Лекция 1. Понятие о дифференциальном уравнении. Дифференциальные уравнения первого порядка

 

Оглавление

 

§1. Задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям

Задача 1. Остывание тела

Задача 2. Движение парашюта

Задача 3. Цепная линия

Задача 4. Демографический процесс

§ 2. Основные определения

Дифференциальное уравнение

Обыкновенное дифференциальное уравнение

Порядок дифференциального уравнения

Решение (интеграл) дифференциального уравнения

Интегрирование дифференциального уравнения.

Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка

Частное решение дифференциального уравнения п-го порядка

Интегральная кривая

§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка

Уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной

Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения

Задача Коши

Особые точки дифференциального уравнения первого порядка

Общее решением дифференциального уравнения первого порядка

Частное решение дифференциального уравнения первого порядка

 

 

§ 1. Задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям

 

При решении многих задач математики, физики и ряда задач экономики, биологии, экологии и др. не удается установить непосредственную зависимость между искомыми и данными величинами (т.е. не удается сразу найти функцию ), но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные. Такое уравнение называется дифференциальным. Оно может не содержать в явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обязательно должно содержать одну или несколько производных искомой функции.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к дифференциальным уравнениям.

Задача 1. Остывание тела. Тело охладилось за 10 минут от 100 до 60 градусов. Температура окружающего воздуха поддерживается постоянной и равной 10 градусам. Определить, через сколько минут температура тела станет равной 20 градусам.

На первый взгляд, может показаться, что эта задача решается элементарно: если тело за 10 минут охладилось на 40 градусов (100 – 60 = 40), то еще на 40 градусов (60 – 20 = 40) оно охладится также за 10 минут. Таким образом, от 100 до 20 градусов тело охладится через 20 минут.

Однако такое рассуждение ошибочно. Дело в том, что, как известно из физики, скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой, до которой нагрето тело, и температурой окружающей среды:

,

где k – коэффициент пропорциональности, подлежащий определению.

Скорость охлаждения тела – это быстрота изменения его температуры, т.е. производная температуры по времени . Учитывая, что по условию задачи Т _среды = 10 градусов и постоянна, получим

.

Мы пришли к дифференциальному уравнению, которое связывает искомую функцию и ее производную и не содержит в явном виде независимую переменную. При решении этого уравнения, следует учитывать, что искомая функция должна удовлетворять следующим требованиям, указанным в задаче: в начальный момент времени t = 0 температура тела Т = 100 градусов; при t = 10 (минут) температура тела Т = 60 градусов.

 

Задача 2. Движение парашюта. С некоторой высоты сброшено тело, масса которого т. Требуется установить, по какому закону будет изменяться скорость v падения этого тела, если на него, кроме силы тяжести, действует тормозящая сила сопротивления воздуха, пропорциональная скорости (с коэффициентом пропорциональности k), т.е. требуется найти .

По второму закону Ньютона , где а – ускорение движущегося тела, а F – сила, действующая на тело в направлении движения. Эта сила складывается из двух: силы тяжести и силы сопротивления воздуха (берем ее с отрицательным знаком, т.к. она направлена в сторону, противоположную направлению скорости).

Учитывая, что ускорение есть производная скорости по времени, т.е. , получим:

.

Как и в первой задаче, мы пришли к дифференциальному уравнению, которое связывает искомую функцию и ее производную и не содержит в явном виде независимую переменную. Это уравнение движения некоторых типов парашютов.

Задача 3. Цепная линия. Гибкая однородная нить подвешена за два конца. Найти уравнение кривой, по которой расположится нить под действием

собственного веса (именно так располагаются подвешенные канаты, провода, цепи) (Рис.1). Решая данную задачу, как физическую, получают соотношение , где φ – угол между осью Ох и касательной к искомой линии, s – длина дуги, γ – линейный удельный вес нити, Н – натяжение нити.

Рис.1.

Зная, что (геометрический смысл производной) и обозначив через а отношение , получим

.

Продифференцируем обе части равенства по х:

.

Из аналитической геометрии известно, что . Тогда получим:

или .

Полученное дифференциальное уравнение выражает связь между первой и второй производными от некоторой функции у. Его решение есть уравнение цепной линии.

 

Задача 4. Демографический процесс. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорционально численности населения с коэффициентами пропорциональности соответственно k ₁ и k ₂. Найти закон изменения численности населения с течением времени (описать протекание демографического процесса).

