Уравнения прямой на плоскости

Название	Уравнение	Обозначения
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0		- точка на плоскости - нормальный вектор прямой.
2. Общее		- нормальный вектор плоскости.
3. Проходящей через точки: М1, М2,		, и - заданные точки прямой.
4. В отрезках		a, b – отрезки на соответствующих осях.
5. Нормальное уравнение		- нормальный вектор прямой.
6. Расстояние от точки до прямой

УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ

Название	Уравнение	Обозначения
1. Уравнение плоскости, проходящей через точку М0		- точка на плоскости - нормальный вектор плоскости.
2. Общее		- нормальный вектор плоскости.
3. Проходящее через три точки: М1, М2, М3		, и - заданные точки плоскости
4. В отрезках		a, b, c – отрезки на соответствующих осях.
5. Нормальное уравнение		- нормальный вектор плоскости.
6. Расстояние от точки до плоскости

Вывод уравнения плоскости:

 

 

 

 

 

2. Задания для самостоятельной работы.

 

Задание 1. Исследовать данную систему и в случае совместности

уравнений системы решить ее методом Гаусса.

 

1.1.		1.2.
1.3.		1.4.
1.5.		1.6.
1.7.		1.8.
1.9.		1.10.
1.11.		1.12.
1.13.		1.14.
1.15.		1.16.
1.17.		1.18.
1.19.		1.20.

 

 

Задание 2. Решить данное матричное уравнение.

 

2.1.		2.2.
2.3.		2.4.
2.5.		2.6.
2.7.		2.8.
2.9.		2.10.
2.11.		2.12.
2.13.		2.14.
2.15.		2.16.
2.17.		2.18.
2.19.		2.20.

Задание 3. По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти: а) модуль вектора а; б) проекцию вектора с на вектор d; в) координаты точки М, делящей отрезок АВ пополам.

 

3.1. А(4, 6, 3), В(-5, 2, 6), С(4, -4, -3), а = 4СВ – АС, с = СВ, d = АС.

3.2. А(4, 3, 2), В(-3, -1, 4), С(2, 2, 1), а = -5АС + 2СВ, с = АС, d = СВ.

4.3. А(-2, -2, 4), В(1, 3, -2), С(1, 4, 2), а = 2АС - 3ВА, с = СВ, d = АС.

3.4. А(2, 4, 3), В(3, 1, -4), С(-1, 2, 2), а = 2ВА + 4АС, с = ВА, d = АС.

3.5. А(2, 4, 5), В(1, -2, 3), С(-1, -2, 4), а = 3АВ - 4АС, с = ВС, d = АВ.

3.6. А(-1, -2, 4), В(-1, 3, 5), С(1, 4, 2), а = 3АС – 7ВС, с = АВ, d = АС.

3.7. А(1, 3, 2), В(-2, 4, -1), С(1, 3, -2), а = 2АВ + 5СВ, с = АС, d = АВ.

3.8. А(2, -4, 3), В(-3, -2, 4), С(0, 0, -2), а = 3АС - 4СВ, с = АВ, d = СВ.

3.9. А(3, 4, -4), В(-2, 1, 2), С(2, -3, 1), а = 5СВ + 4АС, с = ВА, d = АС.

3.10. А(0, 2, 5), В(2, -3, 4), С(3, 2, -5), а = -3АВ + 4СВ, с = АС, d = АВ.

3.11. А(-2, -3, -4), В(2, -4, 0), С(1, 4, 5), а = 4АС - 8ВС, с = АВ, d = ВС.

3.12. А(-2, -3, -2), В(1, 4, 2), С(1, -3, 3), а = 2АС - 4ВС, с = АВ, d = АС.

3.13. А(5, 6, 1), В(-2, 4, -1), С(3, -3, 3), а = 3АВ - 4ВС, с = АС, d = АВ.

3.14. А(10, 6, 3), В(-2, 4, 5), С(3, -4, 6), а = 5АС - 2СВ, с = ВА, d = АС.

