Выборочная функция распределения

Для эмпирической случайной величины, заданной эмпирическим законом распределения, можно записать и построить выборочную функцию распределения.

Функция распределения случайной величины задана на всей числовой оси и определяется равенством: F (x) = P (ξ < x), т.е. функция распределения равна вероятности того, что случайная величина примет значение меньше х.

При x ≤ 1 событие ξ ₂₀< 1 невозможно, т.к. нет значений ξ₂₀ меньше 1, а вероятность невозможного события равна нулю, следовательно,

F (x) = P (ξ ₂₀< 1) = 0.

На промежутке 1 < x ≤ 2 событие ξ ₂₀< 2 состоит в том, что ξ ₂₀ принимает значение 1, соответственно вероятность такого события равна 0,1, т.е.

F (x) = P (ξ ₂₀< 2) = 0,1.

На промежутке 2 < x ≤ 4 событие ξ ₂₀< 4 состоит в том, что ξ ₂₀ принимает значение 1 или 2, соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ ₂₀< 4) = 0,3.

На промежутке 4 < x ≤ 5 событие ξ ₂₀< 5 состоит в том, что ξ ₂₀ принимает значение или 1, или 2, или 4. Соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ ₂₀< 5) = 0,65.

На промежутке 5 < x ≤ 6 событие ξ ₂₀< 6 состоит в том, что ξ ₂₀ принимает значение или 1, или 2, или 4, или 5. Соответственно вероятность такого события равна , т.е.

F (x) = P (ξ ₂₀< 6) = 0,75.

И.т.д.

Таким образом, выборочная функция распределения имеет вид:

 

Определив значения функции распределения на всей числовой оси, можно построить ее график (Рис.1).

Рис.1.

 

График выборочной функции распределения имеет ступенчатый вид и строится в виде отрезков: левее наименьшего значения (х = 1) значение функции равно 0 (т.е. график совпадает с горизонтальной осью); в каждой следующей точке x_i происходит скачек на величину вероятности ν_i.. Например, в точке х ₁ = 1 скачек равен ν ₁ = _. 0,1(см. эмпирический закон распределения); в точке х ₂ = 2 скачек равен ν ₂ = 0,2; в точке х ₃ = 4 скачек равен ν ₃ = 0,2; и т.д. Правее наибольшего значения (х ₈ = 13) функция равна единице. Стрелки и точки на концах отрезков показывают, что функция определена на полуинтервалах.

Частотная табуляция

При большом объеме выборки ее элементы группируют. Для этого интервал, содержащий все значения выборки (от x _min до x _max), разбивают на т непересекающихся интервалов. При этом считается, что правая граница интервала принадлежит следующему интервалу (последний интервал содержит обе свои границы). Число интервалов т можно выбрать произвольно или найти по формуле Стерджесса:

,

где п – объем выборки.

Тогда длина каждого интервала равна , где w – размах выборки.

После этого подсчитывают частоты n_j – количество элементов выборки, попавших в j -й интервал, и накопленные частоты. Результаты сводят в таблицу частот группированной выборки. Процесс формирования такой таблицы называется частотной табуляцией.

Проведем частотную табуляцию выборки из нашего примера.

Определим число интервалов по формуле Стерджесса:

.

Число т должно быть целым, т.е. либо 5, либо 6. Т.к. размах выборки равен , то удобнее взять т = 6, т.к. в этом случае длина одного интервала . Если мы возьмем т = 5, то , что не очень удобно, т.к. значения выборки целые.

Таким образом, разбиваем интервал значений выборки (от 1 до 13) на интервалов с шагом . Результаты заносим в таблицу (Таблица 1).

В первом столбце таблицы записываем номер интервала от 1 до 6. Затем, используя статистический ряд выборки, определяем границы интервалов и записываем их во втором столбце:

1) наименьшее значение выборки равно 1, значит, начинаем построение с 1:

от 1 → 1 + 2 = 3 → до 3;

2) от 3 → 3 + 2 = 5 → до 5;

3) от 5 → 5 + 2 = 7 → до 7;

4) от 7 → 7 + 2 = 9 → до 9;

5) от 9 → 9 + 2 = 11 → до 11;

6) от 11 → 11 + 2 = 13 → до 13.

Наибольшее значение выборки равно 13, значит, интервалы определены верно.

В третьем столбце запишем середины полученных интервалов. Середину интервала (а; b) можно найти по формуле: , например: для 1-го интервала ; для 2-го интервала и т.д.

 

Таблица 1

№ интервала	Границы интервала	Середина интервала	Частота	Накопленная частота
	[1; 3)
	[3; 5)
	[5; 7)
	[7; 9)
	[9; 11)
	[11;13]

 

В четвертом столбце записываем интервальные частоты, т.е. частоты попадания элементов выборки в данный интервал, например:

в 1-й интервал попадают значения 1 и 2, при этом значение 1 встречается 2 раза (п ₁ = 2)^[15], значение 2 встречается 4 раза (п ₂ = 4), поэтому первая интервальная частота равна ; в первой строке записываем 6;

во 2-й интервал попадают значения 3 и 4, при этом значение 3 вообще не встречается в выборке, значение 4 встречается 7 раз (п ₃ = 7), поэтому вторая интервальная частота равна ; во второй строке записываем 7;

в 3-й интервал попадают значения 5 и 6, при этом значение 5 встречается 2 раза (п ₄ = 2), значение 6 встречается также 2 раза (п ₄ = 2), поэтому третья интервальная частота равна ; в третьей строке записываем 4 и т.д.