Пусть – число жителей региона в момент времени t, тогда число новорожденных за единицу времени равно , а число умерших за единицу времени равно . В этом случае за время Δ t число родившихся равно , а число умерших – .

Прирост населения Δ у за время Δ t равен разности между числом родившихся и числом умерших за это время, т.е. .

Поделим обе части уравнения на Δ t и обозначим k ₁ – k ₂ = k, получим:

Переходя к пределу при Δ t → 0, имеем

Учитывая, что и получаем дифференциальное уравнение: , которое является математической моделью демографического процесса. Решение этого уравнения и будет законом изменения численности населения с течением времени.

 

Как видим, в процессе решения приведенных выше задач, мы всегда приходим к дифференциальным уравнениям. Изучению методов решения различных видов дифференциальных уравнений будут посвящены наши дальнейшие занятия.

 

 

§ 2. Основные определения

 

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию и ее производные .

Символически дифференциальное уравнение можно записать так:

или

Если искомая функция есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Мы будем заниматься только обыкновенными дифференциальными уравнениями^[1].

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Так, например, уравнение из Задачи 4 есть уравнение первого порядка, а уравнение из Задачи 3 – уравнение второго порядка.

Решением или интегралом дифференциального уравнения называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение, превращает его в тождество.

Например, функция является решением дифференциального уравнения .

В самом деле, , тогда .

Нетрудно доказать, что и функция также является решением этого дифференциального уравнения.

Вообще все функции вида , где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные являются решением данного дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Т.к. при решении дифференциальных уравнений часто приходится выполнять операцию интегрирования, то процесс нахождения решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения п -го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной х и п произвольных независимых постоянных С ₁, С ₂, …, С_п.

Частным решением дифференциального уравнения п -го порядка называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С ₁, С ₂, …, С_п.

Для нахождения частного решения дифференциального уравнения п -го порядка в общем случае требуется задать п дополнительных начальных условий.

Например, уравнение – это общее решение дифференциального уравнения . При начальном условии у (0) = 1, получим, что С = 1, а значит соответствующее частное решение имеет вид .

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Т.к. дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, то и интегральных кривых для конкретного дифференциального уравнения существует бесчисленное множество. Общему решению дифференциального уравнения соответствует семейство кривых на координатной плоскости, зависящее от произвольных постоянных С ₁, С ₂, …, С_п.

Например, интегральными кривыми дифференциального уравнения (из примера, приведенного выше) является семейство синусоид (Рис.2), задаваемое уравнением .

Рис.2.

Частному решению дифференциального уравнения соответствует какая-то одна кривая из семейства, полученная при конкретных значениях произвольных постоянных С ₁, С ₂, …, С_п.

 

 

§ 3. Дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную. В общем виде его можно записать так

.

Здесь x – независимая переменная, – искомая функция, и – ее производная.

Дифференциальное уравнение первого порядка может не содержать в явном виде x и , но обязательно содержит производную .

Дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть представлено в виде , называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.

Для такого уравнения справедлива следующая теорема.

Теорема о существовании и единственности решения ДУ. Если в уравнении функция и ее частная производная по у непрерывны в некоторой области D на плоскости Оху, содержащей некоторую точку (х ₀; у ₀), то существует единственное решение этого уравнения , удовлетворяющее условию: при х = х ₀ у = у₀.

Геометрический смысл теоремы заключается в том, что существует и притом единственная интегральная кривая, которая проходит через точку (х ₀; у ₀).

Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальному условию у (х ₀) = у₀, называется задачей Коши.

Точки плоскости Оху, в которых не выполняются условия теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения, называются особыми точками дифференциального уравнения. В этих точках терпит разрыв или сама функция , или ее частная производная . Через каждую из таких точек может проходить либо несколько интегральных кривых, либо не проходит ни одной.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая зависит от одной произвольной постоянной и удовлетворяет условиям:

1) она является решением этого дифференциального уравнения при любом конкретном значении постоянной С;

2) какова бы ни была точка (х ₀; у ₀), лежащая внутри области D, существует единственное значение постоянной С = С ₀ такое, что решение удовлетворяет начальному условию у (х ₀) = у₀.

Значение С ₀ можно найти из уравнения .

Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется любая функция , которая получается из общего решения , если в нем произвольной постоянной С придать конкретнее значение С = С ₀.

С методами решения различных видов дифференциальных уравнений первого порядка мы познакомимся на следующем занятии.

Дифференциальные уравнения