3.15. А(3, 2, 4), В(-2, 1, 3), С(2, -2, 1), а = 4ВС – 3АС, с = АС, d = ВС.

3.16. А(-2, 3, 4), В(3, -1, 2), С(4, 2, 4), а = 7АС + 4СВ, с = АВ, d = СВ.

3.17. А(4, 5, 3), В(-4, 5, 3), С(5, -6, -2), а = 9АВ - 4ВС, с = АС, d = СВ.

3.18. А(2, 4, 6), В(-3, 5, 1), С(4, -5, 4), а = -6ВС + 2ВА, с = СА, d = ВА.

3.19. А(-4, -2, -5), В(3, 7, 2), С(4, 6, -3), а = 9ВА + 3ВС, с = АС, d = ВС.

3.20. А(5, 4, 4), В(-5, 2, 3), С(4, 2, -5), а = 11АС – 6АВ, с = АВ, d = АС.

Задание 4.

 

4.1 Даны вершины треугольника А(1,-1,2), В(5,-6,2) и С(2,3,-1). Вычислить длину его высоты, проведенной из вершины В на сторону АС.

4.2. Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках А(1,3,-1), В(1,-1,3), С(5,-6,2).

4.3. Дана пирамида с вершинами в точках А₁(3,1,4), А₂(-1,6,1), А₃(-1,1,6), А₄(0,4,-1). Найти длину высоты, проведенной из вершины А₄ на грань А₁ А₂ А₃.

4.4. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

4.5. Вычислить любую высоту параллелепипеда, построенного на векторах

.

4.6. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А(0,0,0), В(3,4,-1), С(2,3,5), Д(6,0,-3). Найти длину высоты, проведенной из вершины С.

4.7. Найти вектор , удовлетворяющий следующим условиям: ортогонален векторам тройка векторов правая.

4.8. Найти координаты вектора , если он ортогонален векторам

и

4.9. Даны векторы Найти проекцию вектора + на направление вектора .

4.10. Вектор , коллинеарный вектору образует острый угол с осью 0Z. Найти координаты вектора , если

4.11. Доказать, что точки А(0,1,5), В(2,1,3), С(-1,2,1), Д(1,2,-1) лежат в одной плоскости.

4.12..При каком значении коэффициента векторы и будут коллинеарны, если и неколлинеарны?

4.13. Найти единичный вектор компланарный векторам и ортогональный вектору =(1,1,1).

4.14. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках А(0,0,0), В(3,4,-1), С(2,3,5), Д(6,0,-3). Найти длину высоты, проведенной из вершины А.

4.15. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах и .

4.16. Найти проекцию вектора на направление вектора = (2,2,1).

4.17. Дана треугольная пирамида с вершинами А(0,0,1), В(2,3,4), С(6,2,3) и Д(3,7,2). Найти длину высоты пирамиды, проведенной на грань ВСД.

4.18. Дана треугольная пирамида с вершинами А(0,0,1), В(2,3,4), С(6,2,3) и Д(3,7,2). Найти длину высоты пирамиды, проведенной на грань АСД.

4.19. Как расположены точки А(0,1,5), В(2,1,3), С(-1,2,1), Д(1,2,0)? Лежат ли они в одной плоскости?

4.20. Даны векторы Найти проекцию вектора + на направление вектора .

 

 

Задание 5. Даны векторы а, в, с: а) вычислить смешанное произведение трех векторов; б) найти модуль векторного произведения; в) вычислить скалярное произведение двух векторов; г) проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора; д) проверить, будут ли компланарны три вектора.

 

5.1. а = 2 i - 3 j + k, в = j + 4 k, с = 5 i + 2 j -3 k;

а) а, 3 в, с; б) 3 а, 2 с; в) –4 с, в; г) а, с; д) а, 2 в, 3 с.

