Дифференциальные уравнения движения точек механической системы.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек M_i c массами m_i (i = 1, 2, …, n), на каждую из которых действует равнодействующая внешних F_i^(e) и внутренних F_i⁽ⁱ⁾сил.

Для каждой точки системы можно записать основное уравнение динамики:

m_ia_i = F_i^(e) + F_i⁽ⁱ⁾ , (i = 1, 2, …, n). (3.4)

Проектируя каждое из уравнений (3.4) на оси координат, получим систему 3n дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих движение системы

(3.5)

(i = 1, 2, …, n).
Эти уравнения и называются дифференциальными уравнениями движения системы. Вместе с соответствующими начальными условиями они образуют задачу Коши, решив которую, мы найдем закон движения механической системы.

О том, насколько сложной является поставленная задача можно судить хотя бы по тому, что к настоящему времени в общем виде она решена только для n = 2.

Теорема о движении центра масс. Закон сохранения движения центра масс.

Центр масс — воображаемая точка С, положение которой характеризует распределение масс этой системы.

Закон движения центра масс — в инерциальных системах отсчёта центр масс системы движется как материальная точка, в которой находится масса всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

; ;

Система центра масс — система отсчёта, относительно которой центр масс механической системы неподви жен.

Центр масс механической системы движется как точка, масса которой равна массе всей системы M=Σm_i, к которой приложены все внешние силы системы:

или в координатной форме:

где - ускорение центра масс и его проекции на оси декартовых координат; внешняя сила и ее проекции на оси декартовых координат.

 

Меры механического движения (количество движения , момент количества движения, кинетическая энергия) .

Количество движения, мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массы m на скорость v.

Количество движения Q механической системы равно геометрической сумме Количество движения всех её точек или произведению массы М всей системы на скорость v её центра масс.

МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ - одна из динамич. характеристик движения материальной точки или механич. системы.

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек.

 

Меры силового воздействия (импульс силы , работа силы).

Элементарным импульсом силы называется векторная величина равная произведению силы на бесконечно малый промежуток времени её действия. Импульс силы за конечный промежуток времени равен интегральной сумме :

Работа силы - мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения.

 

Количество движения. Теорема об изменении количества движения материальной точки.

1)теорема в дифференциальной форме

Производная по времени количества движения м.т. равна векторной сумме действующих на неё сил:

2)теорема в конечной (интегральной форме): изменение количества движения м.т. за некоторый промежуток времени , равно векторной сумме импульсов действующих на неё сил :

Количество движения, мера механического движения, равная для материальной точки произведению её массы m на скорость v. К. л. mv — величина векторная, направленная так же, как скорость точки.

Закон сохранения количества движения м.т. :

2)

 

Теорема об изменении количества движения механической системы в дифференциальной и интегральной форме. Закон сохранения количества движения.

- производная по времени от количества движения мех.сист. равна векторной сумме приложенных к ней внешних сил.

- изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов действующих на систему внешних сил за тот-же промежуток времени.