Задача 6. Тема «поперечный изгиб»

Условие. Для заданной схемы балки (рис. 5) требуется:

1) записать уравнение в общем виде для определения поперечных сил Q и изгибающих моментов М_и на каждом участке балки;

2) построить эпюры поперечных сил Q и изгибающего момента M_и;

3) найти максимальный изгибающий момент М_max и подобрать по ГОСТу стальную балку двутаврового поперечного сечения.

Рис. 5. Схемы к задаче 6

Допускаемое напряжение на изгиб принять равным [σ_и]=150 МПа.

Исходные цифровые данные представлены в табл. 3.

Таблица 3

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
а, м	b, м	с, м	, м	М, кНм	F, кН	q, кН/м	Номер схемы (рис. 5)
	2.0	3,2	1,8
	2,2	3,4	1,9
	2.4	3,6	2,0
	2,6	3,8	2,1
	2,8	4,0	2,2
	3,0	4,2	2,3
	3,2	4,4	2,4
	3,4	4,6	2,5
	3,6	4,8	2,6
	3,8	5,0	2,7

Пример решения задачи 6

Данная задача относится к теме «Поперечный изгиб». Задачи подобного типа возникают достаточно часто при расчете различных конструкций.

Прежде всего необходимо усвоить понятия «поперечная сила (Q)» и «изгибающий момент (M)» и научиться строить эпюры Q и M.

Поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.

Изгибающий момент М в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

Поперечная сила в сечении балки mn (рис. 6, а) считается положительной, если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа – сверху вниз, и отрицательной – в противном случае (рис. 6, б).

Рис. 6

Условие. Изгибающий момент М будем считать положительным, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз (рис. 7, а), и отрицательным, если она изгибается выпуклостью вверх (рис. 7, б)

Рис. 7

Решение. Рассмотрим решение задачи № 9 по варианту, соответствующему шифру 000. По табл. 3 принимаем: схему 10; а = 3,8 м; b = 5,0 м; с = 2,7 м; = 14,0 м; М = 11,0 кНм; F = 11 кН; q =13 кН/м.

Определим опорные реакции R_А и R_В (рис. 8, а):

Σ М_А ( _i) = 0;

q·a·a/2 + M – R_B·( – a – c) – F·( – a) = 0,

откуда

.

Знак «минус» означает, что направление реакции R_В выбрано неверно. Реакция R_В направлена вверх.

Рис. 8

Для определения реакции R_A составим уравнение равновесия моментов относительно точки В:

Σ М_В ( _i) = 0;

q·a · ( – c – a/2) – R_A · ( – a – c) + M – F · c = 0;

.

Проверим правильность определения реакций опор, для чего спроектируем все силы на ось y:

Σ F_y ( _i) = 0;

– q · a + R_A – R_B – F = – 13 · 3,8 + 59,4 – (–1) – 11 = 0.

Определим значения поперечных сил Q изгибающих моментов М на каждом участке балки, применяя метод сечений.

I участок:

Q_y^I = – q · z.

Это уравнение прямой, поэтому достаточно вычислить значение поперечной силы в начале и конце участка, чтобы определить на эпюре Q ее значение в любой точке при 0 < z < a:

Q_y^I|_z=0 = 0;

Q_y^I|_z=a = − q · a =− 13 · 3,8 = − 49,4 кН;

М_x^I = − q · z · z/2;

М_x^I|_z=0 = 0;

М_x^I|_z=a = − q · a ·a / 2 = − 13 ·3,8 · 1,9 = − 93,9 кНм.

II участок:

Q_y^II = − q · a + R_A;

Q_y^II|_z=a= Q_y^II|_z=a+b= − 49,4 + 59,4 = 10 кН;

М_x^II = − q · a · (z − a /2) + R_A · (z −a);

М_x^II|_z=a = − q · a² / 2 = − 13 · 3,8² /2 = − 93,9 кНм;

М_x^II|_z=a+b = −q · a · (а/2 + b) + R_A · b = − 13 · 3,8 · (3,8 / 2 + 5) =

= 59,4 · 5 = 43,9 кНм.