5.2. а = 3 i + 4 j + k, в = i - 2 j + 7 k, с = 3 i -6 j + 21 k;

а) 5 а, 2 в, с; б) 4 в, 2 с; в) с, а; г) в, с; д) 2 а, -3 в, с.

5.3. а = 2 i - 4 j - 2 k, в = 7 i + 3 j, с = 3 i + 5 j -7 k;

а) а, 2 в, 3 с; б) 3 а, -7 в; в) с, -2 а; г) а, с; д) 3 а, 2 в, 3 с.

5.4. а = -7 i + 2 k, в = 2 i - 6 j + 4 k, с = i - 3 j + 2 k;

а) а, -2 в, -7 с; б) 3 с, 4 в; в) -7 с, 2 а; г) в, с; д) 2 а, 4 в, 3 с.

5.5. а = -4 i + 2 j - k, в = 3 i + 5 j - 2 k, с = j + 5 k;

а) а, 6 в, 3 с; б) а, 2 в; в) –4 с, а; г) а, в; д) а, 6 в, 3 с.

5.6. а = 3 i - 2 j + k, в = 2j - 3 k, с = -3 i + 2 j - k;

а) а, -3 в, 2 с; б) 5 а, 3 с; в) –2 а, в; г) а, с; д) 5 а, 4 в, 3 с.

5.7. а = 4 i - j + 3 k, в = 2 i + 3 j - 5 k, с = 7 i + 2 j + 4 k;

а) 7 а, -4 в, 2 с; б) 3 а, 5 с; в) 4 с, 2 в; г) в, с; д) 7 а, 2 в, 5 с.

5.8. а = 4 i + 2 j - 3 k, в = 2 i + k, с = -12 i - 6 j + 9 k;

а) 2 а, 3 в, с; б) 4 а, 3 в; в) -4 с, в; г) а, с; д) 2 а, 3 в, -4 с.

5.9. а = - i + 5 k, в = -3 i + 2 j + 2 k, с = -2 i - 4 j + k;

а) 3 а, -4 в, 2 с; б) 7 а, -3 с; в) 4 в, 3 а; г) в, с; д) 7 а, 2 в, -3 с.

5.10. а = 6 i - 4 j + 6 k, в = 9 i - 6 j + 9 k, с = i - 8 k;

а) 2 а, -4 в, 3 с; б) –9 с, 3 в; в) -5 с, 3 а; г) а, в; д) 3 а, -4 в, -9 с.

5.11. а = 5 i - 3 j + 4 k, в = 2 i - 4 j - 2 k, с = 3 i + 5 j - 7 k;

а) а, -4 в, 2 с; б) 4 с, -2 в; в) 6 с, -3 а; г) с, в; д) а, -2 в, 6 с.

5.12. а = -4 i + 3 j - 7 k, в = 4 i + 6 j - 2 k, с = 6 i + 9 j - 3 k;

а) -2 а, в, -2 с; б) 7 с, 4 в; в) –3 в, 5 а; г) с, в; д) -2 а, 4 в, 7 с.

5.13. а = -5 i + 2 j - 2 k, в = 7 i - 5 k, с = 2 i + 3 j - 2 k;

а) 2 а, 4 в, -5 с; б) 11 с, -3 в; в) –6 с, 8 а; г) с, а; д) 2 а, 4 в, -5 с.

5.14. а = -4 i - 6 j + 2 k, в = 2 i + 3j - k, с = - i + 5 j - 3 k;

а) 5 а, 7 в, 2 с; б) 11 а, -4 в; в) –7 с, 3 а; г) в, а; д) 3 а, 7 в, -2 с.

5.15. а = -4 i + 2 j - 3 k, в = - 3j + 5 k, с = 6 i + 6 j - 4 k;

а) 5 а, - в, 3 с; б) -7 а, 4 с; в) 9 в, 3 а; г) с, а; д) 3 а, -9 в, 4 с.

