Кинетические характеристики движения механической системы.

Количество движения.

Количеством движения механической системы называется векторная величина , равная геометрической сумме количеств движений всех точек системы:

(4.12)

Где - количество движения k – ой точки. Количество движения можно представить также в следующей форме

(4.13)

Здесь - масса системы и скорость её центра масс соответственно.

Главный момент количества движения или кинетический момент механической системы.

Кинетическим моментом механической системы относительно которого центра О называется векторная величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения точек системы относительно центра О.

(4.14)

где - момент количества движения k-ой точки относительно центра О.

Момент количества движения системы относительно оси, проходящей через точку О - есть проекция вектора на эту ось. В случае твердого тела.

(4.15)

Где - соответственно момент инерции тела относительно оси и проекция угловой скорости на эту ось. Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной оси, то

Кинетическая энергия.

Кинетическая энергия механической системы есть величина равная сумме кинетических энергий соответствующих её точек.

(4.16)

При вычислении кинетической энергии механической системы удобно пользоваться формулой

(4.17)

которая следует из теоремы Кёнига. Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии центра масс и кинетической энергии системы в её движении относительно центра масс.

В зависимости от характера движения тела рассмотрим следующие простейшие частные случаи:

1) Кинетическая энергия при поступательном движении, которое характеризуется (k = 1,2,…,n)

(4.18)

М – масса системы;

2) При вращении вокруг неподвижной оси , и поэтому

(4.19)

где - радиус вращения (расстояние до оси вращения) точки;

3) В случае плоскопараллельного движения

(4.20)

где - скорость центра масс, - момент инерции тела относительно центральной оси. Структура формула (3.20) отражает тот факт, что плоскопараллельное движение является результатом сложения поступательного и вращательного его движения.

 

Общие теоремы динамики точки и механической системы. Теорема о движении центра масс системы.

Центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

(4.21)

уравнение движения центра масс системы в векторной форме и в скалярной форме:

(4.22)

Закон сохранения движения центра масс.

1. Если , то из выражения (4.21) следует, что или . Следовательно, если сумма внешних сил равна нулю, то центр масс системы движется с постоянной скоростью (равномерно и прямолинейно). Таким образом, действие внутренних сил движения центра масс изменить не может.
2. Если в уравнениях (4.22) имеет место , то первое из этих уравнений дает или . При этом порядок системы дифференциальных уравнений снижается на единицу. Если в начальный момент , то и в любой другой момент вращения или . В этом случае механическая система совершает плоскопараллельное движение. Порядок системы уравнений (4.22) снижается на две единицы.

Теорема об изменении количества движения материальной точки и механической системы.

Для характеристики действия силы, оказываемого на тело за некоторый промежуток времени, вводится понятие об импульсе силы:

- элементарный импульс силы;

- импульс силы за конечный промежуток времени, причем

и .

 

Запишем основное уравнение динамики для материальной точки с постоянной массой в форме.

или (4.23)

Уравнение (4.23) выражает теорему об изменении количества движения точки. Интегрируя выражение (4.23) по t от 0 до t, и от до , получим

(4.24)

Уравнение (4.24) выражает теорему об изменении количества движения точки в конечном виде: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на неё сил за тот же промежуток времени.

Проектируя равенство (4.24) на координатные оси получим скалярные уравнения

(4.25)

которые используются при решении задач.