Уравнение в отрезках на осях

 

Пусть прямая задана общим уравнением .

Если , то прямая проходит через начало координат;

, то ;

, то ;

 

Если , то - это ось ;

, то - это ось ;

 

Если .

можно преобразовать к виду ,

, обозначим

Получим

(3) – уравнение прямой в отрезках на осях,

где и - точки пересечения с осями координат.

 

Уравнение (3) используется при построении прямой в системе координат .

 

Пример 1. Построить прямую .

¦ Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях

.?

Пример 2. Построить прямую .

¦ Приведем уравнение к уравнению в отрезках на осях

, , .?

 

12.3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку:

а) параллельной данной прямой;

б) перпендикулярной данной прямой.

 

а) Пусть прямая задана общим уравнением , а прямая параллельна прямой

и проходит через точку .

Составим уравнение прямой .

Произвольная точка будет лежать на прямой , если , .

Из условия перпендикулярности векторов получим уравнение прямой .

(4) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой.

 

б) Пусть прямая задана общим уравнением , а прямая перпендикулярна прямой и проходит через точку . Составим уравнение прямой . Произвольная точка будет принадлежать прямой , если , .

Из условия параллельности векторов получаем уравнение прямой .

(5) – уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой

 

 

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каноническое уравнение прямой.

Параметрические уравнения прямой.

 

1. Пусть точки и лежат на прямой . Произвольная точка будет лежать на прямой тогда и только тогда, когда ,

, .

Из условия параллельности векторов получим уравнение.

(6) – уравнение прямой, проходящей через две точки

 

2. Пусть вуравнении (6) , , .

Тогда получим

(7) – каноническое уравнение прямой

 

3. Пусть в каноническом уравнении ,

где - параметр, .

Тогда

(8) – параметрические уравнения прямой

 

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

 

Положение прямой на плоскости определяется ординатой точки (точки пересечения прямой с осью ) и углом (угол между прямой и осью ).

Возьмем на прямой произвольную точку . Через точку проведем отрезок , параллельный оси .

Тогда .

Обозначим - угловой коэффициент прямой.

 

Получим

или

(9) – уравнение прямой с угловым коэффициентом

Если прямая проходит через точку и известен угловой коэффициент , то

(10) – уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Расстояние от точки до прямой

 

Пусть прямые и заданы общими уравнениями и уравнениями с угловыми коэффициентами.

 

1.
2.
3.	( - угловой коэффициент прямой, которую поворачиваем)

 

 

Расстояние от точки до прямой находим по формуле

 

 

Пример. Найти расстояние от точки до прямой .

¦ Расстояние от точки до прямой равно:

?

 

Линии второго порядка на плоскости

Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами, есть величина постоянная , большая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

, где .

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

, , и - точки пересечения эллипса с осями симметрии

(координатными осями) называются вершинами эллипса.

Отрезки и называются осями эллипса, причем - большая ось, а - малая ось, так как .

 

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями эллипса, а называется фокусным расстоянием эллипса.

 

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к большей полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами эллипса .

Пусть точка - произвольная точка эллипса.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

и

Если фокусы эллипса лежат на оси , то большей осью будет отрезок ,

а малой осью отрезок .

Тогда , а директрисами являются прямые .

Если , то эллипс превращается в окружность, определяемую уравнением

.

 

Уравнение определяет вырожденный эллипс, т.е. это уравнение определяет на плоскости только одну точку .

Уравнение определяет мнимый эллипс, т.е. это уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа.

Если центр эллипса находится в точке и оси параллельны осям координат, то его уравнение имеет вид:

Гипербола

 

Определение. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек и , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная , меньшая, чем расстояние между фокусами .

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где .

 

Расположим систему координат следующим образом: за ось примем прямую, проходящую через фокусы и , за ось примем перпендикуляр к оси абсцисс, проходящий через середину отрезка .

Гипербола имеет две оси симметрии (оси координат), с одной из которых она пересекается в точках , , называемых вершинами гиперболы.

 

Отрезок - действительная ось, - мнимая ось.

 

Параметры и , входящие в каноническое уравнение, называются полуосями гиперболы, а называется фокусным расстоянием гиперболы.

 

Прямоугольник со сторонами и называется основным прямоугольником гиперболы.

Диагонали этого прямоугольника называются асимптотами гиперболы.

Уравнения асимптот имеют вид:

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине действительной полуоси . Очевидно, что .

Прямые называются директрисами гиперболы .

Пусть точка - произвольная точка гиперболы.

Длины отрезков и называются фокальными радиусами .

и

Если гипербола расположена так, что ее фокусы лежат на оси , то действительной осью будет отрезок , а мнимой осью - отрезок и уравнение ее имеет вид

Тогда и директрисами являются прямые , а асимптоты будут те же, что и у гиперболы (1).

Гиперболы (1) и (2) н азываются сопряженными.

Если , то гипербола называется равносторонней.

Простейшие уравнения равносторонней гиперболы имеют вид:

, .

Если центр гиперболы находится в точке и оси параллельны осям координат, то уравнение ее имеет вид:

или .

 

 

Парабола

 

Определение. Параболой называется множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от данной точки , называемой фокусом, и данной прямой , называемой директрисой.

Величина , равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы.

Расположим систему координат следующим образом: за одну из координатных осей примем ось параболы, а за другую – прямую, перпендикулярную оси и проведенную посередине между фокусом и директрисой.

Тогда уравнения параболы будут иметь вид:

Пусть вершина параболы находится в точке , тогда ее уравнения имеют вид:

если ось параболы параллельна оси , то ;

если ось параболы параллельна оси , то .

Пример. Построить параболу . Записать координаты фокуса и уравнения директрисы.

¦ Из канонического уравнения параболы определим:

1) .

2) Ось параболы - , вершина - точка , фокус - , директриса - прямая .

3) Из определения параболы следует, что параболе принадлежат точки, которые лежат на прямой, параллельной директрисе, на расстоянии от фокуса.?