Дифференциальные уравнения первого порядка.

№ п/п	Некоторые дифференциальные уравнения первого порядка		Подстановка, приводящая к уравнениям с разделяющимися переменными
1.	Уравнения с разделяющимися переменными	f(x)dx+ g(y)dy=0
	Однородные уравнения
	Линейные уравнения
	Уравнения Бернулли

Структура общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

Характеристическое уравнение:
№ п/п	Вид корней характеристического уравнения	Фундаментальная система частных решений
	Корни характеристического уравнения действительные различные
	Корни характеристического уравнения различные, среди них имеются комплексно-сопряженные
	Корень характеристического уравнения - корень кратности «к»
Общее решение

Структура частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью:

, f(x) = ()

Вид правой части	Проверяемое зна-чение корня характе-ристического уравн.	Вид частного решения, если не является корнем характеристического уравнения	Вид частного решения, если -корень кратности характеристического уравнения
	=0
	=а
	=		()
()	=а	()	()

2. Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Найти решения дифференциальных уравнений первого порядка.

1.	а) в)
2.	а) в)
3.	а) в)
4.	а) в)
5.	а) в)
6.	а) в)
7.	а) в)
8.	а) в)
9.	а) в)
10.	а) в)
11.	а) в)
12.	а) в)
13.	а) в)
14.	а) в)
15.	а) в)
16.	а) в)
17.	а) в)
18.	а) в)
19.	а) в)
20.	а) в)
	а) в)
	а) в)
	а) в)
	а) в)
	а) в)

 

Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка:

1. а) б) в)	2. а) б) в)
3. а) б) в)	4. а) б) в)
5. а) б) в)	6. а) б) в)
7. а) б) в)	8. а) б) в)
9. а) б) в)	10. а) б) в)
11. а) б) в)	12. а) б) в)
13. а) б) в)	14. а) б) в)
15. а) б) в)	16. а) б) в)
17. а) б) в)	18. а) б) в)
13. а) б) в)	14. а) б) в)

 

Задание 3. Решить задачу Коши:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

 

Задание 4. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

 

 

Задание 5. Решить систему дифференциальных уравнений:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

 

 

Зачетное задание №6. Числовые и функциональные ряды

Справочный материал.

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Необходимый признак сходимости ряда	Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами
Признак сравнения	Предельный признак сравнения	Признак Даламбера	Радикальный признак Коши.	Интегральный признак Коши.
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании его номера. .	Пусть даны два положительных ряда (1) и (2), если , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а из расходимости ряда (1) - расходимость ряда (2).	Если существует конечный и отличный от нуля предел , то оба ряда и одновременно сходятся или расходятся.	Если существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему , то при q < 1 ряд сходится, q > 1 ряд расходится, q = 1 признак ответа не дает.	Если существует , то при q < 1 ряд сходится, при q > 1 ряд расходится, а при q = 1 признак ответа не дает.	Если при х ³ 1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд , где и несобственный интеграл сходится или расходится одновременно
ЧИСЛОВЫЕ ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ И ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ РЯДЫ.
Абсолютная сходимость	Условная сходимость
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов	Если ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда расходится, а по признаку Лейбница ряд сходится, то ряд сходится условно.
	Признак Лейбница.Знакочередующийся ряд сходится, если его члены, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и общий член при т.е.: 1) 2)
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
	Радиус сходимости . Областью абсолютной сходимости степенного ряда является (-R; R)
РАЗЛОЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ В РЯД МАКЛОРЕНА
1.   2. 3. 4. 5. 6.

 

2. Задания для самостоятельной работы

Задание1. Исследовать на сходимость:

1.	а)	б)
	в)	г)
2.	а)	б)
	в)	г)
3.	а)	б)
	в)	г)
4.	а)	б)
	в)	г)
5.	а)	б)
	в)	г)
6.	а)	б)
	в)	г)
7.	а)	б)
	в)	г)
8.	а)	б)
	в)	г)
9.	а)	б)
	в)	г)
10.	а)	б)
	в)	г)
11.	а)	б)
	в)	г)
12.	а)	б)
	в)	г)
13.	а)	б)
	в)	г)
14.	а)	б)
	в)	г)
15.	а)	б)
	в)	г)
16.	а)	б)
	в)	г)
17.	а)	б)
	в)	г)
18.	а)	б)
	в)	г)
19.	а)	б)
	в)	г)
20.	а)	б)
	в)	г)

Задание 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

Задание 3. Найти радиус сходимости и область сходимости степенных рядов

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

Задание 4. Вычислить приближенно значения определенных интегралов, взяв три члена разложения подынтегральной функции в ряд; указать погрешность

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.

 

Задание 5. Найти разложение в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.