Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

 

1. Находим : - если существует ;

- если не существует .

2. Находим транспонированную матрицу .

 

3. Находим присоединенную матрицу. Она состоит из алгебраических дополнений элементов матрицы .

Обозначение присоединенной матрицы: или , или , или .

4. Находим обратную матрицу: .

5. Делаем проверку: или .

Пример.Найти матрицу, обратную данной: .
¦   1)		существует .	2)	.
3)	.
4)	.
5)	Проверка: (выполнить самостоятельно).?

4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований

 

Элементарные преобразования матрицы.

 

1. Перестановка строк (столбцов).

 

2. Умножение строки (столбца) на число .

 

3. Прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на любое число.

 

Чтобы найти матрицу, обратную данной, делаем следующее:

- для матрицы строим прямоугольную матрицу ,

приписывая справа единичную матрицу;

- с помощью элементарных преобразований приводим матрицу

к виду .

Тогда .

Эквивалентные матрицы обозначаются .

Пример. Найти матрицу, обратную данной: .

~( первую строку матрицы умножили на ) ~ ~ ~ ~

Следовательно, .

Проверка: .?

§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными

Основные понятия

 

Системы m линейных уравнений с n переменными имеют вид:

(1)

 

где , - - произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами.

Решением системы называется совокупность чисел , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в верные равенства.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются равносильными (или эквивалентными) если они имеют одно и то же множество решений.

 

Равносильность систем не нарушается при следующих элементарных преобразованиях:

1) перемена местами уравнений;

2) умножение обеих частей уравнения на число ;

3) удаление из системы уравнения ;

4) прибавление к обеим частям какого - либо уравнения соответствующих частей другого уравнения этой же системы, предварительно умноженных на любое число.

 

Запишем матрицы:

, , .

- матрица системы, состоящая из коэффициентов при переменных,

- матрица-столбец переменных,

- матрица- столбец свободных членов.

Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то их произведение есть матрица-столбец:

.

Элементами полученной матрицы являются левые части уравнений системы (1).

На основании определения равенства матриц систему (1) можно записать в следующем виде:

- это матричный вид системы.

Матрица системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей.

 

- расширенная матрица системы (1)

 

5.2. Системы n линейных уравнений с n переменными.

Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.

Системы n линейных уравнений с n переменными имеют вид:

(2)

 

Матрица такой системы является квадратной, и ей соответствует определитель - го порядка , называемый главным определителем системы. Решение системы (2), в случае , может быть найдено по формулам Крамера.

 

,

 

где - вспомогательные определители системы.

Главный определитель системы состоит из коэффициентов при переменных, а вспомогательные составляют из главного, заменяя столбец коэффициентов (при соответствующей переменной) столбцом свободных членов.

 

 

Если , то система имеет единственное решение;

если , то система имеет бесконечно много решений;

если и какой-либо из вспомогательных определителей не равен нулю, то система не имеет решений (или имеет (пустое множество) решений).

 

Метод обратной матрицы

Запишем систему (2) в матричном виде и решим матричное уравнение:

 

 

 

Матричное уравнение может иметь и другой вид:

 

Метод Гаусса

 

Одним из наиболее универсальных методов решения алгебраических систем является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении переменных.

Пусть дана система уравнений:

 

На первом этапе (прямой ход) систему уравнений приводим к ступенчатому (в частном случае, когда , к треугольному) виду с помощью элементарных преобразований.

На втором этапе (обратный ход) последовательно определяем значения переменных из полученной ступенчатой системы.

Если ступенчатая система окажется треугольной, то исходная система имеет единственное решение. Из последнего уравнения находим значение , из предпоследнего - , и далее, поднимаясь по системе вверх, найдем значения всех остальных переменных .

Если в результате элементарных преобразований появляются уравнения , то их вычеркиваем. Если же появляется уравнение , то это свидетельствует о несовместности системы.

Преобразования Гаусса удобнее проводить не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над строками.

Удобно, чтобы коэффициент был равен . Для этого можно переставить уравнения системы либо разделить обе части первого уравнения на .

Пример 1. Решить систему уравнений методом Гаусса

¦ Прямой ход.

1. Выберем «ведущим» третье уравнение и запишем его на первое место.

2. Запишем расширенную матрицу системы и выполним элементарные преобразования над ее строками:

~	~
первую строку перепишем, а вторую и третью заменим суммой с первой, умноженной соответственно на и на ;	разделим вторую строку на .
~	~
первую и вторую строки перепишем, а третью заменим суммой ее со второй, умноженной на ;	из этой матрицы запишем систему треугольного вида.

Обратный ход.

Из третьего уравнения находим значение , из второго - значение , из первого - значение .

Ответ: .?

Пример 2. Решить систему уравнений

¦ Запишем расширенную матрицу системы. Выполняя элементарные преобразования над ее строками, получим:

~ ~

~ ~ .

 

Из последней матрицы запишем систему

Из третьего уравнения находим значение , из второго - значение .

Так как уравнений в системе осталось меньше, чем переменных, то из первого уравнения выражаем через ( - свободная переменная, т.е. - любое число).

Следовательно, система уравнений имеет бесконечно много решений.

Ответ: , где - любое число.?