Задача 3. Тема «плоское движение твердого тела»

Поскольку задача 4 относится к теме «Плоское движение твердого тела» [1, 127-130, 132], скорость ползуна для данного положения механизма можно вычислить с помощью мгновенного центра скоростей шатуна. Для этого необходимо знать скорость какой-нибудь точки шатуна (например точки А) и направление скорости ползуна.

Ускорение ползуна в данный момент времени можно найти с помощью векторной формулы распределения ускорений точек плоской фигуры, спроектировав ее на два взаимно перпендикулярных направления. В качестве полюса удобно принять точку А.

Условие. Кривошип ОА длиной R вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w и приводит в движение шатун АВ длиной и ползун В. Для заданного положения механизма найти скорости и ускорения ползуна В и точки С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эта точка принадлежит.

Схемы механизмов приведены на рис. 9, а необходимые для расчета данные – в табл. 7.

Рис. 6. Схемы к задаче 4

Таблица 7

Цифра шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
R, см	, cм	a, град	b, град	w, c^-1	Номер схемы (рис. 9)	АС
							0,2 (АВ)
							0,3 (АВ)
							0,4 (АВ)
							0,5 (АВ)
							0,6 (АВ)
							0,7 (АВ)
							0,6 (АВ)
							0,5 (АВ)
							0,4 (АВ)
							0,3 (АВ)

Примечание. Если при заданных значениях углов окажется, что шатун АВ перпендикулярен направляющим ползуна (см. рис. 9, схемы 1, 6), то значение угла b следует принять равным 15°.

Пример решения задачи 3

Условие. Кривошип ОА длиной R=64 см вращается вокруг неподвижной оси О с постоянной угловой скоростью w=1 рад /с и приводит в движение шатун АВ длиной =80 см и ползун В. Для положения механизма, заданного значениями углов a=60°, b=45,° найти скорости и ускорения ползуна В и точки С, а также угловое ускорение звена, которому эта точка принадлежит (АС=0,5 АВ). Схема механизма приведена на рис. 10, а.

Решение: 1. Определим скорость точки А кривошипа как вращательную вокруг неподвижной точки О по соотношению . Скорость точки А перпендикулярна кривошипу ОА. Для определения скорости точки В найдем положение мгновенного центра скоростейР_АВ шатуна АВ, для чего покажем направление скоростей точек А и В (скорость ползуна В имеет вектор по направляющим n – n), а затем из точек А и В восстановим перпендикуляры к скоростям v_A и v_B. Мгновенный центр скоростей Р_АВ шатуна АВ находится на пересечении этих перпендикуляров (рис. 10, б).

Рис. 7

Рассмотрим движение шатуна в данный момент времени как вращательное относительно оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р_АВ перпендикулярно неподвижной плоскости, по отношению к которой происходит плоское движение. Угловая скорость шатуна АВ в этом случае определяется из соотношения

.

Модули скоростей точек В и С как вращательные – из соотношений ;

.

Расстояния АР_АВ, BP_АВ и СР_АВ определим путем рассмотрения треугольников АВР_АВ и АСР_АВ, применив теоремы синусов и косинусов. Для заданного положения механизма получим

,

откуда

Подставив найденные значения расстояний в соответствующие формулы, получим

;

;

.

Вектор направлен перпендикулярно отрезку СР_AB в сторону, соответствующую направлению вращения звена АВ.

Направления скоростей показаны на рис. 10, б.

2. Для определения ускорений точек B, С и углового ускорения звена АВ воспользуемся векторным равенством, выбрав за полюс точку А, ускорение которой известно по величине и направлению:

, (1)

где – ускорение ползуна В; – ускорение точки А, выбранной за полюс; – центростремительное (осестремительное, нормальное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А; – вращательное (касательное) ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А.

Ускорение точки А кривошипа в общем случае складывается из центростремительной и вращательной составляющих . Поскольку по условию кривошип ОА вращается равномерно, то и ускорение точки А состоит только из центростремительной составляющей, модуль которой определяется по формуле

.

Вектор ускорения точки А направлен к центру вращения звена О (рис. 10, в).

Центростремительное ускорение точки В определяется по формуле

.

Вектор направлен от точки В к полюсу – точке А.

Что касается ускорения точки В – и вращательного ускорения , то известны только линии действия этих векторов: – по направляющей, расположенной под углом b к звену АВ; – перпендикулярно звену АВ.

Зададимся произвольно их направлениями по указанным линиям (см. рис. 10, в) и спроектируем уравнение (1) на оси координат. Знак в ответе покажет, соответствует ли истинное направление вектора принятому при расчете.

Выбрав направления осей х и у, как показано на рис. 10, в, получаем

; (2)

. (3)

Из уравнения (2) находим

Направление ускорения показано на рис. 10, в.

Из уравнения (3) получаем

.

Знак «минус» показывает, что истинное направление противоположно показанному на рис. 10, в.

Ускорение и все его составляющие с учетом их истинных направлений представлены на рис. 10, г.

Угловое ускорение шатуна АВ с учетом того, что здесь – алгебраическая величина, определяется по формуле

.

Вычисляя, находим

.

Направление ускорения относительно полюса А определяет направление углового ускорения . Здесь под направлением углового ускорения понимается направление дуговой стрелки, которое при ускоренном вращении звена совпадает с направлением его вращения, а при замедленном – противоположно ему. В данном случае угловое ускорение совпадает с направлением вращения шатуна.

3. Для определения ускорения точки С воспользуемся векторным уравнением

. (4)

Вращательное и центростремительное ускорения точки С во вращательном движении звена АВ вокруг полюса А определяются следующим образом:

;

.

Вектор перпендикулярен вектору и направлен соответственно угловому ускорению (см. рис. 10, в).

Ускорение точки С находим, проектируя уравнение (4) на оси координат (см. рис. 10, в):

;

.

Полное ускорение точки С