Лекция 3. Дифференциальные уравнения второго порядка. Решение ду, допускающих понижение порядка

 

Оглавление

 

§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальное уравнение второго порядка

Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка

Задача Коши

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка

Частное решение дифференциального уравнения второго порядка

Пример

§ 8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

1. Уравнение

2. Уравнение

3. Уравнение

§ 7. Дифференциальные уравнения второго порядка

 

Дифференциальное уравнение второго порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и ее первую и вторую производные. В частных случаях в уравнении могут отсутствовать x, и . Однако уравнение второго порядка обязательно должно содержать вторую производную .

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае имеет вид:

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной:

.

 

Как и в случае уравнения первого порядка, для такого уравнения справедлива теорема.

Теорема о существовании и единственности решения ДУ второго порядка. Пусть в уравнении функция и ее частные производные по у и по непрерывны в некоторой области G изменения переменных x, и . Тогда, какова бы ни была внутренняя точка (х ₀; у ₀; ) этой области, данное уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее начальным условия: у (х ₀) = у ₀ и .

 

Задача нахождение решения уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям, как и в случае уравнения первого порядка, называется задачей Коши.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , которая зависит от двух произвольных постоянных С ₁ и С ₂ и удовлетворяет условиям:

3) она является решением этого дифференциального уравнения при любых конкретных значениях постоянных С ₁ и С ₂;

4) каковы бы ни были начальные условия, существуют единственные значения постоянных С ₁ = С₁₀ и С ₂ = С₂₀ такие, что функция является решением уравнения и удовлетворяет этим начальным условиям.

Значения постоянных С ₁₀ и С ₂₀ можно найти из системы уравнений

.

Частным решением дифференциального уравнения второго порядка называется всякое решение уравнения , полученное из общего решения при конкретных значениях постоянных С ₁ = С₁₀ и С ₂ = С₂₀.

Рассмотрим на простейшем примере, какой вид имеет общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка.

Пример. Найти решение уравнения при условиях у (1) = 2, .

Решение.

Обозначим , тогда , и уравнение примет вид или . Решая это уравнение первого порядка, получим:

Возвращаясь к исходной переменной, снова получим уравнение первого порядка:

Полученное общее решение зависит от двух произвольных постоянных С ₁ и С ₂. Для нахождения частного решения уравнения воспользуемся начальными условиями.

В задаче дано, что у (1) = 2, подставляя это условие в общее решение
, получим: или .

С другой стороны, известно, что . Подставим это условие в уравнение и получим: или .

Из системы уравнений:

находим, что и . Тогда искомое частное решение имеет вид:

.

 

В ходе решения данного примера мы свели решение дифференциального уравнения второго порядка к интегрированию уравнений первого порядка, что существенно упростило вычисления. Рассмотрим отдельно типы уравнений второго порядка, которые можно решать таким методом.

 

 

§ 8. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

 

Преобразование дифференциального уравнения второго порядка, в ходе которого с помощью замены переменной его сводят к уравнению первого порядка, называется понижением порядка.

Простейшими уравнениями, допускающими понижение порядка, являются следующие:

1) ;

2) ;

3) .

Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение порядка и как интегрируется каждое из указанных уравнений.

 

1. Уравнение .

Принцип решения этого типа уравнений мы рассмотрели в примере.

Введем новую функцию v (x), положив , тогда . Подставив полученные выражения в уравнение , получим:

или

.

Возвращаясь к замене, получим

или

или

.

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Пусть , тогда , и уравнение примет вид:

или .

Решая это уравнение первого порядка, получим:

.

Т.к. , то , тогда

.

 

2. Уравнение .

Это уравнение не содержит явно искомой функции у. Вводя, как и в предыдущем случае, новую функцию и замечая, что , получаем уравнение превого порядка относительно функции v (x):

.

Допустим, что найдено общее решение этого уравнения

v = φ (x, C ₁).

Заменяя в этом решении функцию v на , получаем:

или .

Отсюда общее решение уравнения будет иметь вид:

.

 

Пример. Найти общее решение уравнения и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у (1) = 0, y '(1) = 1.

Решение.

Пусть , тогда . Подставим полученные выражения в уравнение:

Разделяя переменные и решая уравнение первого порядка, получим:

,

где .

Возвращаясь к первоначальной переменной , получим:

или , откуда

.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

.

Выделим из него частное решения, используя начальные условия.

Во-первых, у (1) = 0, следовательно, или .

Во-вторых, y ' (1) = 1, т.е. или .

Решим систему уравнений:

↔ ↔

Подставив найденные значения С ₁ и С ₂ в общее решение уравнения, получим искомое частное решение:

или

.

 

3. Уравнение .

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию v (y), зависящую от у, полагая .

Продифференцируем это равенство по х, помня, что у является функцией от переменной х, т.е. v (y) – сложная функция:

.

Т.к. , то .

Подставляя выражения и в исходное уравнение, получим уравнение первого порядка относительно функции v (y):

.

Пусть функция является общим решением этого уравнения. Вспоминая, что ,получаем уравнение с разделяющимися переменными:

или .

Интегрируя его, находим общий интеграл первоначального уравнения:

.

 

Пример. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Вводим новую неизвестную функцию v (y), полагая . Тогда . Подставим эти равенства в уравнение, получим:

.

Разделим переменные в получившемся уравнении:

.

Интегрируя, находим

,

.

Пусть , тогда

.

Выражая отсюда функцию v (y), получим

.

Произведем обратную замену :

или .

Разделяя переменные, получим:

.

Преобразовывая полученное выражение, выразим искомую функцию:

 

К дифференциальным уравнениям второго порядка сводится решение многих задач математики (например, задача о цепной линии), физики (некоторые задачи о движении тела, учитывающие сопротивление среды), экономической динамики и др.

 

Дифференциальные уравнения