Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Первая и вторая задачи динамики.

Принимая во внимание то, что ускорение точки есть вторая производная по времени от её радиуса – вектора, а сила может зависеть от времени, положения и скорости точки, равенство (4.1) можно записать в виде:

(4.2)

Это выражение называют дифференциальным уравнением движения свободной точки в векторной форме.

Записывая его в проекциях на декартовые оси, получаем дифференциальные уравнения точки в скалярной форме.

(4.3)

а в проекциях на оси естественного трехгранника имеем:

(4.4)

Из уравнений (4.4) следует, что равнодействующая (так же как и ускорение точки ) лежит в соприкасающейся плоскости.

Если точка несвободная, то силу целесообразно записывать в виде:

Где - соответственно равнодействующие активных сил и реакций связи.

Как видно из дифференциальных уравнений движения, в динамике материальной точки можно решить две задачи.

Первая (прямая) задача динамики.

Даны уравнения движения точки, например в координатной форме:

(4.5)

Требуется найти действующие на неё силы. Решение этой задачи сводится дифференцированию выражений (4.5) по времени.

Вторая (обратная) задача динамики.

Даны силы, действующие на точку

(4.6)

требуется найти закон движения точки. Решение этой задачи значительно сложнее. Оно сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений при соответствующих начальных условиях. Число начальных условий равно порядку системы дифференциальных уравнений, в общем случае (4.6) – шести:

Задача D1 посвящена второй задаче динамики.

 

Задача Д1.

Груз D массой m, получил в точке A начальную скорость , движется в изогнутой трубе ABC, расположенной в вертикальной плоскости; участки трубы или оба наклонные, или один горизонтальный, а другой наклонный (рис. Д1.0 – Д1.9, табл. Д1).

На участке AB на груз кроме силы тяжести действует постоянная сила (ее направление показано на рисунках) и сила сопротивления среды , зависящая от скорости , груза (направлена против движения); трением груза о трубу на участке AB пренебречь.

В точке B груз, не изменяя своей скорости, переходит на участок BC трубы, где на него кроме силы тяжести действуют сила трения (коэффициент трения груза о трубу = 0.2) и переменная сила на ось x задана в таблице.

Считая груз материальной точкой и зная расстояние AB = l или время движения груза на участке BC, т.е. x = , где x = BD.

Указания. Задача Д1 – на интегрирование дифференциальных уравнений движения точки (решение второй задачи динамики). Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать методом разделения переменных дифференциальное уравнение движения точки (груза) на участке AB, учтя начальные условия. Затем, зная время движения груза на участке, определить скорость груза в точке B. Эта скорость будет начальной для движения груза на участке BC тоже с учетом начальных условий, ведя отсчет времени от момента, когда груз находится в точке B, и полагая в этот момент t = 0. При интегрировании уравнения движения на участке AB в случае, когда задана длина участка, целесообразно перейти к переменному x, учтя, что

Таблица Д1

.

 

 

Номер условия	m, кг	, м/с	Q, Н	R, H	, м	, с	, Н
	2,4 4,5 1,6 1,8 4,8			0.4 0,8 0,5 0,6 0,4 0,5 0,3 0,8 0,5 0,2	- 1,5 - - - 2,5 -	2.5 - - - - -	2sin(4t) 6t 3sim(2t) -3cos(2t) 4cos(4t) -6sin(2t) 9 -3cos(4t) 2cos(2t) -6sin(4t)

 

 

	Рис. Д1.0		Рис. Д1.1

 

 

Рис. Д1.2

Рис. Д1.3

 

Рис. Д1.5

Рис. Д1.4

 

 

Рис. Д1.7

Рис. Д1.6

 

Рис. Д1.9

Рис. Д1.8

 

Пример Д1. На вертикальном участке АВ трубы (рис. Д1) на груз D массой т действуют сила тяжести и сила сопротивления R; расстояние от точки А, где до точки В равно l. На на­клонном участке ВС на груз действуют сила тяжести и переменная сила F = F(t), заданная в ньютонах.

Дано: т = 2 кг, R = ,где = 0,4 кг/м, V ₀ = 5 м/с, l = 2,5 м, F_t = 16sin(4t). Опреде­лить: x = — закон движения груза на участке ВС.

