по курсу «Математическое программирование»

 

1. Составить математическую модель задачи об использовании ресурсов и решить ее:

а) геометрическим методом;

б) симплексным методом.

 

Задача об использовании ресурсов.

Для изготовления двух видов продукции Р ₁ и Р ₂ используют четыре вида ресурсов S ₁, S ₂, S ₃ и S _4. Запасы ресурсов, число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, приведены в таблице.

 

Вид ресурса	Запас ресурса	Число единиц ресурсов, затрачиваемых на изготовление единицы продукции
Р 1	Р 2
S 1		n
S 2			m
S 3
S 4

 

Прибыль, получаемая от реализации единицы продукции Р ₁ и Р ₂, составляет m и n рублей соответственно.

Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной.

 

 

2. Для первой задачи составить двойственную и найти оптимум Z _min и оптимальное решение Y _опт. двойственной задачи с помощью теорем двойственности.

 

Литература

 

1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Учебное пособие. – Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой. – СПб: СПбГУ ИТМО, 2008

2. Волкова Е.А., Гоголин В.А., Ермакова И.А. и др. Математика: Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 080504 ›Государственное и муниципальное управление. – Кемерово, 2007

3. Георгинская О.С., Кузнецова Н.В. Математика: Методические указания к практическим занятиям для студентов специальности 080504 Государственное и муниципальное управление очной формы обучения. – Кемерово, 2010

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие – 11-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2006

5. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1: Учеб. пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г.Попова, Т.Я.Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО Издательство «Мир и Оразование», 2006

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2: Учеб. пособие для вузов / П.Е.Данко, А.Г.Попова, Т.Я.Кожевникова. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО Издательство «Мир и Оразование», 2006

7. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом приложении: Учебник. – 4-е изд., испр. – М.: Дело, 2003

8. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономических специальностей: учебник и практикум / Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство Юрайт; Высшее образование, 2010

9. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. пособие / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2009

10. Куренкова Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс. – ГОУ ВПО «Российский Государственный гуманитарный университет», Институт экономики, управления и права, Факультет управления, Кафедра моделирования в экономике и управлении. – Москва, 2009

11. Математика для экономистов. Задачник: учебно-методическое пособие / кол. авторов; под ред. С.И.Макарова, М.В.Мищенко. – М.: КРОКУС, 2008. – 360 с.

12. Математический анализ I: Учебное пособие. − Под общей редакцией Л.С. Ратафьевой. – СПб, СПбГУ ИТМО, 2008

13. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005

14. Практикум по высшей математике для экономистов: Учеб. пособие для вузов / Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. проф. Н.Ш.Кремера. – М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2005

15. Трофимов В.В., Данко С.П., Колесник В.А. Математика. Учебное пособие для студентов специальностей гуманитарных направлений – М.: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2007

16. Филькин Г.В. Линейное программирование: Лекции для студентов экономических специальностей очной, заочной и дистанционной форм обучения. – Шахты: ЮРГУЭС, 2006

17. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб для вузов / В.С.Шипачев. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003

 

 

[1] Если искомая функция есть функция нескольких переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

[2] Более подробный вывод формул смотри в Приложении.

[3] Пьер Фредерик Саррюс (1798-1861) – французский математик. Вырос без отца, посредственно учился в школе, испытывая особенные трудности с дисциплиной. Интересовался математикой и медициной, однако для получения медицинского образования требовалось заверенное мэром города «свидетельство о надлежащем поведении». Как сторонник протестантизма и бонапартизма Саррюс его не получил и поступил на факультет естественных наук, окончив его со специализацией в математике в 1821 году. С 1826 г. он преподавал в Страсбургском университете, с 1829 г. был профессором, в 1839-1852 гг. деканом. В 1858 г. по болезни вышел в отставку.

[4] Габриэ́ль Кра́мер (31.07.1704 – 04.01.1752) – швейцарский математик, один из создателей линейной алгебры

[5] Иоганн Карл Фри́дрих Га́усс (30.04.1777 – 23.02.1855) – немецкий математик, астроном и физик, один из величайших математиков всех времен, его называют «королем математиков»

[6] Леопо́льд Кро́некер (07.12.1823 – 29.12.1891) – немецкий математик. Родился в еврейской семье, за год до смерти принял христианство

[7] Альфредо Капелли (1855 – 1910) – итальянский математик

[8] Существуют и другие классы множеств, но мы их рассматривать не будем.

[9] Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также Декартовой системой координат. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

[10] Обычно используют правостороннюю систему координат, в которой ось Ох направлена вправо, а ось ОУ – вверх.

 

[11] Обычно используют правую систему координат, в которой положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси Oх против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Oу, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси Oz.

[12] Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер в XVIII веке.

[13] Будучи студентом университета, Данциг однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней Бернард всё-таки смог его выполнить. Оказалось, что это были "нерешаемые в то время" задачи по статистике, над решением которых работали многие учёные

[14] Пример взят из учебного пособия В.Я.Турецкого «Математика и информатика» (см.список литературы)

[15] См.статистический ряд выборки

[16] Пользуясь таблицей, следует учитывать, что Ф(− х) = 1− Ф(х); Ф(−¥) = 0; Ф(+¥) = 1.

[17] Приведенные ниже расчеты выполнены в Excel.

[18] Обратите внимание, что в этой функции надо задавать значение вероятности = a, а не 1− a, как для таблицы.

[19] Если в уравнении нет какой-то переменной, значит, соответствующий коэффициент равен нулю.

[20] Если в выбранном столбце есть положительные элементы, то он становиться разрешающим столбцом и выделяется в таблице, если нет – выбираем другой столбец с отрицательной оценкой.