5.16. а = -3 i + 8 j, в = 2 i + 3 j - 2 k, с = 8 i + 12 j - 8 k;

а) 4 а, -6 в, 5 с; б) -7 а, 9 с; в) 3 в, -8 с; г) с, в; д) 4 а, -6 в, 9 с.

5.17. а = 2 i - 4 j - 2 k, в = -9 i + 2 k, с = 3 i + 5 j - 7 k;

а) 7 а, 5 в, - с; б) 5 а, 4 в; в) 3 в, -8 с; г) с, а; д) 7 а, 5 в, - с.

5.18. а = 9 i - 3 j + k, в = 3 i - 15 j + 21 k, с = i - 5 j + 7 k;

а) 2 а, -7 в, 3 с; б) -6 а, 4 с; в) 5 в, 7 а; г) с, в; д) 2 а, -7 в, 4 с.

5.19. а = -2 i + 4 j - 3 k, в = 5 i + j - 2 k, с = 7 i + 4 j - k;

а) а, -6 в, 2 с; б) –8 в, 2 с; в) 7 с, -9 а; г) а, в; д) а, -6 в, 5 с.

5.20. а = -9 i + 4 j - 5 k, в = i - 2 j + 4 k, с = -5 i + 10 j - 20 k;

а) -2 а, 7 в, 5 с; б) –6 в, 7 с; в) 4 с, 9 а; г) с, в; д) -2 а, 7 в, 4 с.

5.21. а = 2 i - 7 j + 5 k, в = -i + 2 j - 6 k, с = 3 i + 2 j - 4 k;

а) -3 а, 6 в, - с; б) 5 в, 3 с; в) –4 в, 7 а; г) с, в; д) 7 а, -4 в, 3 с.

5.22. а = 7 i - 4 j - 5 k, в = i - 11 j + 3 k, с = 5 i + 5 j + 3 k;

а) 3 а, -7 в, 2 с; б) 2 в, 6 с; в) –4 а, -5 с; г) с, а; д) -4 а, 2 в, 6 с.

5.23. а = 4 i - 6 j - 2 k, в = -2 i + 3 j + k, с = 3 i - 5 j + 7 k;

а) 6 а, 3 в, 8 с; б) -7 в, 6 а; в) 4 с, -5 а; г) в, а; д) -5 а, 3 в, 4 с.

5.24. а = 3 i - j + 2 k, в = - i + 5 j - 4 k, с = 6 i - 2 j + 4 k;

а) 4 а, -7 в, -2 с; б) –4 с, 6 а; в) 5 в, -2 а; г) с, а; д) 6 а, -7 в, -2 с.

5.25. а = -3 i - j - 5 k, в = 2 i - 4 j + 8 k, с = 3 i + 7 j - k;

а) 2 а, - в, 3 с; б) 4 с, -9 а; в) 5 в, -6 с; г) с, в; д) 2 а, 5 в, -6 с.

 

Задание 6. Прямые на плоскости.

 

6.1 Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(5,0) и точку пересечения прямой 3х-2у+4=0 с осью 0У.

6.2 Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(-1,2) параллельно прямой 2х+3у+1=0.

6.3 Дан треугольник с вершинами в точках А(1,1), В(-2,3), С(4,7). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины А.

6.4 Даны уравнения сторон треугольника х+2у-1=0, 5х+4у-17=0, х-4у+11=0. Составить уравнение прямой, проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне.

6.5 Выяснить, принадлежат ли точки А(-1,2), В(3,4), С(1,2) одной прямой.

6.6 Написать уравнение прямой, проходящей через точку М(4,3) перпендикулярно к вектору , если М₁(0,-2), М₂ (3,5).

6.7 При каких значениях α прямые α х-2у-1=0 и 6х-4у-3=0:

а) параллельны,

б) имеют одну общую точку?

6.8 Дан треугольник с вершинами в точках М₁(2,5), М₂ (-1,3), М₃(0,0). Составить уравнение медианы, проведенной из вершины М₃.