Решение. 1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая груз материальной точкой. Изображаем груз (в произвольном положении) и действующие на него силы Р = и . Проводим ось Az и составляем дифференциальное уравнение движения груза в проекции на эту ось:

Рис. Д1

или (1)

 

Далее находим ; подчеркиваем, что в уравнении все переменные силы надо обязательно выразить через величины, от которых они зависят. Учтя еще, что получим

или (2)

Введем для сокращения записей обозначения

, (3)

Где при подсчете принято . Тогда уравнение (2) можно представить в виде

(4)

Разделяя в уравнении (4) переменные, а затем беря от обеих частей интегралы, получим

 

и (5)

По начальным условиям при z = 0 , что дает = и из равенства (5) находим или . Отсюда

 

и

В результате находим

(6)

Полагая в равенстве (6) z = l = 2,5 м и заменяя kи п их значе­ниями (3), определим скорость v _в груза в точке В ( м/с, число e = 2,7):

и м/с (7)

2. Рассмотрим теперь движение груза на участке ВС; найденная скорость V_B будет для движения на этом участке начальной скоростью (у₀ = V _B). Изображаем груз (в произвольном положении) и действую­щие на него силы Р — mgJ^,F_J9 и F. Проведем из точки В оси Вх и By и составим дифференциальное уравнение движения груза в проекции на ось Вх:

или

(8)

где . Для определения N составим уравнение в проекции на ось By. Так как а_у = 0, получим 0 = N — , откуда . Следовательно, ; кроме того, F_x = 16sin(4t) и уравнение (8) примет вид

(9)

Разделив обе части равенства на т, вычислим ; 16/m =8 и подставим эти значе­ния в (9). Тогда получим

(10)

Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, найдем

(11)

Будем теперь отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, считая в этот момент t = 0. Тогда при t = 0; v = = , где Уд дается равенством (7). Подставляя эти величины в (11), получим

При найденном значении уравнение (11) дает

(12)

Умножая здесь обе части на dtи снова интегрируя, найдем

(13)

Так как при t = 0 x = 0, то я окончательно искомый закон движения груза будет

(14)

где х — в метрах, t — в секундах.

 

Механическая система. Основные понятия.

Механической системой называется совокупность материальных точек или тел, в которой движение каждой из них зависит от движения остальных.

При рассмотрении механических систем различают внешние и внутренние силы. Силы действующие на точку механической системы со стороны точек (или тел) не входящих в систему, называются внешними и обозначаются , где k – индекс соответствующей точки системы. Силы, характеризующие взаимодействие точек (или тел) самой системы называются внутренними и обозначаются . В динамике системы активные силы, силы инерции и реакции связей соответственно обозначаются: .

В соответствии с третьим законом Ньютона, внутренние силы удовлетворяют

следующим условиям.

1. 2. 3. – работа внутренних сил неизменяемой системы равно нулю.

Массой механической системы называется сумма масс материальных точек системы

(4.7)

Центром масс механической системы называется геометрическая точка, радиус – вектор которой определяется формулой.

(4.8)

Отсюда следует и скалярные выражения для координат центра масс.

(4.9)

При изучении движения твердого тела, важную роль играют моменты инерции, Моментом инерции относительно оси называется сумма произведений масс точек тела на квадраты их расстояний до этой оси.

(4.10)

Обычно ось, относительно которой вычисляется осевой момент инерции, указывается соответствующим индексом, например: . Момент инерции относительно центральной оси, проходящей через центр масс тела, часто обозначают .

Для определения закона движения точек механической системы на основании второго закона Ньютона можно записать.

(k = 1,2,…,n) (4.11)

Здесь - соответственно масса ускорение k – ой точки системы, результирующая внешних и внутренних сил, приложенных в этой точке. Решение этих уравнений в общем случае оказывается трудным и громоздким, а иногда и невозможным.

Вместе с тем во многих задачах в этом нет необходимости. Для описания движения достаточно знать поведение с течением времени интегральных кинетических характеристик системы, которые определяются общими теориями динамики системы.