Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами т.е. уравнение

(24)

Где p и g – некоторые числа согласно вышеприведенной теореме. Общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения у* неоднородного. Частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Однако, для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения у*,если правая часть уравнения имеет «специальный вид»:

I. или II.

Cуть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (24) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют его в уравнение (24) и из полученного тождества находят значение коэффициентов.

Вариант 1. Правая часть имеет вид , где - многочлен степени n.

Уравнение (24) запишется в виде (25)

В этом случае частное решение y* ищется в виде . Здесь r – число равное кратности , как корня характеристического уравнения.

(т.е. r – число, показывающее, сколько раз является корнем уравнения ), а - многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами

 

а) Пусть не является корнем характеристического уравнения т.е.

. Следовательно,

После подстановки функции y* и ее производных в уравнение (25) и сокращения на , получим: (26)

Слева многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, справа – многочлен степени n, но с известными коэффициентами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему (n + 1) алгебраических уравнений для определения коэффициентов .

 

б) Пусть является однократным (простым) корнем характеристического уравнения

,т.е. . В этом случае искать решение в форме

нельзя, т.к. , и уравнение (26)принимает вид

.

В левой части многочлен степени (n-1), а в правой многочлен степени n.Чтобы получить тождество многочленов в решении у* нужно иметь многочлен тоже степени

(n-1), поэтому частное решение у* следует искать в виде (в частном решении положить (r = 1)).

 

в) Пусть является двукратным корнем характеристического уравнения , т.е. . В этом случае , а поэтому уравнение (26) принимает вид . Слева стоит многочлен степени n-2. Понятно, что чтобы иметь слева многочлен степени n,частное решение у* следует искать в виде

(т.е. в частном решении уравнения надо положить r =2).

Вариант 2. Правая часть уравнения (24) имеет вид

, где - многочлены степени n и m соответственно, - действительные числа. Уравнение (24) запишется в виде (27)

Можно показать, что в этом случае частное решение у* последнего уравнения следует искать в виде

(28), где

r – число, равное кратности , как корня характеристического уравнения , - многочлены степени с неопределенными коэффициентами, - наивысшая степень многочленов ,т.е.

= max (n, m).

Примечания:

1) При подстановке функции (28) в (27) приравнивают многочлены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнения.

2) Формула (28) сохраняется и в случаях, когда .

3) Если правая часть уравнения (24) есть сумма вида I или II то для нахождения у* следует использовать теорему о наложении решений.

Пример:

Найдем общее решение ЛОДУ , его характеристическое уравнение

имеет корень кратности 2. Значит . Находим частное решение исходного уравнения.В нем правая часть есть формула вида

, причем не является корнем характеристического уравнения . Поэтому, частное решение ищем как частное решение уравнения (25) в виде ,т.е. , где A и B – неопределенные коэффициенты.Тогда . Подставив в исходное уравнение получим , или . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получаем систему уравнений , отсюда А=1,В=-2.

Поэтому частное решение данного уравнения имеет вид . Следовательно,

- искомое общее решение уравнения.

 

4.Решение ЛНДУ n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.

Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го порядка

, где - заданные непрерывные функции на (,b). Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид

Теорема: Общее решение ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения т.е. .

 

 

Частное решение ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если известно общее решение однородного уравнения, методом вариации произвольных постоянных. Оно ищется в виде - частные решения, образующие фундаментальную систему однородного уравнения.

Система уравнений для нахождения неизвестных имеет вид

Однако, для ЛНДУ n – го порядка с постоянными коэффициентами, правая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может быть найдено методом неопределенных коэффициентов.

Метод подбора частного решения у* уравнения , а правая часть f(x) имеет специальный вид описанный в п.3 для случая n =2, переносится без всякого изменения и на случай уравнения, имеющего порядок .

Пример:

Найдем ,

Отсюда

Найдем у*; , следовательно

. Тогда , откуда А= -1,В=0 и получим . Следовательно функция является общим решением уравнения.

 

8.6 Системы дифференциальных уравнений

Для решения многих практических задач в различных областях науки и техники нередко требуется использовать не одну, а много функций. Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную. Совокупность всех этих ДУ и образует систему. Системой ДУ называется совокупность ДУ каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные. Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций , следующий:

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

(1)

называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание: Во многих случаях системы уравнений и уравнения высших порядков можно свести к нормальной системе (1).

Так система трех ДУ второго порядка

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых переменных , и можно привести к нормальной системе ДУ.

Подобную операцию можно производить и с системами уравнений, содержащих производные более старшего порядка. Отсюда следует полезность изучения именно нормальных систем.

Решением системы (1) называется совокупность из n функций удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы. Начальные условия для системы (1) имеют вид . (2)

Задача Коши для системы ставится так: найти решение системы уравнений (1) удовлетворяющее начальным условиям (2).Условия существования и единственность решения определяется теоремой Коши.

Теорема Коши: Если в системе (1) все функции непрерывны вместе со своими частными производными по в некоторой области - мерного пространства), то в каждой точке этой области существует, и притом единственное, решение системы, удовлетворяющее начальным условиям (2).

Меняя в области Д точку (т.е. начальные условия) получим бесчисленное множество решений, которое можно записать в виде решения зависящего от n произвольных постоянных:

Это решение является общим, если по заданным начальным условиям (2) можно однозначно определить постоянные , из системы уравнений

Решение, получающееся из общего, при конкретных значениях постоянных () называется частным решением системы (1).

 

1. Решение нормальных систем.

Одним из основных методов решения нормальной системы ДУ является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обратная задача – переход от ДУ к системе – рассмотрена ранее) Сам метод основан на следующих соображениях: Пусть задана система нормальных ДУ (1).Продифференцируем по х любое, например, первое уравнение

Подставив в это равенство значение производных из системы (1) получим

. Продолжая этот процесс (дифференцируем- подставляем- получаем) найдем: . Соберем все уравнения в систему

(3)

Из первых (n-1) уравнений системы (3) выразим функции через , функцию и ее производные . В результате получим:

 

(4)

Найденные значения подставим в последнее из уравнений системы (3).Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой функции :

. Пусть его решение есть .

Продифференцировав его (n-1) раз и подставив значения производных в уравнения системы (4) найдем функции .

.

 

Пример: Решить систему уравнений

Продифференцируем первое уравнение: , подставляем в полученное равенство .

Составим систему уравнений . Из первого уравнения системы выражаем z через y и : (5)

Подставляем z во второе уравнение последней системы:

т.е.

Получили ЛОДУ второго порядка. Решаем его; характеристическое уравнение имеет вид

, - общее решение уравнения.

Найдем функцию z.Значения подставим в выражение z через (5).Получим: .

Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид:

, .