6.9 Найти расстояние между прямыми 3х-4у+25=0 и 6х-8у-50=0.

6.10 Дан треугольник с вершинами в точках А(1,5), В(-4,3), С(2,9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А.

6.11 Найти угол между прямыми 5х-3у-2=0 и 3х+5у+1=0.

6.12 Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1,-1) параллельно прямой, соединяющей точки М₁(2,-3), М₂ (5,1).

6.13 Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(-1,3) и точку пересечения прямых 2х-у-1=0, 3х+у-4=0.

6.14 Найти уравнение прямой, проходящей через точку М₁(2,3) ортогонально вектору , если М₂ (4,5).

6.15 На прямой 2х+у+11=0 найти точку, равноудаленную от двух данных точек А(1,1) и В(3,0).

6.16 Найти угол между прямой 2х+3у-1=0 и прямой, проходящей через точки М₁(-1,2), М₂ (0,3).

6.17 Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2х-6у+13=0.

6.18 Дан треугольник с вершинами в точках А(-1,2), В(0,1) и С(1,4). Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно противоположной стороне.

6.19 Найти уравнение прямой, проходящей через точку М₁(-1,2), перпендикулярно к прямой, соединяющий точки М₂(2,3) и М₃(0,-1).

6.20 Даны вершины треугольника А(3,5), В(-3,3), С(5,-8). Определить длину медианы, проведенной из вершины С.

 

Задание 7. Кривые второго порядка.

 

7.1. Составить каноническое уравнение эллипса, большая полуось которого равна 10, эксцентриситет 0,6.

7.2. Составить каноническое уравнение гиперболоиды, действительная полуось которой равна 3, а эксцентриситет .

7.3. Составить каноническое уравнение эллипса, сумма полуосей которого 8 и расстояние между фокусами 8.

7.4. Вычислить эксцентриситет гиперболы, если угол между ее асимптотами равен .

7.5. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2,3) и В(0,2). Написать уравнение эллипса.

7.6. Составить каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси 0у, фокус которой находится в точке F(0,-3).

7.7. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между

ее фокусами равно 16, а расстояние между вершинами 12.

7.8. Составить уравнение эллипса, проходящего через точку А(4,6), фокусы которого совпадают с фокусами гиперболы х²-у²=8.

7.9. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса х²+9у²=81.

7.10. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса 5х²+8у²=40.

7.11. Составить каноническое уравнение эллипса, если расстояния от одного из фокусов до конца его большой оси равны 7 и 1.

7.12. Написать уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями 3х±4у=0, а расстояние между фокусами равно 20.

7.13. Через фокус параболы у²=10х проведена хорда, перпендикулярная к ее оси. Определить длину этой хорды.

7.14. Найти уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат и проходящего через точку М(), если фокусы его находятся на оси 0х, а эксцентриситет .

7.15. Найти эксцентриситет эллипса 5х²+8у²=40.

7.16. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М(), если ее действительная полуось равна 5.

7.17. Составить каноническое уравнение эллипса, который проходит через точки М₁() и М₂ (). Найти его эксцентриситет.

7.18. Найти координаты фокусов, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы

х²-4у²=1. Построить гиперболу и ее асимптоты.

7.19. Составить каноническое уравнение параболы, симметричной оси 0у и проходящей через точку М(-1,2).

7.20. Найти эксцентриситет эллипса х²+4у²=4.

 

 

Зачетное задание №2 Предел и непрерывность функции одной переменной. Производная. Исследование функции и построение графика.

1. Справочный материал.

Производной функции в фиксированной точке x называется предел при выражения при условии, что этот предел существует.

Обозначения: .

Таблица производных основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций

 

Основные правила дифференцирования

 

с - константа

Геометрический смысл производной.

 

Касательной к графику функции в точке M будем называть предельное положение секущей MP при стремлении точки P к точке M по графику (или, что то же самое, при ).

 

.

 

 

.

Производная равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке M.