₄ – Т₃ + Т_{2 –} Т₁ = 1,0–2,0 + 3,0 = 2,0 кНм.

Построим эпюру внутренних крутящих моментов Т_к (рис. 4).

Определим из условия прочности при кручении диаметры вала:

.

По условию задачи диаметры вала на участках I и II равны. Из анализа эпюры Т_к видно, что крутящие моменты, действующие на этих участках, равны по абсолютной величине. Поэтому Т_max = 1 кНм. Тогда

.

Полученное значение диаметра округляем до ближайшего (в сторону увеличения) из ряда диаметров по ГОСТ 6963–69. Принимаем d₁= d₂=48 мм.

Диаметры вала на участках III и IV по условию задачи одинаковы; Т_max = 4,0 кНм.

Тогда, поскольку на четвертом участке действует момент больший, чем на третьем,

.

Принимаем d₁ = 75 мм.

Рис. 4