Умножение на число. Сложение и вычитание

1. Умножение матрицы на число возможно для матриц любого размера.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , каждый элемент которой для , .

Например, .

Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

В частном случае число 0, умноженное на , есть нулевая матрица, т.е. .

2. Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера.

Определение. Суммой матриц и называется матрица , каждый элемент которой для , . (т.е. матрицы складываются поэлементно).

В частном случае .

Например,

.

3. Вычитание матриц можно выполнить с помощью двух предыдущих операций, т.е.

.

 

Умножение матриц

 

Умножение матрицы на матрицу возможно, когда число столбцов первой матрицы () равно числу строк второй матрицы ().

В результате получается матрица, число строк которой равно числу строк матрицы ; а число столбцов равно числу столбцов матрицы .

Схема:

Определение. Произведением матриц и называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов - й строки первой матрицы () на соответствующие элементы - го столбца второй матрицы ().

 

Схема вычисления:

 

Например, .

.

В частном случае .

 

Многие свойства операций над числами выполняются и для операций над матрицами:

1) + = +	6)
2) +( + )=( + )+	7)
3)	8)
4)	9)
5)

 

Однако некоторые свойства произведения чисел не выполняются для произведения матриц:

- произведение не всегда равно ;

(если , то матрицы называются перестановочными).

 

- произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице: .

 

 

Возведение в степень. Транспонирование матрицы

 

1. Возведение в степень возможно только для квадратных матриц.

.

Например, .

Свойства:

1)

2)

3)

4)

 

2. Транспонирование матрицы – это переход от матрицы к матрице , при котором строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка.

Если , то .

Например, .

Свойства:

1)

2)

3)

Определители

Основные понятия

Квадратной матрице - го порядка соответствует число, называемое определителем (или детерминантом).

 

Обозначается определитель: ; или .

Если = 1 , то		- определитель 1-го порядка.
Если = 2 , то		- определитель 2-го порядка.

Схема вычисления:

 

Например, .

 

Если = 3 , то

- определитель 3-го порядка.

Определитель третьего порядка можно вычислять по правилу треугольников (правилу Саррюса).

Схема вычисления:

Например,

 

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

.

Будем называть строки и столбцы рядами определителя.

 

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

 

3. Определитель, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.

 

4. Общий множитель элементов какого-либо ряда можно выносить за знак определителя.

 

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей:

.

 

6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на любое число :

.

 

Определение. Минором некоторого элемента определителя - го порядка называется определитель ( - 1) – го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент.

Обозначается: .

Если , то .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на .

Обозначается: .

 

7. ( Разложение определителя по элементам некоторого ряда).

Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения:

.

Например,

Определители высоких порядков вычисляем, применяя свойство 7. При вычислении определителей третьего и более высокого порядка удобно пользоваться свойством 6. Покажем на примере вычисления определителя третьего порядка.

 

Первую строку заменили суммой ее со второй, предварительно умноженной на число 2.

 

 

Обратная матрица

Основные понятия

Для каждого числа существует обратное ему число , причем .

Для квадратных матриц вводится аналогичное понятие.

Определение. Матрица называется обратной матрице , если выполняется равенство: .

Условием существования обратной матрицы является требование: .

Определение. Если , то матрица называется невырожденной; если , то матрица называется вырожденной.