В пятом столбце Таблицы 1 записываем накопленные частоты по принципу: j -я частота_{накопл.} =_. (j – 1)-я частота_накопл+ j -я частота_инт. Например:

1-я накопленная частота равна 6, т.к. предыдущая накопленная частота равна 0 (ее нет), а 1-я интервальная частота равна 6 (см. 4-й столбец): 0 + 6 = 6;

2-я накопленная частота равна 13, т.к. предыдущая (1-я) накопленная частота равна 6, а 2-я интервальная частота равна 7 (см. 4-й столбец): 6 + 7 = 13;

3-я накопленная частота равна 17, т.к. предыдущая (2-я) накопленная частота равна 13, а 3-я интервальная частота равна 4 (см. 4-й столбец): 13 + 4 = =17 и т.д.

На этом частотная табуляция выборки заканчивается.

 

Вариационный ряд можно представить и графически, построив полигон и гистограмму частот выборки. Графическое изображение выборки позволяет визуально оценить плотность вероятности распределения генеральной совокупности.

Для построения полигона и гистограммы выборки в рассмотренном примере воспользуемся данными данным Таблицы 1.

На координатной плоскости по горизонтальной оси откладываем значения выборки (x_i), по вертикальной оси – частоты (n_i) (Рис.2). Единичные отрезки по осям могут быть различны (их размер выбирают, руководствуясь принципом наглядности).

Рис. 2

Гистограмма. На отрезках, равных интервалам Таблицы 1 (2-й столбец), строятся прямоугольники, высота которых равна соответствующим интервальным частотам (4-й столбец Таблицы 1). Полученный набор прямоугольников называется гистограммой выборки.

Полигон. Соединим отрезками середины верхних сторон прямоугольников гистограммы. Полученная ломаная линия называется полигоном выборки (на Рис.2 она обозначена красным цветом).

 

Проверка гипотезы о законе распределения

 

Рассмотрим процесс проверки гипотезы о законе распределения на примере из предыдущего раздела.

Пример. Книгу «Винни-Пух и все-все-все» открывали на случайной странице, где выбирали случайное слово. При этом фиксировали длину этого слова. В результате 20 опытов получена следующая выборка:

4, 1, 4, 5, 1, 13, 4, 10, 2, 4, 7, 2, 2, 4, 6, 4, 5, 6, 2, 4.

Требуется:

1) Вычислить выборочные характеристики: среднее выборочное, выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии.

2) При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу о том, что длина слов распределена по нормальному закону. Параметры распределения оцениваются по выборке: математическое ожидание – по среднему выборочному, среднее квадратическое отклонение – по квадратному корню из несмещенной оценки дисперсии.

 

 

Выборочные характеристики

Выборочное среднее может быть найдено по формуле

где k – число различных элементов выборки,

п – объем выборки.

Выборочная дисперсия:

Несмещенная оценка дисперсии:

.

Обычно процесс вычисления выборочных характеристик оформляют в виде таблицы (Таблица 2).

В нашем примере k = 8, п = 20, значения x_i и n_i приведены в статистическом ряде выборки. Заполнение расчетной таблицы начинаем с заполнения столбцов x_i и n_i, записывая в них данные статистического ряда. Затем вычисляем произведения x_i · n_i и результаты заносим в третий столбец. В последней строке суммируем данные, получили 90. Теперь вычисляем среднее выборочное, поделив получившуюся сумму на объем выборки, т.е. на 20.

Теперь, вычислив среднее выборочное, заполняем четвертый столбец, записывая в него соответствующие разности , например:

Записываем в первой строке -3,5;

Записываем во второй строке -2,5 и т.д.

Таблица 2

xi	ni	xi · ni
			-3,5	12,25	24,50
			-2,5	6,25	25,00
			-0,5	0,25	1,75
			0,5	0,25	0,50
			1,5	2,25	4,50
			2,5	6,25	6,25
			5,5	30,25	30,25
			8,5	72,25	72,25
Σ				165,00

 

В пятом столбце записываем квадраты значений предыдущего столбца, например:

Записываем в первой строке 12,25;

Записываем во второй строке 6,25 и т.д.

Далее умножаем полученные значения пятого столбца на соответствующие частоты (из второго столбца) и результат записываем в последнем столбце, например:

Записываем в первой строке 24,50;

Записываем во второй строке 25,00 и т.д.

В последней строке суммируем данные последнего столбца, получили 165,00. Теперь вычислим выборочную дисперсию:

Несмещенную оценку дисперсии найдем, зная выборочную дисперсию:

.