Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору

Опр.: Нормалью к плоскости называется вектор, перпендикулярный к данной плоскости.

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной вектору .

Предположим, что такая плоскость построена, возьмем на ней произвольную точку М(x,y,z). Составим вектор . Вектор перпендикулярен вектору , следовательно, их скалярное произведение равно нулю: , это условие имеет вид::

Данный способ задания плоскости называется плоскость по точке М ( и нормали . Имея уравнение плоскости в общем виде: Ax+ By+ Cz+ D=0, можно выписать нормаль к плоскости .

 

Пример: Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1,2,-3), параллельно плоскости 3x-4y+5z-2=0

Решение: Выпишем нормаль к плоскости, т.е. вектор перпендикулярный плоскости: . Так как необходимо построить плоскость параллельную данной, то можно использовать вектор в качестве нормали к искомой плоскости. Составляем уравнение плоскости по точке А и нормали : после преобразования получим: 3x-4y+5z+20=0

Ответ: 3x-4y+5z+20=0.

 

Особенности в расположении плоскостей

Рассмотрим общее уравнение плоскости: Ax+ By+ Cz+ D=0. В зависимости от коэффициентов A, B, C, D плоскость может принимать следующие положения:

1. Если D=0, то плоскость Ax+By+Cz=0 проходит через начало координат, т.е. точка О(0,0,0) принадлежит плоскости, так как ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости.

2. Если А=0, то имеем уравнение плоскости By+Cz+D = 0, нормальный вектор перпендикулярен оси ОХ, следовательно, плоскость параллельна оси ОХ.

3. Если А=0 и D=0, то плоскость By+Cz =0 содержит точку О(0,0,0) и параллельна оси ОХ, следовательно плоскость содержит ось ОХ.

4. Если А=0 и В=0, то

Cz+D=0, или z = плоскость параллельна плоскости ХОУ, аналогично

Ах+D=0 плоскость параллельна YOZ, а

By+D=0 плоскость параллельна XOZ.

5. Плоскости координат имеют уравнения:

XOY задается уравнением: Z=0, XOZ (Y=0), YOZ (X=0)

 

 

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку, параллельно двум неколлинеарным векторам

Опр.: Два неколлинеарных вектора, параллельные плоскости, называются направляющими векторами этой плоскости.

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и параллельную заданным векторам и . Считаем, что такая плоскость построена, возьмем произвольную точку М(x,y,z) этой плоскости и составим вектор . При любом расположении точки М, векторы компланарны, т.е. их смешанное произведение равно 0. Запишем это условие в векторной форме: . Запишем в координатной форме:

Данный способ задания плоскости называется плоскость по точке и двум направляющим векторам и .

 

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные, не лежащие на одной прямой, точки:

Считаем, что такая плоскость построена, составим два вектора и .

Эти векторы являются направляющими векторами плоскости. Составим уравнение плоскости по точке и двум направляющим векторам .

Данный способ задания плоскости называется плоскость по трем точкам.

Пример: Составить уравнение плоскости АВС, если даны координаты точек:

; ;

Решение: Составим уравнение плоскости по трем точкам:

 

, ,

Найдем разложение определителя по первой строке:

,

,

, разделим уравнение на 5:

.

 

Ответ: .

 

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть необходимо составить уравнение плоскости, отсекающей на осях координат OX, OY, OZ соответственно отрезки a,b,c, т.е. плоскость проходит через точки A(a,0,0), B(0,b,0) и C(0,0,c).

Подставим координаты этих точек в уравнение плоскости по трем точкам: , , преобразуем определитель, получим:

или

разделим уравнение на abc, получим:

 

 

Основные задачи

Угол между плоскостями

Пусть заданы две плоскости

.

Углом между плоскостями называется один из двухгранных углов, образованных при пересечении этих плоскостей. Выпишем нормали к плоскостям: и . Угол между плоскостями равен углу между нормалями к плоскостям, т.е. Косинус угла между плоскостями вычисляется по формуле:

 

 

Условие перпендикулярности плоскостей:

 

, это условие в векторной форме: , или в координатной форме:

Условие параллельности плоскостей:

, или в координатной форме: координаты векторов должны быть пропорциональны:

Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана точка: и плоскость: расстояние d от точки до плоскости находится по формуле:

 

 

Прямая линия в пространстве

Общее уравнение прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Пусть заданы две плоскости:

Если они не параллельны, т.е. координаты нормалей к плоскостям и не пропорциональны, то система:

определяет прямую линию в пространстве. Такой способ задания называют общим уравнением прямой.

 

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку, параллельно данному вектору

 

Пусть необходимо составить уравнение прямой , проходящей через точку , параллельно заданному вектору .Возьмем произвольную точку М(x,y,z) на прямой .

Вектор параллелен вектору , следовательно, их координаты пропорциональны:

Данный способ задания прямой называется прямая по точке и направляющему вектору . Уравнение прямой получено в каноническом виде.