Нормальное уравнение плоскости

 

1. Пусть в системе координат задана плоскость .

Проведем через начало координат прямую, перпендикулярную плоскости .

Будем называть ее нормалью.

 

Точку пересечения нормали с плоскостью обозначим . Построим вектор , длину которого обозначим .

 

Введем единичный вектор , направление которого совпадает с направлением вектора .

Пусть - углы, которые составляет вектор с осями координат. Так как , то .

2. Выведем уравнение плоскости , считая известными числа и .

Пусть - произвольная точка. Она лежит в плоскости тогда и только тогда, когда проекция вектора на нормаль равна . Таким образом,

(5)	- нормальное уравнение плоскости

3. Покажем, как привести общее уравнение плоскости к нормальному виду.

	- общее уравнение. (1)
	- нормальное уравнение. (2)

 

Так как то, умножая, коэффициенты уравнения (1) на некоторый множитель , получим уравнение , совпадающее с уравнением (2), т. е

.

Возведем первые три из равенств в квадрат и почленно сложим:

- нормирующий множитель.

Знак его противоположен знаку в общем уравнении, т. к. .

 

Пример. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.

¦ ,

 

- это и есть нормальное уравнение плоскости .?

 

Пучок плоскостей

 

Пусть плоскости и пересекаются по прямой a.

Определение. Плоскости, проходящие через линию пересечения двух плоскостей, образуют пучок плоскостей.

 

Уравнение пучка плоскостей: .

 

Чтобы написать уравнение какой-либо плоскости пучка, достаточно знать точку, через которую она проходит.

 

Пример. Написать уравнение плоскости , проходящей через линию пересечения плоскостей и , и через точку .

¦ Запишем уравнение пучка плоскостей:

.

Значение определяем из условия, что плоскость проходит через точку : , или .

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

или .?

 

Взаимное расположение плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости

 

1. Пусть даны плоскости:

, где ,

, где .

1. Если

 

- условие параллельности

плоскостей.

2. Если

 

- условие

перпендикулярности

плоскостей.

3. Если , то

 

-

2. Расстояние от точки до плоскости

 

находим по формуле:

 

 

Прямая в пространстве.

Общие, канонические и параметрические уравнения прямой

 

1. Прямая может быть задана как линия пересечения двух плоскостей.

(1) - общие уравнения прямой .

2. Пусть заданы прямая , точка и вектор .

Произвольная точка лежит на прямой , если

(2) – канонические уравнения прямой .

3десь: - текущие координаты, - координаты точки , - координаты вектора .

3. Пусть , где - параметр, .

Тогда,				(3) – параметрические уравнения прямой .

Уравнения прямой, проходящей через две точки

 

Пусть точки и лежат на прямой . Произвольная точка также принадлежит прямой , если векторы и будут параллельны. Из условия параллельности векторов получаем

 

(4)	– уравнения прямой, проходящей через две точки

 

Пример 1. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки и .

¦ Воспользуемся уравнением (4) -канонические уравнения искомой прямой, где .?

 

Пример 2. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

.

¦ 1 способ.

1) Найдем точку , принадлежащую прямой .

Предположим, что и решим систему

, .

 

2) Найдем вектор , параллельный прямой . Так как он должен быть перпендикулярен векторам и , то за можно принять векторное произведение векторов и .

, где .

Искомая прямая определяется уравнениями .?

 

¦ 2 способ. Найдем две точки и искомой прямой.

Предположим, что и решим систему

, .

(см. 1 способ решения).

Записываем уравнения прямой , проходящей через точки и

.?

 

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

 

Пусть прямые заданы каноническими уравнениями

	,
	.

 

1.	-
условие параллельности прямых
2.
-
условие перпендикулярности прямых
3.

4. Пусть , , , ,

.

 

Прямые и лежат в одной плоскости, если векторы , , компланарны,

т.е. .

 

Следовательно, это условие, при котором и лежат в одной плоскости.

Прямая и плоскость в пространстве.