III участок:

Q_y^III = − q · a + R_A;

Q_y^III|_z=a+b= Q_y^III|_{z= −c} = − 49,4 + 59,4 = 10 кН;

М_x^III = − q · a · (z − a /2) + R_A · (z −a) − M;

М_x^III|_z=a+b = − q · a · (а/2 + b) + R_A · b − M =

= − 13 · 3,8 · (3,8 / 2 + 5) =59,4 · 5 − 11= − 54,9 кНм;

М_x^III|_{z= −c} = − q · a · ( − c − a/2) + R_A · ( − c − a) − M =

= − 13 · 3,8 · (14− 2,7 − 3,8/2) + 59,4· (14 − 2,7 − 3,8) − 11= − 29,7 кНм.

IV участок:

Q_у^IV = − q∙a + R_A – R_B = − 49,4 + 59,4 + 1 = 11 кН;

М_x^IV = − q∙a· (z – a/2) + R_A (z – a) – M – R_B∙ (z – + c);

M_x^IV |_{z = – c} = − q∙a∙ ( − c − a/2) + R_A∙ ( − c – a) − M =

= − 13 · 3,8 ∙ (14,0 − 2,7 − 3,8/2) + 59,4 (14 − 2,7−3,8) − 11 = − 29,7 кНм;

М_x^IV|_{z =} = − q∙a∙ ( − a/2) + R_A ( − a) − M − R_B c =

= − 13 · 3,8 (14 − 3,8/2) + 59,4 (14 – 3,8) − 11 + 1 · 2,7 = 0.

Построим эпюру Q (рис. 8, б). Следует обратить внимание на уравнение, согласно которому изменяется Q. На первом участке это уравнение прямой, проходящей через начало координат. При значении z = a Q принимает наибольшее значение. В точке А поперечная сила скачкообразно возрастает на величину R_A и затем, как следует из уравнений для Q_У^II и Q_У^III, остается неизменной до точки В, где скачкообразно возрастает на величину R_B. На протяжении IV участка поперечная сила остается постоянной.

Аналогичный анализ уравнений изменения изгибающего момента на всех участках следует провести и при построении эпюры М (рис. 8, в). На участке I величина момента изменяется по параболе, причем выпуклость ее направлена вверх. Значения моментов на концах этого участка вычисляются при значениях z, равных соответственно 0 и а. На участках II – IV зависимость момента от координат точки на оси z линейная. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре М возникает скачок, равный его величине.

В целом при построении эпюр необходимо обратить внимание на следующую зависимость. На тех участках балки, где изгибающий момент изменяется по параболе (кривая 2-го порядка), поперечная сила изменяется по линейному закону, т. е. эпюра − наклонная прямая (линия первого порядка). Там же, где М_и изменяется по линейному закону (т. е. эпюра М_и – наклонная прямая), а поперечная сила Q постоянна, эпюра – горизонтальная прямая (линия нулевого порядка). Вообще порядок уравнения, описывающего закон изменения Q, на единицу ниже порядка уравнения, выражающего закон изменения М_и.

Как следует из эпюры М_и, опасное сечение будет расположено на опоре А, где действует максимальный изгибающий момент М_max = 93,9 кНм.

Из условия прочности при изгибе

σ = ≤ [σ]

определим необходимый момент сопротивления балки:

= = = 0, 626 · 10^–3 м³= 626 см³.

Согласно ГОСТ 8239 – 72 подбираем двутавр с моментом сопротивления W_x, ближайшим к вычисленному (приложение). Таковым является двутавр № 36, у которого W_x = 743 см³.

Вычислим максимальное нормальное напряжение в рассчитываемой балке:

,

что меньше допускаемого напряжения [σ] = 150 МПа.

При расчете консольно закрепленной балки (задача 10) можно использовать вышеизложенную методику решения задачи.